山西省運(yùn)城市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）

山西省運(yùn)城市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中測評數(shù)學(xué)試題全卷滿分150分，考試時間120分鐘．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則A.1 B.2 C. D.32.拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為A. B.3 C. D.13.記水的質(zhì)量為，則當(dāng)時，水的質(zhì)量為A. B. C.1 D.24.已知，則A.-5 B.-3 C. D.25.若雙曲線的離心率為2，則雙曲線上任意一點到兩焦點的距離之差的絕對值為A. B. C. D.6.已知拋物線，過點的直線與相交于A，B兩點，且為弦AB的中點，則直線的方程為A. B. C. D.7.如圖，已知多面體ABCDMN中，底面ABCD是邊長為2的正方形，平面平面，若異面直線AT與MD所成的角的余弦值為，則的值為A. B. C. D.8.已知.直線為上的一動點，A，B為上任意不重合的兩點，則的最小值為A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知圓與圓內(nèi)切，則的值可以為A.-1 B.0 C.1 D.210.如圖，在正三棱柱中，為空間內(nèi)一動點，若，則A.若，則點的軌跡為線段BC1 B.若，則點的軌跡為線段C.存在，使得平面 D.存在，使得平面11.已知橢圓且為常數(shù)）的左、右兩個焦點分別為和，動直線經(jīng)過橢圓的左焦點與橢圓交于A，B兩點，且的最大值為7；O為坐標(biāo)原點，則下列說法正確的是A. B.橢圓的離心率C. D.若，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的面積為______.13.如圖，在正四面體PABC中，為AB中點，則的值是______.14.已知拋物線的焦點為，則拋物線的準(zhǔn)線方程為______；拋物線16x的焦點為，若直線分別與交于P，Q兩點，且，則______.（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15.（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與的交點是圓的圓心，直線與圓相切．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點的直線與圓有且只有一個公共點，求直線的方程.16.（本小題滿分15分）如圖，在正三棱柱中，，點為AC的中點.（1）求證：平面；（2）求直線AB與平面所成的角的正弦值.17.（本小題滿分15分）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）求橢圓上的任意一點到直線的距離的最值.18.（木小題滿分17分）如圖，已知正四棱臺的上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，，點是棱上的動點（包括端點）．（1）證明，平面平而；（2）若平面與平而PCD的夾角的余弦值為，求點到平面的距離.19.（本小題滿分17分）已知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，虛軸長為2.（1）求雙曲線的方程；（2）直線與雙曲線的左支交于A，B兩點，點與點關(guān)于軸對稱.（i）求的取值范圍；（ii）求證：直線BD過定點.

數(shù)學(xué)參考答案、提示及評分細(xì)則題號12345678答案CBDABDCD題號91011答案BDABBC一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.【答案】C【解析】依題意，，則．故選C.2.【答案】B【解析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，有，有，可得拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為3.故選B.3.【答案】D【解析】當(dāng)時，水的質(zhì)量為.故選D.4.【答案】A【解析】由，得，則，所以，故選A.5.【答案】B【解析】由雙曲線的離心率為2，可得，解得，所以，又由雙曲線的定義，可得雙曲線上一點到兩焦點的距離之差的絕對值為.故選B.6.【答案】D【解析】設(shè)，因為直線與相交于A，B兩點，所以由題意得，直線的方程為，整理為，故選D.7.【答案】C【解析】以為原點，分別以AB，AD，AM所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，有，可得，又由，有，可得．故選C.8.【答案】D【解析】由題意得的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑為2，所以圓心到直線的距離為，所以直線與相離，所以當(dāng)PA，PB分別為圓的切線，且最小時，最大，又，則最大，所以最大，此時最小，此時．故選D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.