5.6.2 切線的性質(zhì)與判定 同步練習(xí)

第五章圓6直線和圓的位置關(guān)系第2課時(shí)切線的性質(zhì)與判定基礎(chǔ)過關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)2切線的性質(zhì)1.(2023重慶中考A卷)如圖,AC所在直線是☉O的切線,B為切點(diǎn),連接OA,OC.若∠A=30°,AB=23,BC=3,則OC的長度是()A.3 B.23 C.13 D.62.(2023山東泰安岱岳三模)如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的點(diǎn),∠CDB=15°,過點(diǎn)C作☉O的切線交AB的延長線于點(diǎn)E,若OE=2,則☉O的半徑為()A.3 B.2 C.32 D.3.(2022山東泰安中考)如圖,在△ABC中,∠B=90°,☉O過點(diǎn)A、C,與AB交于點(diǎn)D,與BC相切于點(diǎn)C,若∠A=32°,則∠ADO=°.4.(2022湖南株洲中考)中國元代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”.“方田一段,一角圓池占之.”意思是說:“一塊正方形田地,在其一角有一個(gè)圓形的水池(其中圓與正方形一角的兩邊均相切)”,如圖所示.問題:此圖中,正方形一條對(duì)角線AB與☉O相交于點(diǎn)M、N(點(diǎn)N在點(diǎn)M的右上方),若AB的長度為10米,☉O的半徑為2米,則BN的長度為米.5.(2022浙江金華中考)如圖,木工用角尺的短邊緊靠☉O于點(diǎn)A,長邊與☉O相切于點(diǎn)B,角尺的直角頂點(diǎn)為C.已知AC=6cm,CB=8cm,則☉O的半徑為cm.6.如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,過點(diǎn)A作☉O的切線AD,連接OD交☉O于點(diǎn)E,點(diǎn)E恰為AC的中點(diǎn),試猜想∠B與∠D的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.7.(2023江蘇連云港中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O交邊AC于點(diǎn)D,連接BD,過點(diǎn)C作CE∥AB.(1)請(qǐng)用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖:過點(diǎn)B作☉O的切線,交CE于點(diǎn)F;(不寫作法,保留作圖痕跡,標(biāo)明字母)(2)在(1)的條件下,求證:BD=BF.8.(2023山東東營河口三模)如圖,CD與☉O相切于點(diǎn)D,點(diǎn)C在直徑AB的延長線上.(1)求證:∠CAD=∠BDC;(2)若BD=239.(2022天津中考)已知AB為☉O的直徑,AB=6,C為☉O上的一點(diǎn),連接CA,CB.(1)如圖①,若C為AB的中點(diǎn),求∠CAB的度數(shù)和AC的長;(2)如圖②,若AC=2,OD為☉O的半徑,且OD⊥CB,垂足為E,過點(diǎn)D作☉O的切線,與AC的延長線相交于點(diǎn)F,求FD的長.圖①圖②知識(shí)點(diǎn)3切線的判定10.(2023廣西中考節(jié)選)如圖,PO平分∠APD,PA與☉O相切于點(diǎn)A,延長AO交PD于點(diǎn)C,過點(diǎn)O作OB⊥PD,垂足為B.求證:PB是☉O的切線.11.(2022四川南充中考節(jié)選)如圖,AB為☉O的直徑,點(diǎn)C是☉O上一點(diǎn),點(diǎn)D是☉O外一點(diǎn),∠BCD=∠BAC,連接OD交BC于點(diǎn)E.求證:CD是☉O的切線.12.(2023甘肅武威中考)如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB是☉O的直徑,D是☉O上的一點(diǎn),CO平分∠BCD,CE⊥AD,垂足為E,AB與CD相交于點(diǎn)F.(1)求證:CE是☉O的切線;(2)當(dāng)☉O的半徑為5,sinB=35能力提升全練13.(2023四川瀘州中考)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)D在斜邊AB上,以AD為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)E,與AC相交于點(diǎn)F,連接DE.若AC=8,BC=6,則DE的長是()A.4109 B.8109 C.14.(2023山東泰安東平模擬)如圖,☉O中,AB=CB,過點(diǎn)A作BC的平行線交過點(diǎn)C的圓的切線于點(diǎn)D,連接OB,OC,若∠ABC=46°,則∠ADC的度數(shù)是.15.(2023河南中考)如圖,PA與☉O相切于點(diǎn)A,PO交☉O于點(diǎn)B,點(diǎn)C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12,則CA的長為.第15題圖第16題圖16.(2021山東淄博博山模擬)如圖,Rt△ACB中,∠C=90°,AC=BC=6,點(diǎn)O在BC邊上,且OB=2,P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),連接OP,以點(diǎn)O為圓心,OP長為半徑作☉O.當(dāng)☉O與Rt△ACB的邊相切時(shí),BP的長為.

