寒假作業(yè)12 反比例函數(shù)的基本模型（16道經(jīng)典題型+6道中考真題）

完成時(shí)間：________月________日天氣：寒假作業(yè)12反比例函數(shù)的基本模型積累運(yùn)用近年來(lái)，反比例函數(shù)作為中考和模擬考的壓軸選填題出現(xiàn)較為頻繁，個(gè)別省市更是作為解答題的壓軸來(lái)考查。仔細(xì)研究中考真題，不難發(fā)現(xiàn)一些常見(jiàn)的幾何模型，今天我們就常見(jiàn)的幾種與反比例函數(shù)結(jié)合的幾何模型（定值矩形與定值三角形模型、平行線(xiàn)之間的定值三角形模型、“喇叭三角形”（三角轉(zhuǎn)梯形）、中點(diǎn)模型、比值模型、等角模型、等分面積模型等）給大家作一個(gè)專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練，方便同學(xué)們熟練掌握?；A(chǔ)過(guò)關(guān)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A向軸作垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)，連接，若的面積為4，則的值為（

）A．4 B． C．8 D．2．如圖，的直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的比例系數(shù)為（

）A．2 B．4 C． D．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與x軸相切于點(diǎn)B，為的直徑，點(diǎn)C在函數(shù)（，）的圖像上，為軸上的一點(diǎn)，的面積為6，則k的值是（）．A．6 B．12 C．24 D．364．如圖是反比例函數(shù)和在x軸上方的圖象，軸的平行線(xiàn)分別與這兩個(gè)函數(shù)圖象交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，則的面積為（）A．3 B．6 C． D．5．如圖，A、B是函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，且A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，軸于C，BD⊥x軸于D，如果四邊形的面積為S，那么（）A． B． C． D．6．如圖，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)H，若的面積為5，則k的值為_(kāi)_____________．7．雙曲線(xiàn)和如圖所示，是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，連接，若的面積為2，則____________．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在正比例函數(shù)的第一象限的圖象上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)的軸上，且，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接，，若的面積為，那么的值為_(kāi)_______________．9．如圖，在△OAB中，C是AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，若△OAB的面積為6，則k的值為_(kāi)_________．能力提升練10．如圖1，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為，，延長(zhǎng)線(xiàn)段交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積；如圖2，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為，，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積，則的值為（

）A． B． C． D．11．如圖，雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)斜邊上的點(diǎn)，與直角邊相交于點(diǎn)，已知，的面積為5，則的值是（）A．12 B．24 C．5 D．1012．兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在的圖象上，軸于點(diǎn)C，交的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：①與的面積相等；②四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化；③與始終相等；④當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)一定是的中點(diǎn)．其中，正確的結(jié)論有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．413．如圖，雙曲線(xiàn)與在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點(diǎn)在圖上．垂直軸于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，垂直軸于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，連接、，下列結(jié)論：①四邊形的面積為4；②的面積為3；③；④．其中一定正確的有______________個(gè)．14．如圖，已知函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)、，與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)、，若，則的值為_(kāi)____________．15．如圖，A，B是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，，，則______________.拓展培優(yōu)練16．閱讀與思考：閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．探究反比例函數(shù)圖象中的等線(xiàn)段：我們知道，若反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不難發(fā)現(xiàn)，那么如果反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，是否也存在相等線(xiàn)段？下面分別從反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在同一象限和不同象限兩種情況進(jìn)行分析：情況：交點(diǎn)在同一象限（以交點(diǎn)在第一象限為例）．如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接．設(shè)點(diǎn)，，則，，，，，，．又，∽（依據(jù)），，．又，四邊形是平行四邊形，．同理可得，從而；情況：交點(diǎn)在不同象限（以交點(diǎn)在一、三象限為例）．如圖，任務(wù)：(1)上述證明過(guò)程中的依據(jù)是：__________________________；(2)請(qǐng)參照情況的分析過(guò)程，寫(xiě)出情況的分析過(guò)程；(3)“從一般到特殊”的思想拓展研究數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題，是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的解題方法，結(jié)合以上信息，猜想：當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，試著找出一條結(jié)論：_______________________________．中考真題練17．（2023年江蘇省淮安市中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)．若點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值是（

）A． B． C． D．18．（2023年江蘇省宿遷市中考真題）如圖，直線(xiàn)、與雙曲線(xiàn)分別相交于點(diǎn)．若四邊形的面積為4，則的值是（

）A． B． C． D．119．（2023年湖南省張家界市中考真題）如圖，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)D在上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D及矩形的對(duì)稱(chēng)中心M，連接．若的面積為3，則k的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．520．（2023年福建省中考真題）如圖，正方形四個(gè)頂點(diǎn)分別位于兩個(gè)反比例函數(shù)和的圖象的四個(gè)分支上，則實(shí)數(shù)的值為（）

