數(shù)電-第一章-邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

長安大學(xué)電控學(xué)院

電工電子教學(xué)部《數(shù)字電子技術(shù)》第1章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.1概述1.3三種基本邏輯運算1.2數(shù)制與碼制1.5邏輯函數(shù)及其表示方法1.4邏輯代數(shù)的基本定律1.6邏輯函數(shù)的化簡現(xiàn)實世界中兩大系統(tǒng)：

模擬系統(tǒng)與數(shù)字系統(tǒng)電子計算機是最典型的數(shù)字系統(tǒng)，模擬量經(jīng)采樣、量化可轉(zhuǎn)換為數(shù)字量在數(shù)字系統(tǒng)中進行處理。

數(shù)字系統(tǒng)的特點：便于加工、處理、傳輸、存儲等，可靠，抗干擾能力強。1.1概述1.數(shù)字邏輯領(lǐng)域的前沿問題多值邏輯模糊邏輯計算機輔助邏輯設(shè)計集成電路設(shè)計自動化可編程邏輯設(shè)計數(shù)字系統(tǒng)與模擬系統(tǒng)的混合設(shè)計邏輯電路的故障診斷，等等2.數(shù)字電路的特點（1）數(shù)字電路中的信號在時間上是離散的脈沖信號，而模擬電路中的信號是隨時間連續(xù)變化的信號。（2）數(shù)字電路所研究的是電路的輸入、輸出之間的邏輯關(guān)系，而模擬電路則是研究電路的輸入輸出之間的大小相位等問題。數(shù)字電路的特點（3）數(shù)字電路中晶體管工作在開關(guān)狀態(tài)，也就是交替地工作在飽和與截止兩種狀態(tài)，而在模擬電路中晶體管多工作在放大狀態(tài)。（4）數(shù)字電路采用二進制，主要分析工具是邏輯代數(shù)，而模擬電路采用十進制，主要分析工具是普通代數(shù)。3.數(shù)字電路的分類按電路組成結(jié)構(gòu)分立元件集成電路小規(guī)模集成電路中規(guī)模集成電路大規(guī)模集成電路超大規(guī)模集成電路集成電路數(shù)字電路的分類按電路所用器件雙極型電路(TTL)單極型電路(CMOS)按電路邏輯功能組合邏輯電路時序邏輯電路學(xué)習(xí)基本要求1.注重三個結(jié)合：理論和實踐結(jié)合、課堂和課外相結(jié)合、學(xué)習(xí)和應(yīng)用相結(jié)合。3.學(xué)習(xí)方法得當(dāng)，學(xué)習(xí)效果良好。課堂注重老師對重點、難點的講解，課后總結(jié)復(fù)習(xí)，認真完成作業(yè)。2.同時注意兩個重點：一是理論知識的學(xué)習(xí)，二是能力和方法的培養(yǎng)、提高。課程考核平時成績占30%：考勤、作業(yè)、實驗；期末成績占70%：期末考試卷面分。

為了讓大家學(xué)完本課程有較大的收獲，有以下兩個作業(yè)：（1）查詢資料，有關(guān)自己所學(xué)專業(yè)和電子技術(shù)方面的新技術(shù)、新方法，學(xué)習(xí)科技小論文的撰寫方法，查詢有關(guān)資料。（2）利用計算機，學(xué)習(xí)電子技術(shù)仿真軟件的應(yīng)用——Multisim課外作業(yè)課程設(shè)計

利用自己所學(xué)的電子技術(shù)基本理論知識，綜合設(shè)計電子實際應(yīng)用電路，培養(yǎng)綜合設(shè)計能力.數(shù)制即為計數(shù)體制，它是計數(shù)的方法

以10為基數(shù)，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十個數(shù)碼，逢十進一。表示方法位置計數(shù)法各個數(shù)碼在不同的位置位權(quán)不同以權(quán)展開式1.2.1數(shù)制1.2數(shù)制與編碼1.十進制（D）(2001.9)10＝2×103十0×102十0×101十1×100十9×10-1【例如】以2為基數(shù)，有0、1兩個數(shù)碼，逢二進一。位置計數(shù)法例：1011B11110111B

