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上海中學(xué)2024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)數(shù)學(xué)期中2024.11一、填空題(每題3分,共36分)
1.空間中垂直于同一條直線的兩個(gè)平面的位置關(guān)系是_________________.
2.空間中四個(gè)點(diǎn)最多能確定___________個(gè)平面.
3.在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是___________.
4.若一個(gè)球的半徑為3,則其體積為___________.
5.若空間向量共面,則實(shí)數(shù)___________.
6.將一個(gè)圓錐的側(cè)面展開后,得到一個(gè)半圓,則該圓錐軸截面的頂角等于___________.
7.若二面角內(nèi)一點(diǎn)到的距離分別等于,則該二面角的大小為___________.
8.已知空間向量的夾角是鈍角,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.
9.已知一個(gè)圓臺(tái)有內(nèi)切球,且兩底面半徑分別為1,4,則該圓臺(tái)的表面積為___________.
10.記等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為.若,則___________.
11.已知一個(gè)正三棱錐的高為6,底面邊長(zhǎng)為12,動(dòng)點(diǎn)分別在其內(nèi)切球和外接球上,則線段長(zhǎng)度的取值范圍是___________.
12、空間中有五個(gè)球兩兩外切,它們的半徑分別為,則___________.
二、選擇題(每題4分,共16分)
13.二面角的取值范圍是().
A.B.C.D.
14.滿足條件的等差數(shù)列共有()個(gè)
A.2B.3C.4D.5
15.給出命題:有兩個(gè)面平行,其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體一定是棱柱;命題:對(duì)任意且,均存在所有側(cè)面都是直角三角形的棱錐,則().
A.都是真命題B.是真命題,是假命題C.是假命題,是真命題D.都是假命題
16.在正三棱錐中,且兩兩垂直,是的中點(diǎn),過直線作平面,則直線與平面所成角的最大值為().
A.B.C.D.
三.解答題(17~18每題8分,19~20每題10分,21題12分)
17.在等差數(shù)列中,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.
18.在平行六面體中,,,是的中點(diǎn).
(1)求的長(zhǎng);
(2)求.
在矩形中,.
(1)將矩形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,求所得幾何體的表面積;
(2)將矩形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,求所得幾何體的體積.
20.四棱錐中,平面,底面是平行四邊形,且,,是的中點(diǎn).
(1)求二面角的余弦值;
(2)求異面直線和之間的距離.
21.在棱長(zhǎng)為1的正方體中,是的中點(diǎn),分別是上的動(dòng)點(diǎn).考查過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面:
(1)當(dāng)是的中點(diǎn)且是的中點(diǎn)時(shí),直接寫出截面的周長(zhǎng)和面積;
(2)當(dāng)時(shí),若截面為六邊形,求的取值范圍;
(3)當(dāng)是的中點(diǎn)且截面為五邊形時(shí),是否存在點(diǎn),使得截面將正方體分為體積比的兩個(gè)部分,若存在,求出的值;若不存在,說明理由. 參考答案一、填空題1.平行;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.;11.12.二、選擇題13.D14.D15.C16.C15.給出命題:有兩個(gè)面平行,其余各個(gè)面都是平行四邊形的多面體一定是棱柱;命題:對(duì)任意且,均存在所有側(cè)面都是直角三角形的棱錐,則().
A.都是真命題B.是真命題,是假命題C.是假命題,是真命題D.都是假命題
【答案】C【解析】對(duì)于命題:下左圖即為反例,故命題為假命題;對(duì)于命題:如右上圖所示,在該棱錐中,底面.在底面中,,,…….根據(jù)三垂線定理,即可使得所有側(cè)面都是直角三角形,即命題為真命題.16.在正三棱錐中,且兩兩垂直,是的中點(diǎn),過直線作平面,則直線與平面所成角的最大值為().
A.B.C.D.
【答案】C【解析】以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,再設(shè)平面還通過棱上一點(diǎn),可得,易得平面的一個(gè)法向量為.又,設(shè)直線與平面所成角為,則.令,即,則,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立,∴,選C.
三.解答題17.【答案】(1);(2).18.【答案】(1);(2).19.【答案】(1);(2).20.四棱錐中,平面,底面是平行四邊形,且,,是的中點(diǎn).
(1)求二面角的余弦值;
(2)求異面直線和之間的距離.【答案】(1);(2).【解析】(2)取中點(diǎn),連接,作,垂足為,易得平面.根據(jù)底面是平行四邊形,所以,故平面,所以線段的長(zhǎng)度即為直線與平面間的距離,也即異面直線和之間的距離.在中,,所以異面直線和之間的距離為.(1)再過點(diǎn)作,連接,根據(jù)三垂線定理可知,所以為二面角的平面角.在中,;在中,,所以,所以二面角的余弦值為.21.在棱長(zhǎng)為1的正方體中,是的中點(diǎn),分別是上的動(dòng)點(diǎn).考查過三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面:
(1)當(dāng)是的中點(diǎn)且是的中點(diǎn)時(shí),直接寫出截面的周長(zhǎng)和面積;
(2)當(dāng)時(shí),若截面為六邊形,求的取值范圍;
(3)當(dāng)是的中點(diǎn)且截面為五邊形時(shí),是否存在點(diǎn),使得截面將正方體分為體積比的兩個(gè)部分,若存在,求出的值;若不存在,
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