A． B． C． D．321．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，點(diǎn)和在反比例函數(shù)的圖象上，其中．過(guò)點(diǎn)A作軸于點(diǎn)C，則的面積為_(kāi)_____________；若的面積為，則______________．22．（2023年浙江省寧波市中考真題）如圖，點(diǎn)A，B分別在函數(shù)圖象的兩支上（A在第一象限），連接AB交x軸于點(diǎn)C．點(diǎn)D，E在函數(shù)圖象上，軸，軸，連接．若，的面積為9，四邊形的面積為14，則的值為_(kāi)___________________，a的值為_(kāi)___________________．

寒假作業(yè)12反比例函數(shù)的基本模型參考答案基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A是反比例函數(shù)上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A向軸作垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)，連接，若的面積為4，則的值為（

）A．4 B． C．8 D．【答案】D【解析】設(shè)，由題意，，，故選D．2．如圖，的直角頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的比例系數(shù)為（

）A．2 B．4 C． D．【答案】C【解析】過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖：，，，，又，，，，，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)圖象在第二象限，過(guò)點(diǎn)的反比例函數(shù)的比例系數(shù)．故選．3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與x軸相切于點(diǎn)B，為的直徑，點(diǎn)C在函數(shù)（，）的圖像上，為軸上的一點(diǎn)，的面積為6，則k的值是（）．A．6 B．12 C．24 D．36【答案】C【解析】如圖，連接，，設(shè)的高為h，∵與x軸相切于點(diǎn)B，為的直徑，∴，,∴、的高為，∴,∵，∴，∴,∵，且反比例函數(shù)圖像在一象限，∴．故選C．4．如圖是反比例函數(shù)和在x軸上方的圖象，軸的平行線(xiàn)分別與這兩個(gè)函數(shù)圖象交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，則的面積為（）A．3 B．6 C． D．【答案】A【解析】如圖，連接、，設(shè)交軸于，軸的平行線(xiàn)分別與這兩個(gè)函數(shù)圖象相交于點(diǎn)，，軸，點(diǎn)、在反比例函數(shù)和在軸上方的圖象上，，，，軸,與“同底等高”，，故選A．5．如圖，A、B是函數(shù)的圖象上的點(diǎn)，且A、B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，軸于C，BD⊥x軸于D，如果四邊形的面積為S，那么（）A． B． C． D．【答案】D【解析】∵A，B是函數(shù)的圖象上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的任意兩點(diǎn)，∴若假設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為，則B點(diǎn)坐標(biāo)為，，，故四邊形的面積S是．故選D．6．如圖，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)H，若的面積為5，則k的值為_(kāi)_____________．【答案】【解析】根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知，∵是面積為5，∴的面積是2.5，∴，∵雙曲線(xiàn)位于二、四象限，∴k＝．故答案為：.7．雙曲線(xiàn)和如圖所示，是雙曲線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交雙曲線(xiàn)于點(diǎn)，連接，若的面積為2，則____________．【答案】5【解析】∵，∴，∴，∵反比例函數(shù)位于第一象限，∴，∴.故答案為5．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在正比例函數(shù)的第一象限的圖象上，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)的軸上，且，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，交過(guò)點(diǎn)A的反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，連接，，若的面積為，那么的值為_(kāi)_______________．【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則，把代入得到，∵，∴，∴，當(dāng)時(shí)，，即，∵軸，軸，∴，∵，∴，即，∴，∴，解得，故答案為.9．如圖，在△OAB中，C是AB的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y=（k＞0）在第一象限的圖象經(jīng)過(guò)A，C兩點(diǎn)，若△OAB的面積為6，則k的值為_(kāi)_________．【答案】4【解析】分別過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)、點(diǎn)，如圖.點(diǎn)為的中點(diǎn)，為的中位線(xiàn)，，，，，，，，，.故答案為.能力提升練10．如圖1，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為，，延長(zhǎng)線(xiàn)段交軸于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積；如圖2，點(diǎn)、在反比例函數(shù)的圖象上，過(guò)點(diǎn)、作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為，，連接，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，陰影部分的面積，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】①，∽，，，而，，，，，，，，，②設(shè)，，由圖可知：，，，，，，，即，解得，．故選C．11．如圖，雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)斜邊上的點(diǎn)，與直角邊相交于點(diǎn)，已知，的面積為5，則的值是（）A．12 B．24 C．5 D．10【答案】A【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，∴又∵．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則．∴，．∴點(diǎn)坐標(biāo)為∴點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∵點(diǎn)與點(diǎn)都在圖象上，．∴，∴點(diǎn)坐標(biāo)為()．∵的面積為，∴的面積為．∴的面積為．∴，即．∴．∴．故選A.12．兩個(gè)反比例函數(shù)和在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，點(diǎn)P在的圖象上，軸于點(diǎn)C，交的圖象于點(diǎn)A，軸于點(diǎn)D，交的圖象于點(diǎn)B，當(dāng)點(diǎn)P在的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下結(jié)論：①與的面積相等；②四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化；③與始終相等；④當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)一定是的中點(diǎn)．