5.4.2 圓周角定理的推論3 同步練習

第五章圓4圓周角和圓心角的關系第2課時圓周角定理的推論3基礎過關全練知識點5圓周角定理的推論31.(2023四川自貢中考)如圖,△ABC的三個頂點都在☉O上,CD是☉O的直徑,連接BD,∠DCA=41°,則∠ABC的度數是(M9205005)()A.41° B.45° C.49° D.59°第1題圖第2題圖2.(2023山東聊城東昌府一模)如圖,在△ABC中,AB=AC,三個頂點A,B,C均在☉O上,BD過圓心O,連接AD.當∠OBC=40°時,∠ADB的度數是()A.45° B.55° C.65° D.75°3.(2022江蘇蘇州中考)如圖,AB是☉O的直徑,弦CD交AB于點E,連接AC,AD.若∠BAC=28°,則∠D=°.(M9205005)

4.(2023山東煙臺招遠期末)如圖,☉O的直徑AB=2,弦AC=1,連接BC,點D在☉O上,則∠D的度數是.(M9205005)

5.(2022山東東營墾利期末改編)如圖,在平面直角坐標系xOy中,直徑為10的☉A經過y軸上的點C和原點O,點B是y軸右側☉A的優(yōu)弧OBC上一點,∠OBC=30°,則點C的坐標為.

6.如圖,AB是☉O的直徑,C,D兩點在☉O上,若∠C=45°.(1)求∠ABD的度數;(2)若∠CDB=30°,BC=5,求☉O的半徑.7.(2023山東濟南萊蕪模擬)如圖,已知△ABC的三個頂點都在☉O上,AD是☉O的直徑,連接BD,BC平分∠ABD.(M9205005)(1)求證:∠CAD=∠ABC;(2)若AD=4,求CD的長.8.(2020浙江衢州中考)如圖,△ABC的三個頂點在☉O上,AB為☉O的直徑,AB=10,AC=6,連接OC,弦AD分別交OC,BC于點E,F,其中點E是AD的中點.(M9205005)(1)求證:∠CAD=∠CBA;(2)求OE的長.能力提升全練9.(2022湖北十堰中考改編)如圖,等邊△ABC的三個頂點都在☉O上,點D是弧AC上一動點(不與A,C重合),下列結論:①∠ADB=∠BDC;②DA=DC;③當DB最長時,DB=2DC;④DA+DC=DB.其中一定正確的結論有(M9205005)()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個10.(2023山東煙臺萊陽期末)如圖,BD是☉O的直徑,點A、C在☉O上,AB=AD,連接AD、AB,AC、BD相交于點E,若∠COD=126°,則∠AEB的度數為.(M9205005)

11.(2022山東濟寧中考)如圖,點A,C,D,B在☉O上,AC=BC,∠ACB=90°.若CD=a,tan∠CBD=13,則AD的長是12.(2023安徽中考)已知四邊形ABCD的四個頂點都在☉O上,對角線BD是☉O的直徑.(M9205005)(1)如圖1,連接OA,CA,若OA⊥BD,求證:CA平分∠BCD;(2)如圖2,E為☉O內一點,滿足AE⊥BC,CE⊥AB.若BD=33,AE=3,求弦BC的長.13.(2022山東煙臺萊州一模改編)如圖,△ABC的三個頂點都在☉O上,且AB是☉O的直徑,點C,D是圓上兩點,且AD=BD,連接CD交AB于點E.若tan∠CDB=12,求CE素養(yǎng)探究全練14.(2023山東淄博臨淄期末)如圖,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=90°,D是AB上一動點,連接CD,以CD為直徑的☉M交AC于點E,連接BM并延長交AC于點F,交☉M于點G,連接BE.(1)如圖1,當點D移動到使CD⊥BE時.①連接DE,求證:BD=AE;②求BD∶BC的值.(2)如圖2,當點D移動到使CG的度數為30°時,求證:AE2+CF2=EF2.圖1圖2