17.(2023山東威海中考)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在第一象限內(nèi),☉P與x軸相切于點(diǎn)C,與y軸相交于點(diǎn)A(0,8),B(0,2).連接AC,BC.(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)求cos∠ACB的值.18.(2023山東威海乳山一模)如圖,已知AB是☉O的直徑,點(diǎn)P在BA的延長線上,AB=BE,PD切☉O于點(diǎn)D,交EB于點(diǎn)C,連接AE,點(diǎn)D恰好在AE上.(1)求證:BE⊥PC;(2)連接OC,如果PD=23,∠ABC=60°,求OC的長.19.(2023山東煙臺(tái)中考)如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)E,☉O經(jīng)過A,D兩點(diǎn),交對(duì)角線AC于點(diǎn)F,連接OF交AD于點(diǎn)G,且AG=GD.(1)求證:AB是☉O的切線;(2)已知☉O的半徑與菱形的邊長之比為5∶8,求tan∠ADB的值.素養(yǎng)探究全練20.(2023浙江麗水中考改編)如圖,在☉O中,AB是一條不過圓心O的弦,點(diǎn)C,D是AB的三等分點(diǎn),直徑CE交AB于點(diǎn)F,連接AD交CF于點(diǎn)G,連接AC,過點(diǎn)C的切線交BA的延長線于點(diǎn)H.(1)求證:AD∥HC;(2)若OGGC(3)連接BC交AD于點(diǎn)N,若☉O的半徑為5.①若OF=52②若AH=10,求△ANB的周長;③若HF·AB=88,求△BHC的面積.

第五章圓6直線和圓的位置關(guān)系第2課時(shí)切線的性質(zhì)與判定答案全解全析基礎(chǔ)過關(guān)全練1.C如圖,連接OB.∵AC所在直線是☉O的切線,∴OB⊥AC.∴∠ABO=∠CBO=90°.∵∠A=30°,AB=23,∴OB=AB·tanA=2.∵BC=3,∴OC=BC2+OB2方法解讀已知圓的切線時(shí),常連接圓心和切點(diǎn),得到的半徑垂直于切線,進(jìn)一步通過構(gòu)造直角三角形來解決問題,即“見切線,連半徑,得垂直”.2.A如圖,連接OC.∵∠CDB=15°,∴∠COB=2∠CDB=30°.∵直線CE為☉O的切線,∴OC⊥CE.∴OC=OE·cos∠COB=2×32=33.答案64解析如圖,連接OC.∵∠A=32°,∴∠DOC=2∠A=64°.∵BC與☉O相切于點(diǎn)C,∴OC⊥BC,即∠OCB=90°.∵∠B=90°,∴∠B+∠OCB=180°.∴AB∥OC.∴∠ADO=∠DOC=64°.4.答案(8-22)解析如圖,設(shè)正方形的一邊與☉O的切點(diǎn)為C,連接OC,則OC⊥AC,∵AB是正方形的對(duì)角線,∴∠OAC=45°,∴OA=2OC=22(米),∴BN=AB-AO-ON=10-22-2=(8-22)米.5.答案25解析連接OA,OB,過點(diǎn)A作AD⊥OB于點(diǎn)D,如圖.∵角尺長邊與☉O相切于點(diǎn)B,∴OB⊥BC.∵AC⊥BC,AD⊥OB,∴四邊形ACBD為矩形.∴BD=AC=6cm,AD=BC=8cm.設(shè)☉O的半徑為rcm,則OA=OB=rcm,∴OD=OB-BD=(r-6)cm.在Rt△OAD中,AD2+OD2=OA2,即82+(r-6)2=r2,解得r=253.故☉O的半徑為256.解析∠B+∠D=90°.理由:如圖,連接AO并延長交☉O于點(diǎn)F,連接CF.∵點(diǎn)E為AC的中點(diǎn),∴OE⊥AC.∴∠CAD+∠D=90°.∵AD與☉O相切于點(diǎn)A,∴∠FAD=90°.∴∠CAD+∠FAC=90°.∵AF是☉O的直徑,∴∠ACF=90°,∴∠AFC+∠FAC=90°.∴∠AFC=∠CAD.∵∠AFC=∠B,∴∠B+∠D=90°.7.解析(1)方法不唯一,如圖所示.(2)證明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∵AB∥CE,∴∠ABC=∠BCF,∴∠BCF=∠ACB.∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠BDC=90°.∵BF為☉O的切線,∴∠ABF=90°.∵AB∥CE,∴∠BFC+∠ABF=180°,∴∠BFC=90°,∴∠BDC=∠BFC.在△BCD和△BCF中,∠∴△BCD≌△BCF(AAS),∴BD=BF.8.解析(1)證明:如圖,連接OD.∵CD與☉O相切于點(diǎn)D,∴∠ODC=90°,∴∠ODB+∠BDC=90°.∵AB是☉O的直徑,∴∠BDA=90°,∴∠ODB+∠ODA=90°.∴∠BDC=∠ODA.∵OA=OD,∴∠ODA=∠CAD.∴∠CAD=∠BDC.(2)∵∠DCB=∠ACD,∠BDC=∠DAC,∴△CDB∽△CAD.∴BDDA=CDCA,即23∴CD的長是4.9.解析(1)∵AB為☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵C為AB的中點(diǎn),∴AC=BC,∴AC=BC,∴∠ABC=∠CAB.在Rt△ABC中,∠ABC+∠CAB=90°,∴∠CAB=45°.根據(jù)勾股定理,得AC2+BC2=AB2.又AB=6,∴2AC2=36.∴AC=32(舍負(fù)).(2)∵FD是☉O的切線,∴OD⊥FD,即∠ODF=90°.∵OD⊥CB,垂足為E,∴∠CED=90°,CE=12∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∴∠FCE=90°.∴∠FCE=∠CED=∠ODF=90°.∴四邊形ECFD為矩形.∴FD=CE=12在Rt△ABC中,AB=6,AC=2,∠ACB=90°,∴CB=AB2-AC210.證明∵PA與☉O相切于點(diǎn)A,∴PA⊥OA.∵PO平分∠APD,OB⊥PD,OA⊥PA,∴OB=OA.∴點(diǎn)B在☉O上.∵OB是☉O的半徑,且PB⊥OB,∴PB是☉O的切線.11.證明如圖,連接OC.∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA.∵∠BCD=∠BAC,∴∠OCA=∠BCD.∵∠OCA+∠OCB=90°,∴∠BCD+∠OCB=90°,即∠OCD=90°,∴OC⊥CD.又OC是☉O的半徑,∴CD是☉O的切線.12.解析(1)證明:∵OB=OC,∴∠B=∠OCB.∵∠ADC=∠B,∴∠OCB=∠ADC.∵CO平分∠BCD,∴∠OCB=∠OCD.∴∠ADC=∠OCD.∵CE⊥AD,∴∠ADC+∠ECD=90°,∴∠OCD+∠ECD=90°,即CE⊥OC.∵OC為☉O的半徑,∴CE是☉O的切線.(2)連接OD(圖略),∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.∵∠OCD=∠OCB=∠B,∴∠ODC=∠B,∵CO=CO,∴△OCD≌△OCB,∴CD=CB.∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,∴AC=AB·sinB=10×35∴CB=AB2-A∴CE=CD·sin∠ADC=CD·sinB=8×35=24能力提升全練13.B在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,由勾股定理,得AB=AC如圖,連接AE,OE.設(shè)半圓O的半徑為r,則OA=OE=r,∴OB=AB-OA=10-r.∵BC與半圓O相切,∴OE⊥BC.∵∠C=90°,即AC⊥BC,∴OE∥AC.∴△BOE∽△BAC.∴BEBC=BOAB=OEAC,即BE6=由10?r10=r8,得r=409.由BE6∴CE=BC-BE=6-103=8在Rt△ACE中,AC=8,CE=83由勾股定理,得AE=AC2+C∵AD為半圓O的直徑,∴∠AED=90°.∴DE=AD2-AE214.答案67°解析連接OA(圖略).∵AB=CB,∴AB=BC.∴∠AOB=∠BOC.∵OB=OC,OB=OA,∴∠BCO=∠OBC,∠OAB=∠OBA.∴∠OBA=∠OBC.∵∠ABC=46°,∴∠OBA=∠OBC=23°.∴∠BCO=23°.∵CD是圓的切線,∴OC⊥CD.∴∠OCD=90°.∴∠BCD=∠BCO+∠OCD=113°.∵CB∥AD,∴∠ADC=180°-∠BCD=180°-113°=67°.15.答案10解析如圖,連接OC.∵PA與☉O相切于點(diǎn)A,∴∠OAP=90°.