二進制數(shù)的波形表示00001110000111以權(quán)展開式2.二進制（B）

【例如】(101.101)2=1×22十0×21十1×20十1×2-1十0×2-2十1×2-3

以8為基數(shù)的計數(shù)體制，有0、1、2、3、4、5、6、7共8個數(shù)碼，逢八進一。位置計數(shù)法例：741O306O

以權(quán)展開式3.八進制（O）【例如】(67.73)8=6×81十7×80十7×8-1十3×8-2

以16為基數(shù)，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F共16個數(shù)碼，逢十六進一。位置計數(shù)法例：1AEFH8C0H

以權(quán)展開式4.十六進制（H）【例如】(8AE6)16=8×163十A×162十E×161十3×160

NDNHNBNDNHNB整數(shù)部分：除基數(shù)取余法小數(shù)部分：乘基數(shù)取整法NDNHNB通式展開法1.2.2數(shù)制之間的相互轉(zhuǎn)換1.十進制

二進制、八進制、十六進制十進制→二進制數(shù)時，按除2取余方法進行

十進制→八進制數(shù)時，按除8取余方法進行

十進制→十六進制數(shù)時，按除16取余方法進十進制→二進制數(shù)時，按乘2取整方法進行。十進制→八進制數(shù)時，按乘8取整方法進行。

十進制→十六進制小數(shù)時，按乘16取整方法進（1）整數(shù)部分：除基數(shù)取余法，先余位低，后余位高（2）小數(shù)部分：乘基數(shù)取整法，先整位高，后整位低【例如】(725)10=(100001101)2

(725)10=(1325)8

(725)10=(2D5)16(0.8125)10=(0.1101)2(0.8125)10=(0.64)8(0.8125)10=(0.CF)162.二進制、八進制、十六進制轉(zhuǎn)換成十進制

二進制、八進制或十六進制轉(zhuǎn)換成等值的十進制數(shù)時，可按權(quán)相加的方法進行。

【例如】(1011.01)2=1×23十0×22十1×21十1×20十0×2-1十1×2-2=8+0+2+1+0+0.25=(11.25)10(167)8=1×82十6×81+7×80=64+48+7=(119)10

(2A.7F)16=2×161十10×160十7×16-1十15×16-2=(42.4960937)103.八進制、十六進制與二進制數(shù)的轉(zhuǎn)換

一位八進制數(shù)表示的數(shù)值恰好相當(dāng)于三位二進制數(shù)表示的數(shù)值。

一位十六進制數(shù)表示的數(shù)值恰好相當(dāng)于四位二進制數(shù)表示的數(shù)值。

因此彼此之間的轉(zhuǎn)換極為方便：只要從小數(shù)點開始，分別向左右展開?！纠纭?67．731)8＝(110111．111011001)2

(3AB4)16＝(0011101010110100)2NHNB4位一組分組轉(zhuǎn)換法：整數(shù)部分：由小數(shù)點向左4位一組，高位不足補0小數(shù)部分：由小數(shù)點向右4位一組，低位不足補0例10011100110.1010011B=()H

010011100110.10100110B4E6.A64E6.A64.八進制、十六進制與二進制數(shù)的轉(zhuǎn)換編碼一一對應(yīng)N項信息2n≥Nn位二進制碼

