信號(hào)與系統(tǒng)-總結(jié)

第一章信號(hào)與系統(tǒng)§1.1緒言§1.2信號(hào)的描述和分類§1.3信號(hào)的基本運(yùn)算§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)§1.5系統(tǒng)的特性與分類§1.6系統(tǒng)的描述和分析方法1.1緒言

信息(information):

信號(hào)(signal):通常把消息中有意義的內(nèi)容稱為信息。信號(hào)是信息的載體。通過信號(hào)傳遞信息。為了有效地傳播和利用信息，常常需要將信息轉(zhuǎn)換成便于傳輸和處理的信號(hào)。

系統(tǒng)(system):信號(hào)的產(chǎn)生、傳輸和處理需要一定的物理裝置，這樣的物理裝置常稱為系統(tǒng)。

一般而言，系統(tǒng)是指若干相互關(guān)聯(lián)的事物組合而成具有特定功能的整體。1.2信號(hào)信號(hào)的分類

連續(xù)信號(hào)和離散信號(hào)：定義域是否連續(xù)

確定信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)：是否可用確定的時(shí)間函數(shù)表示

周期信號(hào)和非周期信號(hào)：求周期信號(hào)的周期（習(xí)題1.5）

實(shí)信號(hào)和復(fù)信號(hào)：實(shí)信號(hào)是物理上可以實(shí)現(xiàn)的信號(hào)

能量信號(hào)和功率信號(hào)：

若信號(hào)f(t)的能量有界，即E<∞,則稱其為能量有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱能量信號(hào)。此時(shí)P=0

若信號(hào)f(t)的功率有界，即P<∞,則稱其為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)。此時(shí)E=∞1.2信號(hào)例：判斷下列信號(hào)是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(t)=sin2t+cos3t

（2）f2(t)=cos2t+sinπt

兩個(gè)周期信號(hào)x(t)，y(t)的周期分別為T1和T2，若其周期之比T1/T2為有理數(shù)，則其和信號(hào)x(t)+y(t)仍然是周期信號(hào)，其周期為T1和T2的最小公倍數(shù)。例:

判斷下列序列是否為周期信號(hào)，若是，確定其周期。（1）f1(k)=sin(3πk/4)+cos(0.5πk)

（2）f2(k)=sin(2k)1.3信號(hào)的基本運(yùn)算

信號(hào)的加法和乘法：同一瞬時(shí)兩信號(hào)對(duì)應(yīng)值相加（相乘）

信號(hào)的時(shí)間變換：（習(xí)題1.6，可帶入特殊值驗(yàn)證對(duì)錯(cuò)）1.信號(hào)的反轉(zhuǎn)2.信號(hào)的平移3.信號(hào)的展縮（尺度變換）將f

(t)→f

(–t),

f

(k)→f

(–k).

從圖形上看是將f(·)以縱坐標(biāo)為軸反轉(zhuǎn)180o。將f

(t)→f

(t–t0),

f

(k)→f

(k–k0)

.若t0(或k0)>0，則將f(·)右移；否則左移。將f

(t)→f

(at).若a>1，則波形沿橫坐標(biāo)壓縮；若0<a<1，則擴(kuò)展?；旌线\(yùn)算時(shí)，三種運(yùn)算的次序可任意。但一定要注意一切變換都是相對(duì)t

而言。1.3信號(hào)的基本運(yùn)算例:已知f(t)如圖所示，畫出f(-2t-4)。

解答壓縮，得f

(2t–4)反轉(zhuǎn)，得f

(–2t–4)右移4，得f

(t–4)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)單位階躍函數(shù)與延遲單位階躍函數(shù)階躍函數(shù)的性質(zhì)（1）可以方便地表示某些信號(hào)（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)

函數(shù)值只在t=0時(shí)不為零；

積分面積為1；t=0時(shí)，δ→∞，為無界函數(shù)。沖激函數(shù)與階躍函數(shù)的關(guān)系引入沖激函數(shù)后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在求導(dǎo)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)沖激函數(shù)的性質(zhì)（習(xí)題1.10）

取樣性

沖激偶

尺度變換

f(t)δ'(t)=f(0)δ'(t)–f'(0)δ

(t)δ(–t)=δ(t)為偶函數(shù)，δ'(–t)=–δ'(t)為奇函數(shù)1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)單位(樣值)序列δ(k)取樣性質(zhì)：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)單位階躍序列

(k)ε(k)與δ(k)的關(guān)系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)或1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)0例:例:例:1.5系統(tǒng)的特性與分類連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)：分別用微分方程與差分方程來描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與即時(shí)系統(tǒng)：動(dòng)態(tài)系統(tǒng)也稱為記憶系統(tǒng)線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)：齊次性和可加性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件：

可分解性、零狀態(tài)線性、零輸入線性時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)：移位不變性LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)：輸出不超前于輸入穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)：輸入有界，輸出也有界習(xí)題：1.231.241.251.261.5系統(tǒng)的特性與分類判斷下述微分方程所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)?例：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