∵OA=OB,OC=OC,CA=CB,∴△OAC≌△OBC(SSS).∴∠OAP=∠OBC=90°,在Rt△OAP中,OA=5,PA=12,∴OP=OA2+A解法一(面積法):∵△OAC的面積+△OCP的面積=△OAP的面積,∴12OA·AC+12OP·BC=∴OA·AC+OP·BC=OA·AP,即5AC+13BC=5×12,∴AC=BC=103解法二(三角函數(shù)法):∵tanP=BCBP=OAAP,∴AC13?5=516.答案2或14+2解析∵∠C=90°,AC=BC=6,∴∠B=45°.當(dāng)☉O與AB相切時(shí),如圖1.∵OP⊥AB,∴∠OPB=90°.∴BP=OB·cosB=2×22=2圖1圖2當(dāng)☉O與AC相切時(shí),如圖2,過P點(diǎn)作PH⊥BC于H.易知OP=OC=4.設(shè)OH=x,則PH=BH=x+2.在Rt△POH中,OH2+PH2=OP2,即x2+(x+2)2=42,解得x1=7-1,x2=-7-1(舍去).∴PH=x+2=7+1.∴PB=2PH=14+2.綜上所述,當(dāng)☉O與Rt△ACB的邊相切時(shí),BP的長為2或14+2.17.解析此題以平面直角坐標(biāo)系為背景,考查切線的性質(zhì)和圓的性質(zhì).(1)如圖,連接PC,PB.∵點(diǎn)A(0,8),B(0,2),∴AB=6.過P作PH⊥AB于H,∴AH=BH=3.∴OH=5.∵☉P與x軸相切于點(diǎn)C,∴PC⊥x軸.易知四邊形OHPC為矩形,∴PC=OH=5.∴PB=5.∴PH=PB(2)如圖,連接AP并延長交☉P于M,連接BM,則∠ABM=90°.∴BM=AM2-A∴cos∠ACB=cos∠AMB=BMAM=810=18.解析(1)證明:如圖1,連接OD.∵AB=BE,∴∠E=∠BAE.∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.∴∠ODA=∠E.∴OD∥BE.∵PD切☉O于點(diǎn)D,∴OD⊥PD.∴∠ODP=∠BCP=90°.∴BE⊥PC.圖1圖2(2)如圖2,連接OD.∵OD∥BE,∠ABC=60°,∴∠DOP=∠ABC=60°.∵PD⊥OD,∴tan∠DOP=DPOD,即3=2∴OP=4,∴PB=6.∵BE⊥PC,∴sin∠ABC=PCPB,即32=∴PC=33.∴DC=3.∴OC=OD2+CD219.解析(1)證明:如圖,連接OA,則OF=OA,∴∠OAF=∠OFA.∵AG=GD,∴OF⊥AD.∴∠AGF=90°.∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=AD,AC⊥BD.∴∠BAE=∠DAE.∴∠OAB=∠OAF+∠BAE=∠OFA+∠DAE=90°.∴AB⊥OA.又OA是☉O的半徑,∴AB是☉O的切線.(2)∵OAAD=58,AD=2AG,∴OAAG設(shè)AG=4m,則OF=OA=5m.∵∠AGO=90°,∴OG=OA2-A∴FG=OF-OG=5m-3m=2m.∵∠AED=∠AGF=90°,∴∠ADB=∠AFG=90°-∠DAE.∴tan∠ADB=tan∠AFG=AGFG=4∴tan∠ADB的值是2.方法解讀作輔助線判定圓的切線的常用方法:①如果已知直線經(jīng)過圓上的一點(diǎn),那么連接這點(diǎn)和圓心,得到輔助半徑,再證明所作半徑與這條直線垂直即可,簡記為有切點(diǎn),連半徑,證垂直.②如果已知條件中不知道直線與圓是否有公共點(diǎn),那么過圓心作直線的垂線段,再證明垂線段的長度等于半徑即可,簡記為無切點(diǎn),作垂直,證半徑.素養(yǎng)探究全練20.解析(1)證明:∵點(diǎn)C,D是AB的三等分點(diǎn),∴AC=CD=DB.又CE是☉O的直徑,∴CE⊥AD,∵HC是☉O的切線,∴HC⊥CE.∴AD∥HC.(2)連接AO(圖略),∵BD=CD,∴∠BAD=∠CAD.由CE⊥AD易證△CAG≌△FAG,∴CG=FG.設(shè)CG=a,則FG=a,∵OGCG∴OG=2a,∴AO=CO=3a.在Rt△AOG中,由勾股定理得AO2=AG2+OG2,∴(3a)2=AG2+(2a)2,∴AG=5a.∴tan∠FAG=FGAG=a5a(3)①如圖,連接OA,∵OF=52,OC=OA=5,∴CF=5∴CG=FG=54,∴OG=15∴AG=OA2-OG2∵CE⊥AD,∴AD=2AG=52