二——十進制碼（BCD）用4位二進制碼表示0～9十個數(shù)字。4位二進制有16種狀態(tài)，任取10種進行組合有2.9X1010種。常用的有以下幾種：1.2.3二進制碼1問題的提出文字、數(shù)值信息二進制代碼如何表示各種文字、數(shù)值信息？2幾種常見的代碼十進制數(shù)的二進制編碼常用十進制數(shù)碼十進制數(shù)8421碼2421碼5211碼余3碼格雷碼000000000000000110000100010001000101000001200100010001101010011300110011010101100010401000100011101110110501011011100010001110601101100100110011010701111101110010101000810001110110110111100910011111111111000100有權(quán)碼無權(quán)碼用多位二進制碼表示文字、符號、數(shù)值格雷碼（可4位或多位），相鄰代碼僅有一位不同。二進制碼格雷碼00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000ASCII碼（美國標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼），它是用7位二進制碼表示字母、符號、數(shù)值等。部分ASCII碼如下：7位ASCII碼字符ABCDEFGHIJKLMNOP100000110000101000011100010010001011000110100011110010001001100101010010111100100110111101001111101000016進制4142434445464748494A4B4C4D4E4F507位ASCII碼字符0123456789()=$+01100000110001011001001100110110100011010101101100110111011100001110010101000010100101111010100100010101116進制3031323334353637383928293D242B1.3基本邏輯運算

邏輯代數(shù)表達的是電路輸入與輸出間的邏輯關(guān)系，而不是數(shù)量關(guān)系。

F＝f(A，B，C…)其中：A、B、C...為輸入邏輯變量，取值是0或l；

F為輸出邏輯變量，取值是0或l；

F稱為A、B、C...的輸出邏輯函數(shù)。三種基本邏輯運算：與運算、或運算、非運算。一、邏輯代數(shù)的基本運算1、“與”運算EABCF真值表設(shè)：開關(guān)打開—“0”閉合—“1”燈滅—“0”亮—“1”0000001010011100101110111ABCF0000001邏輯函數(shù)式F=A?B?C邏輯符號ABCF&ABCFABCF2、“或”運算AEBCF設(shè)：開關(guān)打開—“0”閉合—“1”燈滅—“0”亮—“1”ABCF00010111110111100001111010101011或邏輯真值表邏輯函數(shù)式F=A+B+C邏輯符號FABC>1FABC+ABCF3、“非”運算EFARAF0011非邏輯真值表邏輯函數(shù)式邏輯符號AFAFA1FABF=ABF=A+BF=AF=A例：根據(jù)輸入波形畫出輸出波形ABY1有“0”出“0”，全“1”出“1”有“1”出“1”，全“0”出“0”&ABY1>1ABY2Y2二、復(fù)合邏輯關(guān)系1、“與非”F=A?BABFABF&F=ABACACDBD“與非”表達式ABCDF2、“或非”F=A+B+CFABC+FABC>1F=A+B+A+C+D+B+D“或非”表達式3、“與或非”F=AB+CDF+ABCDABFCD

&4、“異或”F=AB+ABABF101000011110=AB

ABF=1ABF5、“同或”F=AB+AB=AB

ABF=ABFABF1000010101113、“異或”性質(zhì)AA=0AA=1A0=AA1=AAB=AB=(AB)1AB=BAA(BC)=(AB)CA?(BC)=(A?B)(A?C)“異或”門電路的用處(1)可控的數(shù)碼原/反碼輸出器(2)作數(shù)碼同比較器(3)求兩數(shù)碼的算術(shù)和A0=AA1=AABF101000011110門電路符號AXAXBAXBAXBAXBAXBAXBAX&BAX+BAX≥1AX1BAX&門電路符號BAXBAXBAXBAX+BAX=1BAX=BAX⊕BAX⊕BAX≥11.4邏輯代數(shù)的基本定理1、基本公式00=01+1=11A=A0+A=A0A=01+A=101=01+0=111=10+0=00=11=0AA=0A+A=1A+A=AA?A=AA=A1.4.1基本定律AB=BAA+B=B+A交換律A(BC)=(AB)CA+(B+C)=(A+B)+C結(jié)合律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)分配律2、基本定律摩根定律的應(yīng)用①

、求反函數(shù)F=AB+BC+ACDF=AB+BC+ACD=AB?BC?ACD②

、將“與或”表達式化為“與非”表達式F=AD+BCD+ABC+CD=AD?BCD?ABC?CD(德?摩根定律)A?B=A+BA+B=A?B10000111ABA?BA+B111111002、基本定律吸收律A+AB=A+BA?(A+B)=A?BA+A?B=AA(A+B)=A證：由分配律A+AB=(A+A)(A+B)=A+B3、常用公式包含律(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC+BC=AB+AC證：AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC推論：AB+AC+BCDEF=AB+AC課堂練習(xí)：證明：一、代入規(guī)則：【例如】