其中，正確的結(jié)論有（）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】∵點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，軸，∴，，∴，結(jié)論①正確；∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且軸，軸，∴，∴，即四邊形的面積不會(huì)發(fā)生變化，結(jié)論②正確；設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，與的關(guān)系無(wú)法確定，結(jié)論③錯(cuò)誤；如圖，連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，即，，∴點(diǎn)一定是的中點(diǎn)，結(jié)論④正確；綜上，正確的結(jié)論有3個(gè)，故選C．13．如圖，雙曲線(xiàn)與在第一象限內(nèi)的圖象依次是和，設(shè)點(diǎn)在圖上．垂直軸于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，垂直軸于點(diǎn)，交圖象于點(diǎn)，連接、，下列結(jié)論：①四邊形的面積為4；②的面積為3；③；④．其中一定正確的有______________個(gè)．【答案】2【解析】垂直軸于點(diǎn)，垂直軸于點(diǎn)，，四邊形是矩形，點(diǎn)在圖上，，，點(diǎn)在圖象上，，，，故①正確，符合題意；，故②錯(cuò)誤，不符合題意；，，，故③錯(cuò)誤，不符合題意；，，，，，，，，，故④正確，符合題意；綜上所述，正確的有：①④，共2個(gè)，故答案為2．14．如圖，已知函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于點(diǎn)、，與雙曲線(xiàn)交于點(diǎn)、，若，則的值為_(kāi)_____________________．【答案】【解析】已知函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)C、B，把x=0代入，y=2；y=0代入，x=2；∴B、C的坐標(biāo)分別是、，則，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)是，過(guò)點(diǎn)A作軸于E點(diǎn)，∵AE∥OB，∴，∴，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象都關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，由對(duì)稱(chēng)性可知，又∵，∴，∴，解得，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是，∵點(diǎn)A在雙曲線(xiàn)上，∴，故答案為-3．15．如圖，A，B是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，，，則______________.【答案】10【解析】如圖，分別延長(zhǎng)CA，DB交于點(diǎn)E．軸于點(diǎn)C，軸于點(diǎn)D，，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)相等．設(shè)，則，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．點(diǎn)A，B是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，，解得：，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．，，，，，．拓展培優(yōu)練16．閱讀與思考：閱讀下列材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．探究反比例函數(shù)圖象中的等線(xiàn)段：我們知道，若反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，則根據(jù)反比例函數(shù)的圖象與正比例函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不難發(fā)現(xiàn)，那么如果反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，是否也存在相等線(xiàn)段？下面分別從反比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)在同一象限和不同象限兩種情況進(jìn)行分析：情況：交點(diǎn)在同一象限（以交點(diǎn)在第一象限為例）．如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，連接．設(shè)點(diǎn)，，則，，，，，，．又，∽（依據(jù)），，．又，四邊形是平行四邊形，．同理可得，從而；情況：交點(diǎn)在不同象限（以交點(diǎn)在一、三象限為例）．如圖，任務(wù)：(1)上述證明過(guò)程中的依據(jù)是：______；(2)請(qǐng)參照情況的分析過(guò)程，寫(xiě)出情況的分析過(guò)程；(3)“從一般到特殊”的思想拓展研究數(shù)學(xué)中的一些問(wèn)題，是數(shù)學(xué)中經(jīng)常使用的解題方法，結(jié)合以上信息，猜想：當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，試著找出一條結(jié)論：______．【解析】（1）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似；（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接．設(shè)點(diǎn)，，則，，，，，，．又，兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，，．又，四邊形是平行四邊形，．同理可得，；（3）猜想：當(dāng)反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象只有個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)交點(diǎn)為，一次函數(shù)的圖象與軸，軸分別交于點(diǎn)，，則．故答案為：．中考真題練17．（2023年江蘇省淮安市中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸交于兩點(diǎn)，且與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)．若點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則.∴，∴，∵,，∴，∴，解得，∵點(diǎn)在上，∴，解得，∴直線(xiàn)的解析式為，當(dāng)時(shí)，，即，又與反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象交于點(diǎn)，∴.故選C．18．（2023年江蘇省宿遷市中考真題）如圖，直線(xiàn)、與雙曲線(xiàn)分別相交于點(diǎn)．若四邊形的面積為4，則的值是（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】連接四邊形的對(duì)角線(xiàn)，過(guò)作軸，過(guò)作軸，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，如圖所示：根據(jù)直線(xiàn)、與雙曲線(xiàn)交點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性可得四邊形是矩形，，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即，與雙曲線(xiàn)分別相交于點(diǎn)，聯(lián)立，即，則，由，解得，，即，解得，故選A．19．（2023年湖南省張家界市中考真題）如圖，矩形的頂點(diǎn)A，C分別在y軸、x軸的正半軸上，點(diǎn)D在上，且，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D及矩形的對(duì)稱(chēng)中心M，連接．若的面積為3，則k的值為（

）A．2