【答案】BD（全部選對得6分，選對1個得3分，有選錯的得0分）【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因為圓與圓內(nèi)切，所以，即，解得或2.故選BD.10.【答案】AB（全部選對得6分，選對1個得3分，有選錯的得0分）【解析】對于A：由，得點在側(cè)面內(nèi)（含邊界），若，則，故點的軌跡為線段，故A正確；對于B：若，則，所以，即，又，1]，故點的軌跡為線段，故B正確；對于C：取棱BC的中點，連接AD，由題意易證平面，當(dāng)點與重合時，平面，此時，故不存在，使得平面，故C錯誤；對于D：若使平面，則點必在棱BC上，此時，故不存在，使得平面，故D錯誤.故選AB.11.【答案】BC（全部選對得6分，選對1個得3分，有選錯的得0分）【解析】如圖所示：易知，由橢圓定義可知，因為的最大值為7，所以的最小值為，當(dāng)軸，即為通徑時，最小，所以，有，解得，所以A錯誤；可得粗圓方程為，易知，所以離心率，所以B正確；當(dāng)為長軸時，最大，此時，所以，所以C正確；因為，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得，因此；若，可得，即，所以；有，整理得，解得．有.所以D錯誤.故選BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.【答案】 【解析】由余弦定理可得，即，解得或-1（舍去），所以.13.【答案】－1 【解析】.14.【答案】 【解析】由拋物線，可得，拋物線的準(zhǔn)線方程為.設(shè)，則，故，所以，所以，解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.【答案】（1）（2）或【解析】（1）聯(lián)立方程，解得………2分可得圓的圓心的坐標(biāo)為，……………3分又由圓與直線相切，可得圓的半徑為，……5分可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；…………6分（2）由直線與圓有且只有一個公共點，可得直線與圓相切，…………………7分①若斜率不存在，此時直線方程為：，與圓相切，……………8分②當(dāng)直線與圓相切斜率存在時，設(shè)，即，……10分根據(jù)圓心到切線距離等于半徑可得，得，所以此時直線的方程為，………………12分綜上，直線的方程為或．…………13分16.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】（1）連接與交于點，連接DE，………2分在正三棱柱中，四邊形是矩形，所以點是的中點，……3分又點是AC的中點，所以，……………………4分又平面平面，……………………5分所以平面；………………………6分（2）解法一：取的中點，連接DF，因為為等邊三角形，點為AC的中點，所以，………7分如圖，以點為原點，分別以DB，DC，DF所在直線為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則，………………9分設(shè)平面的一個法向量為，則令，得，………………12分由，有，所以直線AB與平面所成角的正弦值為.………15分解法二：由，有，…………8分又由，有，……10分設(shè)點到平面的距離為，有，………………12分又由，有，有，故直線AB與平面所成角的正弦值為.……15分17.【答案】（1）（2）最小值為，最大值為【解析】（1）由橢圓的離心率為，可得，………………1分可得，設(shè)橢圓的方程為：，……………………3分又因為橢圓經(jīng)過點，所以，解得，可得，………………5分所以橢圓的方程為：；………………………6分（2）解法一：設(shè)與直線平行的直線的方程為，…………………7分聯(lián)立，整理可得：，……………9分，可得，則，………11分所以直線到直線的距離為.所以直線到直線的距離為.所以橢圓上的點到直線的距離的最小值為，最大值為.……15分解法二：設(shè)點為橢圓上任意一點，…………8分點到直線的距離為（其中為銳角且），……………12分可得當(dāng)時，，…………13分當(dāng)時，.……………………14分所以橢圓上的點到直線的距離的最小值為，最大值為.……15分18.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】（1）以下底面正方形的中心為原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，由于，上、下底面分別是邊長為2和4的正方形，可求出四棱臺的高為，………2分則，于是，………………………4分設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，…………6分設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，………………8分由于，則平面的法向量與平面法向量垂直，則平面平面；…9分（2）設(shè)，且，則…………10分設(shè)平面PCD的法向量為，則，取，可得，…………………………12分設(shè)平面與平面PCD的夾角為，則，化簡即（，解出，………………………15分因此，則點到平面的距離為.………17分19.【答案】（1）（2）（i）（ii）詳見解析【解析】（1）由已知得解得，………………2分所以雙曲線的方程為；