任何一個含有變量A的等式，如果將出現(xiàn)變量A的位置都代之一個函數(shù)，則等式仍成立。帶入規(guī)則的作用是可擴展基本公式的應(yīng)用范圍若C=XYZ則：1.4.2基本定律二、反演規(guī)則：F:若：“?”“+”,“+”“?”,“0”“1”,“1”“0”

原變量反變量，反變量原變量則：FF【例如】F1=AB+BD+ACD+0F1=(A+B)(B+D)(A+C+D)1F2=A+BD+ABCDF2=A?(B+D)?(A+B+C+D)保持原式的運算優(yōu)先順序不變不是一個變量上的非號應(yīng)保持不變注意：三、對偶規(guī)則：若：“?”“+”,“+”“?”,“0”“1”,“1”“0”F:則：FFF與F

互為對偶函數(shù)如果兩個函數(shù)相等，則它們的對偶函數(shù)也相等。1?A=A0+A=AAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)函數(shù)對偶式的對偶式為函數(shù)本身。(A+B)(A+C)(B+C)=1.4.3基本定律的應(yīng)用1.證明等式利用基本定律證明等式的成立。例1：證明證：即：課堂練習(xí)：證明：例：將邏輯函數(shù)進行轉(zhuǎn)換；與或表達式與非－與非表達式與或非表達式或非－或非表達式或與表達式2.邏輯函數(shù)的代數(shù)變換3.邏輯函數(shù)的化簡1.5邏輯函數(shù)及其表示方法2.表示方法邏輯式邏輯狀態(tài)表邏輯圖波形圖1.邏輯函數(shù)：Y＝f（A、B、C········

）其中，A、B、C

是輸入變量，

Y是輸出變量，

f是邏輯運算。1.5.1邏輯函數(shù)的定義在邏輯系統(tǒng)中，輸入量與輸出量之間的對應(yīng)關(guān)系稱作邏輯函數(shù)2.邏輯函數(shù)的表示方法邏輯表達式真值表表示方法邏輯式邏輯狀態(tài)表邏輯圖波形圖邏輯圖波形圖

1.列邏輯狀態(tài)表設(shè)：開關(guān)閉合其狀態(tài)為“1”，斷開為“0”燈亮狀態(tài)為“1”，燈滅為“0”0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111

例：有一T形走廊，在相會處有一路燈,在進入走廊的A、B、C三地各有控制開關(guān)，都能獨立進行控制。任意閉合一個開關(guān)，燈亮；任意閉合兩個開關(guān)，燈滅；三個開關(guān)同時閉合，燈亮。設(shè)A、B、C代表三個開關(guān)（輸入變量）；Y代表燈（輸出變量）。2.邏輯式

用“與”“或”“非”等運算來表達邏輯函數(shù)的表達式。由邏輯狀態(tài)表寫出邏輯式一種組合中，輸入變量之間是“與”關(guān)系，0000

A

B

C

Y0011010101101001101011001111各組合之間是“或”關(guān)系2.邏輯式反之，也可由邏輯式列出狀態(tài)表。0000

A

B

C

Y00110101011010011010110011113.邏輯圖YCBA&&&&&&&>1CBA1.6邏輯函數(shù)的化簡1.6.1化簡的意義

由邏輯狀態(tài)表直接寫出的邏輯式及由此畫出的邏輯圖，一般比較復(fù)雜；若經(jīng)過簡化，則可使用較少的邏輯門實現(xiàn)同樣的邏輯功能。從而可節(jié)省器件，降低成本，提高電路工作的可靠性。1.最簡的含義：對與或表達式而言與項的個數(shù)最少每個與項中變量的個數(shù)最少2.化簡的方法：代數(shù)化簡法和卡諾圖化簡法與或表達式與非－與非表達式與或非表達式或非－或非表達式或與表達式3.邏輯函數(shù)式的常見形式