解：（1）

yzs(t)=2f

(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1顯然，y

(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不滿足可分解性，故為非線性（2）

yzs(t)=|f

(t)|，yzi(t)=2x(0)

y

(t)=yzs(t)+yzi(t)滿足可分解性；由于T[{a

f

(t)},{0}]=|af

(t)|≠a

yzs(t)不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。1.5系統(tǒng)的特性與分類例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）yzs(t)=tf

(t)

（2）yzs(t)=f

(–t)解:(1)

令g

(t)=f(t–td)，T[{0}，g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f

(t–td)顯然T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。(2)

令g

(t)=f(t–td),

T[{0}，g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yzs(t–td)=f

[–(t–td)]，顯然

T[{0}，f(t–td)]≠yzs(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。1.6系統(tǒng)的描述和分析方法

連續(xù)系統(tǒng)解析描述：微分方程離散系統(tǒng)解析描述：差分方程系統(tǒng)的框圖描述1.6系統(tǒng)的描述和分析方法例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。設(shè)輔助變量x(t)如圖x"(t)=f(t)–2x'(t)–3x(t),即x"(t)+2x'(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x'(t)+3x(t)根據(jù)前面，逆過程，得y"(t)+2y'(t)+3y(t)=4f'(t)+3f(t)第二章連續(xù)系統(tǒng)的時(shí)域分析§2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)§2.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)§2.3卷積積分§2.4卷積積分的性質(zhì)2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)微分方程的經(jīng)典解：完全解=齊次解+特解。

奇次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式特解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù)定出特解。課本：表2-1、表2-2完全解：由初始值定出齊次解中的待定常數(shù)Ci。

齊次解的函數(shù)形式僅與系統(tǒng)本身的特性有關(guān)，而與激勵(lì)f(t)的函數(shù)形式無關(guān)，稱為系統(tǒng)的固有響應(yīng)或自由響應(yīng)；

特解的函數(shù)形式由激勵(lì)確定，稱為強(qiáng)迫響應(yīng)。2.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的響應(yīng)關(guān)于0-與0+值當(dāng)微分方程右端含有沖激函數(shù)時(shí)，響應(yīng)y(t)及其各階導(dǎo)數(shù)中，有些在t=0處將發(fā)生躍變。否則不會(huì)躍變。零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)

y(t)=yzi(t)+yzs(t),也可以分別用經(jīng)典法求解。注意：對(duì)t=0時(shí)接入激勵(lì)f(t)的系統(tǒng)，初始值yzi(j)(0+),yzs(j)(0+)(j=0，1，2，···，n-1)的計(jì)算。

y(j)(0-)=yzi(j)(0-)+yzs(j)(0-)

y(j)(0+)=yzi(j)(0+)+yzs(j)(0+)對(duì)于零輸入響應(yīng)，由于激勵(lì)為零，故有

yzi(j)(0+)=yzi(j)(0-)=y(j)(0-)對(duì)于零狀態(tài)響應(yīng)，在t=0-時(shí)刻激勵(lì)尚未接入，故應(yīng)有

yzs(j)(0-)=0習(xí)題2.42.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)：由單位沖激函數(shù)δ(t)所引起的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)，簡(jiǎn)稱，記為h(t)。

h(t)=T[{0},δ(t)]例:當(dāng)特征根均為單根時(shí)由于

(t)及其導(dǎo)數(shù)在t≥0+

時(shí)都為零，因而方程式右端的自由項(xiàng)恒等于零，這樣原系統(tǒng)的沖激響應(yīng)形式與齊次解的形式相同。

(2)與n,

m相對(duì)大小有關(guān)(1)與特征根有關(guān)習(xí)題2.72.2沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)g(t)=T[ε(t)，{0}]線性時(shí)不變系統(tǒng)滿足微、積分特性階躍響應(yīng)2.3卷積積分已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個(gè)函數(shù)f1(t)和f2(t)為f1(t)與f2(t)的卷積積分，簡(jiǎn)稱卷積；記為

f(t)=f1(t)﹡f2(t)注意：積分是在虛設(shè)的變量τ下進(jìn)行的，τ為積分變量，t為參變量。結(jié)果仍為t的函數(shù)。2.3卷積積分卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：t換為τ→得f1(τ)，f2(τ)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(τ)反轉(zhuǎn)→f2(–τ)右移t→f2(t–τ)（3）乘積：f1(τ)f2(t–τ)（4）積分：τ從–∞到∞對(duì)乘積項(xiàng)積分。注意：t為參變量。2.4卷積積分的性質(zhì)卷積的代數(shù)運(yùn)算：交換律、分配率、結(jié)合律系統(tǒng)并聯(lián)，框圖表示：