第五章圓4圓周角和圓心角的關系第2課時圓周角定理的推論3答案全解全析基礎過關全練1.C∵CD是☉O的直徑,∴∠DBC=90°.∵∠DBA=∠DCA=41°,∴∠ABC=90°-∠DBA=49°,故選C.2.C∵BD是☉O的直徑,∴∠BAD=90°.∵∠CAD=∠OBC=40°,∴∠BAC=50°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠BCA=123.答案62解析連接BC(圖略).∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∴∠ABC=90°-∠BAC=62°.∴∠D=∠ABC=62°.方法解讀圓中“直角”與“直徑”相對,可相互轉換.一般地,如果題目中存在直徑,往往作出直徑所對的圓周角——直角;如果存在直角,往往作出直徑.4.答案60°解析∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,cosA=ACAB=1∴∠D=∠A=60°.5.答案(0,5)解析設☉A與x軸的另一個交點為點D,連接CD,如圖.∵∠COD=90°,∴CD是☉A的直徑,即CD=10.∵∠OBC=30°,∴∠ODC=30°.∴OC=126.解析(1)∵∠BCD=45°,∴∠BAD=45°.∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°.∴∠ABD=90°-∠BAD=45°.(2)連接AC(圖略).∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵∠CAB=∠CDB=30°,∴AB=2BC=2×5=10.∴☉O的半徑為5.7.解析(1)證明:∵BC平分∠ABD,∴∠DBC=∠ABC.∵∠CAD=∠DBC,∴∠CAD=∠ABC.(2)連接CD(圖略).∵∠ADC=∠ABC,∠CAD=∠ABC,∴∠ADC=∠CAD.∴AC=CD.∵AD是☉O的直徑,∴∠ACD=90°.∴AC2+CD2=2CD2=AD2.∵AD=4,∴CD=22.8.解析(1)證明:∵E為AD的中點,∴AE=DE,又OC是☉O的半徑,∴AC=CD.∴∠CAD=∠CBA.(2)∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵AE=DE,∴OC⊥AD.∴∠AEC=90°.∴∠AEC=∠ACB.又∠CAD=∠CBA,∴△AEC∽△BCA.∴CEAC=ACBA,即CE6∵OC=12能力提升全練9.C①∵△ABC是等邊三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°.∴∠ADB=∠ACB=60°,∠BDC=∠BAC=60°.∴∠ADB=∠BDC,故①正確.②∵點D是弧AC上一動點,∴AD與CD不一定相等.∴DA與DC不一定相等,故②錯誤.③當DB最長時,DB為☉O的直徑,∴∠BCD=90°.∵∠BDC=60°,∴∠DBC=30°.∴DB=2DC,故③正確.④在DB上取一點E,使DE=AD,連接AE,如圖.∵∠ADB=60°,∴△ADE是等邊三角形.∴AD=AE,∠DAE=60°.∵∠BAC=60°,∴∠BAE=∠CAD.∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD(SAS).∴BE=CD.∴BD=BE+DE=CD+AD,即DA+DC=DB,故④正確.∴正確的有①③④,共3個,故選C.10.答案108°解析∵BD是☉O的直徑,∴∠BAD=90°.∵AB=AD,∴AB=AD.∴∠B=∠D=45°.∵∠DAC=12∠COD=1∴∠AEB=∠DAC+∠D=63°+45°=108°.11.答案22a解析如圖,連接AB,過點C作CE⊥BD,交BD的延長線于E.易知∠ADB=∠ACB=90°.∵AC=BC,∴∠ABC=45°,∴∠ADC=∠ABC=45°,∴∠CDE=∠ADE-∠ADC=45°.∴CE=DE=22CD=2∵tan∠CBD=CEBE=13,∴BE=∴BD=BE-DE=2a,BC=CE2+B∴AB=10a,∴AD=AB2-BD212.解析(1)證明:∵OA⊥BD,∴AB=AD.∴∠ACB=∠ACD,即CA平分∠BCD.(2)如圖,延長AE交BC于M,延長CE交AB于N.∵AE⊥BC,∴∠AMB=90°.∵BD是☉O的直徑,∴∠BCD=90°.∴∠BCD=∠AMB.∴CD∥AM.同理可得AD∥NC.∴四邊形AECD是平行四邊形,∴AE=CD=3.∴BC=BD2-CD213.解析如圖,連接OD,過點C作CF⊥AB于F.∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.又∠CDB=∠CAB,tan∠CDB=12∴tan∠CAB=BCAC=1設BC=x,則AC=2x,∴AB=AC2+B∴OD=12AB=52x.∵S△ABC=12∴2x·x=5x·CF,∴CF=25∵AD=BD,∴∠ACD=∠BCD=12∴∠BOD=2∠BCD=90°.∵CF⊥AB,∴∠CFE=90°.∴∠CFE=∠BOD.∵∠FEC=∠OED,∴△CEF∽△DEO.∴CEDE=CFDO=255x52素養(yǎng)探究全練14.解析(1)①證明:∵CD是☉M的直徑,CD⊥BE,∴BD=ED,∠DEC=90°.∴BD=ED,∠DEA=90°.∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠A=45°.∴∠ADE=45°.∴∠ADE=∠A.∴AE=ED.∴BD=AE.②由①知AE=ED=BD.∴AD=AE2+E∴AB=AD+BD=(2+1)BD.∴BC=AB=(2+1)BD.∴BD∶BC=1∶(2+1)=2-1.(2)證明:證法一(構造直角三角形):連接EM,DE,如圖.∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠A=∠ACB=45°.∵∠EMB=2∠ECB,∴∠EMB=90°.∴∠EMF=90°.∴EM2+MF2=EF2.∵CG的度數為30°,∴∠CMG=30°,∴∠BMD=∠CMG=30°,∴∠DME=60°.∵DM=EM,∴△DME是等邊三角形.∴DE=EM,∠CDE=60°.∵CD是☉M的直徑,∴∠CED=90°,∴∠AED=90°.∵∠A=45°,∴∠ADE=45°,∴∠ADE=∠A,∴AE=ED.∴AE=EM.∵∠DCE=90°-∠CDE=30°,∴∠DCE=∠CMG.∴CF=MF.∵EM2+MF2=EF2,∴AE2+CF2=E