一個邏輯函數(shù)的表達式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互相轉(zhuǎn)換。例如：4.邏輯函數(shù)化簡的原則

邏輯函數(shù)化簡，并沒有一個嚴(yán)格的原則，通常遵循以下幾條原則：

(1)邏輯電路所用的門最少；(2)各個門的輸入端要少；(3)邏輯電路所用的級數(shù)要少；(4)邏輯電路能可靠地工作。1.6.2代數(shù)化簡法

代數(shù)化簡法就是反復(fù)使用邏輯代數(shù)的基本定律和常用公式，消去函數(shù)式中的多余乘積項和多余的因子1.并項法例：利用A+A=1將兩項合并為一項，消去一個變量F2=試用并項法化簡下列邏輯函數(shù)課堂練習(xí)：解：利用A+AB=A,消去多余項2.吸收法吸收例：化簡（1）利用將中的因子消去。3.消項法3.消項法（2）利用將中的因子消去。例：課堂練習(xí)：3.消項法（3）利用將BC項消去例：課堂練習(xí)：證明：利用1=A+A,增加必要的乘積項4.配項法5.加項法利用加入相同項后，合并化簡。例：例：化簡吸收吸收吸收吸收6.綜合法【課堂練習(xí)】[例]

化簡[解]并用CT74LS20雙4輸入與非門組成電路。

要用CT74LS20雙4輸入與非門組成電路，須將上式變換為與非邏輯式。代數(shù)化簡法要求：代數(shù)法化簡的不足熟悉邏輯代數(shù)公式，并且需要具有一定的經(jīng)驗和技巧通過化簡練習(xí)，能夠加深對邏輯運算規(guī)則的理解要求熟練掌握基本公式要有一定的技巧化簡結(jié)果是否最簡較難判定

1.6.3卡諾圖化簡法

卡諾圖是一種具有特定意義的方格圖，卡諾圖法是通過作圖來化簡邏輯函數(shù)。其特點是直觀方便?？ㄖZ圖：將真值表或邏輯函數(shù)式用一個特定的方格圖表示，稱為卡諾圖。最小項卡諾圖化簡規(guī)則預(yù)備知識一、最小項及其表達式1.最小項【例】

n=3，對A、B、C，有8個最小項乘積（與）項包含全部變量以原變量或反變量的形式只出現(xiàn)一次ABCABCABCABCABCABCABCABC最小項最小項編號m0m1m2m3編號m4m5m6m72.最小項的性質(zhì)1)最小項為“1”的取值唯一。如：最小項ABC,只有ABC取值101時，才為“1”，其它取值時全為“0”。2)任意兩個最小項之積為“0”。3)全部最小項之和為“1”。4)某一個最小項不是包含在函數(shù)F中，就包含在反函數(shù)F中。3.最小項表達式

全部由最小項構(gòu)成的“與或”表達式為最小項表達式(標(biāo)準(zhǔn)“與或”表達式)。【例1】F=ABC+BC=ABC+BC(A+A)=ABC+ABC+ABC=m1+m5+m7=m(1，5，7)三人表決電路【例2】ABCF00000001110111100001111010101011F=ABC+ABC+ABC+ABC=m3+m5+m6+m7=m

(3，5，6，7)例：二邏輯函數(shù)的最小項表達式最小項表達式：一組最小項之和的表達式求最小項表達式的方法：去非號去括號配項例1、卡諾圖的構(gòu)成(1)、由矩形或正方形組成的圖形；(2)、將矩形分成若干小方塊，每個小方塊對應(yīng)一個最小項；2變量卡諾圖ABABABAB改畫成：m0m1m2m3BA0110m0m1m2m3三、用卡諾圖表示邏輯函數(shù)(3)、呈現(xiàn)循環(huán)相鄰性，上、下、左、右?guī)缀蜗噜彙?變量卡諾圖一個整體分成8個小方格BCA1000110110m1

