2024年11月廣東省第二次調(diào)研考試高三數(shù)學(xué)試題（含答案）

廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè),考試用時(shí)120分鐘,滿分150分。注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己所在的市(縣、區(qū))、學(xué)校、班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上,將條形碼橫貼在每張答題卡左上角“條形碼粘貼處”。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2?B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先畫(huà)掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件2.若雙曲線滿足,則的離心率為A. B. C. D.3.設(shè)全集,則A. B. C. D.4.已知四棱錐的體積為4,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,,則直線與平面所成角的正弦值為A. B. C. D.5.設(shè)分別為函數(shù)的零點(diǎn),則的大小關(guān)系為A. B. C. D.6.已知向量,則四邊形的面積為A. B. C. D.7.已知函數(shù),且在區(qū)間上單調(diào),則的最大值為A.B.C.D.8.一個(gè)正八面體的八個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1到8,任意拋擲一次這個(gè)正八面體,觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字.事件,事件,若事件滿足,則滿足條件的事件的個(gè)數(shù)為A.4B.8C.16D.24二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足,則A.可以是B.若為純虛數(shù),則的虛部是2C.D.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則A.B.C.當(dāng)時(shí),取得最小值D.記,則數(shù)列前項(xiàng)和為11.已知函數(shù),則A.當(dāng)時(shí),在(0,1)上的最大值為B.在上單調(diào)遞增C.當(dāng)時(shí),D.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),曲線與軸有三個(gè)交點(diǎn)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.其中第14題第一空2分,第二空3分.12.在中,,則_____.13.若函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)交點(diǎn),則的最小值為_(kāi)____.14.已知點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn),直線與橢圓相交于兩點(diǎn),且與圓在軸右側(cè)相切.若經(jīng)過(guò)點(diǎn)且垂直于軸,則_____；若沒(méi)有經(jīng)過(guò)點(diǎn),則的周長(zhǎng)為_(kāi)____.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(13分)某市舉辦一年一度的風(fēng)箏節(jié),吸引大批游客前來(lái)觀賞.為了解交通狀況,有關(guān)部門(mén)隨機(jī)抽取了200位游客,對(duì)其出行方式進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查(每位游客只填寫(xiě)一種出行方式),具體情況如下:出行方式地鐵公交車出租車自駕騎行步行頻數(shù)542738421821用上表樣本的頻率估計(jì)概率,低碳出行方式包括地鐵、公交車、騎行和步行.(1)若從參加活動(dòng)的所有游客中隨機(jī)抽取3人,這3人中低碳出行的人數(shù)記為,求和;(2)據(jù)另一項(xiàng)調(diào)查顯示,的低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動(dòng),的非低碳出行的游客表示明年將繼續(xù)參加活動(dòng),求今年參加活動(dòng)的游客明年繼續(xù)參加活動(dòng)的概率.16.(15分)已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)證明:.17.(15分)如圖,四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2菱形,分別是的中點(diǎn).(1)求證；平面；(2)若,求平面與平面所成角的余弦值.18.(17分)在數(shù)列中,都有成等差數(shù)列,且公差為.(1)求；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)是否存在,使得成等比數(shù)列.若存在,求出的值;若不存在,說(shuō)明理由.19.(17分)已知集合,設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)和時(shí),分別判斷函數(shù)是否是常數(shù)函數(shù)?說(shuō)明理由;(2)已知,求函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的概率;(3)寫(xiě)出函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個(gè)充分條件,并說(shuō)明理由.廣東省2025屆普通高中畢業(yè)班第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.題號(hào)12345678選項(xiàng)ACABDBBC二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.題號(hào)91011選項(xiàng) BCDABD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.其中第14題第一空2分,第二空3分.12.四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.(13分)【解析】(1)記“低碳出行”為事件,估計(jì).2分則,3分5分7分(2)由(1)知,則有,記“今年參加活動(dòng)的游客明年繼續(xù)參加活動(dòng)”為事件,由題意,9分所以.13分16.