系統(tǒng)級(jí)聯(lián)，框圖表示：

2.4卷積積分的性質(zhì)與沖激函數(shù)或階躍函數(shù)的卷積f(t)*δ(t

–t0)=f(t–t0)f(t)*δ(n)(t)=f(n)(t)1.f(t)＊δ(t)=δ(t)＊f(t)=f(t)2.f(t)＊δ'(t)=f

'(t)3.f(t)＊ε(t)ε(t)＊ε(t)=tε(t)2.4卷積積分的性質(zhì)卷積的微積分性質(zhì)1.2.3.在f1(–∞)=0或f2(–1)(∞)=0的前提下，

f1(t)*f2(t)=f1(1)(t)*f2(–1)(t)卷積的時(shí)移性質(zhì)若f(t)=f1(t)＊f2(t)，則f1(t–t1)＊f2(t–t2)=f1(t

–t1–t2)＊f2(t)=f1(t)＊f2(t

–t1–t2)=f(t

–t1–t2)2.4卷積積分的性質(zhì)例：f1(t),f2(t)如圖，求f1(t)*f2(t)解：

f1(t)=2ε

(t)–2ε

(t–1)

f2(t)=ε

(t+1)–ε

(t–1)f1(t)﹡f2(t)=2ε

(t)﹡ε

(t+1)–2ε

(t)﹡ε

(t–1)–2ε

(t–1)﹡ε

(t+1)+2ε

(t–1)﹡ε

(t–1)由于ε

(t)﹡ε

(t)=tε

(t)據(jù)時(shí)移特性，有f1(t)﹡f2(t)=2(t+1)ε

(t+1)–2(t–1)ε

(t–1)–2tε

(t)+2(t–2)ε

(t–2)第三章離散系統(tǒng)的時(shí)域分析§3.1LTI離散系統(tǒng)的響應(yīng)§3.2單位序列響應(yīng)和階躍響應(yīng)§3.3卷積和§3.4反卷積3.3卷積和

已知定義在區(qū)間（–∞，∞）上的兩個(gè)函數(shù)f1(k)和f2(k)，則定義和為f1(k)與f2(k)的卷積和，簡(jiǎn)稱卷積；記為

f(k)=f1(k)﹡f2(k)注意：求和是在虛設(shè)的變量i下進(jìn)行的，i為求和變量，k

為參變量。結(jié)果仍為k的函數(shù)。3.3卷積和卷積的圖解法卷積過程可分解為四步：（1）換元：k換為i→得f1(i)，f2(i)（2）反轉(zhuǎn)平移：由f2(i)反轉(zhuǎn)→f2(–i)右移k→f2(k–i)（3）乘積：f1(i)f2(k–i)（4）求和：i從–∞到∞對(duì)乘積項(xiàng)求和。注意：k為參變量。不進(jìn)位乘法求卷積f(k)=所有兩序列序號(hào)之和為k

的那些樣本乘積之和。如k=2時(shí)f(2)=···+f1(–1)f2(3)+f1(0)f2(2)+f1(1)f2(1)+f1(2)f2(0)+···3.3卷積和卷積和的性質(zhì)(1)滿足乘法的三律：(1)交換律,(2)分配律,(3)結(jié)合律.(2)f(k)﹡δ(k)=f(k)，f(k)﹡δ(k–k0)=f(k–k0)(3)f(k)﹡ε(k)=(4)f1(k–k1)﹡

f2(k–k2)=f1(k–k1–k2)﹡f2(k)(5)

[f1(k)﹡f2(k)]=

f1(k)﹡f2(k)=f1(k)﹡

f2(k)ε(k)*ε(k)=(k+1)ε(k)3.3卷積和例：

復(fù)合系統(tǒng)中h1(k)=ε(k)，h2(k)=ε(k–5)，求復(fù)合系統(tǒng)的單位序列響應(yīng)h

(k)。解：根據(jù)h(k)的定義，有h(k)=[δ(k)﹡h1(k)–δ(k)﹡h2(k)]﹡h1(k)=[h1(k)–h2(k)]﹡h1(k)=h1(k)﹡h1(k)–h2(k)﹡

h1(k)=ε(k)﹡ε(k)–ε(k–5)﹡ε(k)=(k+1)ε(k)–(k+1–5)ε(k–5)=(k+1)ε(k)–(k–4)ε(k–5)第四章傅里葉變換和系統(tǒng)的頻域分析4.2傅里葉級(jí)數(shù)an

,bn稱為傅里葉系數(shù)

，an

是n的偶函數(shù)，bn是n的奇函數(shù)。式中，A0=a0可見：An是n的偶函數(shù)，

n是n的奇函數(shù)。

an=Ancos

n，bn=–Ansin

n，n=1,2,···周期信號(hào)的分解4.2傅里葉級(jí)數(shù)奇、偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)1.f(t)為偶函數(shù)——對(duì)稱縱坐標(biāo)展開為余弦級(jí)數(shù)。2.f(t)為奇函數(shù)——對(duì)稱于原點(diǎn)展開為正弦級(jí)數(shù)。3.f(t)為奇諧函數(shù)——f(t)=–f(t±T/2)4．f(t)為偶諧函數(shù)——f(t)=f(t±T/2)a0=a2=···=b2=b4=···=04.

f(t)為偶諧函數(shù)——f(t)=f(t±T/2)a1=a3=···=b1=b3=···=0只含奇次諧波分量。只含偶次諧波分量。4.2傅里葉級(jí)數(shù)傅