m0

m3

m2

m5

m4

m7

m6

注意：

上表頭編碼按00－01―11－10循環(huán)碼順序排列，而不是00－01－10－114變量卡諾圖CDAB0011011000110110m1

m0

m3

m2

m5

m4

m7

m6

m13

m12

m15

m14

m9

m8

m11

m10

CDAB001101100011011010

3

2

54

7

6

131215

14

9811

10

5變量卡諾圖DEAB00001100101000110110m1

m0

m3

m2

m5

m4

m11

m9

m7

m8

m27

m26

m6

m16

m19

m10

C110111101100m12

m13

m14

m15

m17

m18

m20

m21

m22

m23

m24

m25

m28

m29

m30

m31

2、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示F(A,B,C,D)=m

(0,2,6,8,11,13,14,15)CDAB001101100011011011111111【例1】【例2】F=AB+BC+AC=ABC+ABC+ABC+ABCBCA10001101101111【例3】F=BC+AC+ABD+ABCDCDAB0011011000110110111111111100011110000111101011111010110110ABCDDACBCY=D+AC+BC【例4】四、用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)1化簡的依據(jù)兩個相鄰的最小項可以合并消去一個變量。BCA1000110110111111=ACABCABC+ABCABC+=BCABCABC+=ABBCA1000110110111111BCA1000110110111111F=AC+AB+BCF=AB+BC+AC邏輯函數(shù)的最簡式不唯一BAC1000110110111111F=AB+AB+ABC+ABC不是最簡式卡諾圖化簡BCA1000110110111111BCA1000110110111111F=AB+AC+BC+BC冗余項BCBCF=B+BCC四個相鄰的最小項可以合并消去兩個變量。八個相鄰的最小項可以合并消去三個變量。2.卡諾圖化簡的步驟3.畫包圍圈應(yīng)遵循以下原則①圈要盡量大，但要保證2n個格；①將邏輯函數(shù)寫成最小項表達式；②按最小項表達式填寫卡諾圖；③合并最小項，即將相鄰的1方格圈成一組。④將包圍圈對應(yīng)的乘積項相加。②圈必須要是矩形；③所有的“1”必須至少被圈一次；④每個圈中至少有一個“1”從未圈過；⑤圈的個數(shù)應(yīng)最少。CDAB00110110001101101111111111【例1】F=AB+BC+BD【例2】F=ABC+ACD+ABD+AD+AC化簡邏輯函數(shù)BADC0011011000110110111111111111F=BC+AC+AD+BD+ACD【例3】Y=(A,B,C,D)=m4(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)試用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)CDAB00110110001101101111111111111F=A+CD+BC+BD+BCD用卡諾圖化簡遵循的原則：（1）每個圈應(yīng)包含盡可能多的最小項；CDAB001101100011011011111111（2）每個圈至少有一個最小項未被其它圈圈過；F=BD+ABC+ACD+ACD+ABC

（3）圈的數(shù)目應(yīng)盡可能少；（4）所有等于1的單元都必須被圈過；CDAB001101100011011011111111（5）最簡“與或”表達式不唯一。F=AD+BD+ABC+ABCD五、具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)化簡約束項:

輸入變量的取值不是任意的，其中某些取值組合不允許出現(xiàn),稱為約束項，或稱為禁止項。無關(guān)項：把約束項和任意項統(tǒng)稱為無關(guān)項。任意項:

當(dāng)輸入變量取某些值時，邏輯函數(shù)的輸出值可以是任意的，或者這些變量的取值根本就不會出現(xiàn)，這些變量取值對應(yīng)的最小項稱為任意項。在對函數(shù)化簡有利時，將無關(guān)項取1，否則取0。

約束項和任意項可以寫入函數(shù)式，也可不包含在函數(shù)式中，因此統(tǒng)稱為無關(guān)項。0001111000101111101ABCD00011110001x01x111xxx101xxABCD00011110001x01x111xxx101xxABCD00011110001011x111xxxx101xxABCD例2：化簡【例3】求：8421碼中出現(xiàn)奇數(shù)的邏輯函數(shù)。ABCDF00000000110010000111010000101101100011111000010011有效狀態(tài)1010101111001101111