(15分)【解析】(1),2分,則,5分曲線在點(diǎn)處的切線方程為.6分(2)解法1:定義域?yàn)?7分①當(dāng)時(shí),,則,即;8分②當(dāng)時(shí),.設(shè)在上單調(diào)遞增,,所以,11分所以在上單調(diào)遞增,,即,14分所以在上單調(diào)遞增,,則,16分綜上所述,.17分解法2:定義域?yàn)?7分要證,只需證,只需證,10分令, 當(dāng)單調(diào)遞減;當(dāng)單調(diào)遞增,,12分 當(dāng)單調(diào)遞增;當(dāng)單調(diào)遞減,,14分綜上所述,,也就是,即.15分17.(15分)【解析】(1)取的中點(diǎn)為,連接.點(diǎn)分別是的中點(diǎn),是的中位線,即,在菱形中,.,即四邊形為平行四邊形,則,3分又平面平面,平面.5分(2)連接,平面平面,平面,6分又平面,,7分,又,則,所以.8分即直線兩兩垂直.如圖,以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則.9分,.10分設(shè)平面的法向量為,平面的法向量為,由得取.11分由得取.12分設(shè)平面與平面所成角為,則14分即平面與平面所成角的余弦值為.15分18.(17分)【解析】(1)由題意,成等差數(shù)列,公差為成等差數(shù)列,公差為4.1分則.5分(2)由題意,.6分當(dāng)時(shí), ,8分且滿足上式,所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí),.9分當(dāng)時(shí),.11分所以12分(3)存在時(shí),使得成等比數(shù)列分證明如下:由(2)可得,14分假設(shè)成等比數(shù)列,則,15分化簡(jiǎn)得,所以,即,16分此時(shí),所以當(dāng)時(shí),成等比數(shù)列.17分19.(17分)【解析】(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí)是常數(shù)函數(shù);2分當(dāng)時(shí),,此時(shí)不是常數(shù)函數(shù).4分(2)設(shè),不妨令. 若函數(shù)是常數(shù)函數(shù),則5分則,得,所以,得或,所以或,6分同理或或,7分則8分集合共有13個(gè)元素,從中任取3個(gè)元素組成集合,共個(gè),9分而滿足①的集合有,,共5個(gè),則使得函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的概率為.10分(3)不妨令,因?yàn)?,若函數(shù)是常數(shù)函數(shù),則得,所以得,所以12分①當(dāng)為偶數(shù)時(shí),可以拆分成組兩項(xiàng)的和,每一組為定值時(shí),也為定值,分所以函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個(gè)充分條件可以是14分②當(dāng)為奇數(shù)時(shí),可以拆分成1組三項(xiàng)的和與組兩項(xiàng)的和,每一組為定值時(shí),也為定值,15分所以函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個(gè)充分條件可以是 16分綜上所述,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個(gè)充分條件可以是 當(dāng)為奇數(shù)時(shí),函數(shù)是常數(shù)函數(shù)的一個(gè)充分條件可以是 17分答案詳解1.【答案】A【解析】由解得或,因?yàn)榛?所以“”是“”的充分不必要條件,所以答案選A.2.【答案】C【解析】由得,即,所以答案選C.3.【答案】A【解析】因?yàn)?則,即,因?yàn)?所以答案選A.4.【答案】B【解析】四棱錐的體積,得,直線與平面所成角的正弦值為,所以答案選B.5.【答案】D【解析】因?yàn)闀r(shí),,又因?yàn)閱握{(diào)遞增,所以;若0,則,所以時(shí),,即;若,則,所以時(shí),,即.綜上所述,,所以答案選D.6.【答案】B【解析】因?yàn)?所以四邊形為直角梯形.,則面積,所以答案選B.7.【答案】B【解析】由題意知,,則,因?yàn)?所以,又因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào),所以,解得,則的最大值為,所以答案選B.8.【答案】C【解析】樣本空間,這是一個(gè)古典概型,可得,即,從而且.由可得事件;又因?yàn)?所以1或2.(1)若,則,即,,此時(shí)不滿足;(2)若,則且,又因?yàn)?所以或,即或3;①若,此時(shí)或或或,也就是從事件中的四個(gè)樣本點(diǎn)中選3個(gè),再加入6這一個(gè)樣本點(diǎn),即有個(gè)滿足條件的事件;②若,同理有個(gè)滿足條件的事件；③若,此時(shí)或或或,即從事件的四個(gè)樣本點(diǎn)中選1個(gè),再加入5,6,7這三個(gè)樣本點(diǎn),即有個(gè)滿足條件的事件;④若,同理有個(gè)滿足條件的事件;綜上所述,滿足條件的事件共計(jì)個(gè),所以答案選C.9.【答案】AC【解析】當(dāng)時(shí),,選項(xiàng)A正確;若為純虛數(shù),則,選項(xiàng)B錯(cuò)誤;,選項(xiàng)正確;由可知,在復(fù)平面上,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以點(diǎn)(0,0)為圓心,2為半徑的圓上,的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)(-1,0)的距離,可得,選項(xiàng)錯(cuò)誤,所以答案選.10.【答案】BCD【解析】設(shè)公差為,因?yàn)?則,解得.由得,選項(xiàng)錯(cuò)誤;,則,選項(xiàng)正確,時(shí),最小,選項(xiàng)正確;,所以為等差數(shù)列,,前項(xiàng)和為,選項(xiàng)D正確,所以答案選BCD.11.【答案】ABD【解析】(1)當(dāng)時(shí),則當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,如圖(a);當(dāng)時(shí),,選項(xiàng)A正確;圖(a)圖(b)圖(c)圖(d)(2)當(dāng)時(shí),①當(dāng)時(shí),恒成立,單調(diào)遞增,如圖(b);②當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減,如圖(c);(3)當(dāng)a>1時(shí),時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減；如圖(d)綜上所述,在上單調(diào)遞增,選項(xiàng)正確;當(dāng)時(shí),不一定成立,比如時(shí),,選項(xiàng)C錯(cuò)誤;只有時(shí),的圖象與軸可能有