數(shù)學(xué)學(xué)案：互動課堂第二講四弦切角的性質(zhì)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精互動課堂一、弦切角1。定義：頂點在圓上,一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。2.弦切角的特點：（1)頂點在圓周上；（2)一邊與圓相交；（3)一邊與圓相切.3。弦切角定義中的三個條件缺一不可。圖2-4-1各圖中的角都不是弦切角。圖(1)中，缺少“頂點在圓上”的條件;圖（2）中,缺少“一邊和圓相交"的條件；圖(3）中,缺少“一邊和圓相切”的條件;圖（4)中，缺少“頂點在圓上”和“一邊和圓相切”兩個條件。圖2-4-14.如圖2—4-2所示,弦切角可分為三類:（1）圓心在角的外部；（2)圓心在角的一邊上；（3)圓心在角的內(nèi)部。圖2-4-2二、弦切角定理1。弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。2.定理的證明：由于弦切角可分為三類，即圖2—4—2所示的情況，所以在證明定理時分三種情況加以討論:當(dāng)弦切角一邊通過圓心時〔圖2—4—3（1)〕,顯然弦切角與其所夾弧所對的圓周角都是直角;當(dāng)圓心O在∠CAB外時〔圖2—4-3（2）〕,作⊙O的直徑AQ，連結(jié)PQ,則∠BAC＝∠BAQ-∠1＝∠APQ-∠2＝∠APC;當(dāng)圓心O在∠CAB內(nèi)時〔圖2—4—3（3）〕,作⊙O的直徑AQ,連結(jié)PQ，則∠BAC＝∠QAB+∠1＝∠QPA+∠2＝∠APC。圖2-4—33。在證明弦切角定理的過程中,我們從特殊情況入手,通過猜想、分析、證明和歸納，從而證明了弦切角定理。通過弦切角定理的證明過程,要明確用運動變化的觀點觀察問題,進而理解從一般到特殊，從特殊到一般的認識規(guī)律.4。由弦切角定理,可以直接得出一個結(jié)論:若兩弦切角所夾的弧相等,則這兩個弦切角也相等，我們把這一結(jié)論稱為弦切角定理的推論，它也是角的變換的依據(jù)。5。弦切角定理也可以表述為弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半.這就建立了弦切角與弧的數(shù)量之間的關(guān)系，它為直接依據(jù)弧進行角的轉(zhuǎn)換確立了基礎(chǔ).三、刨根問底問題到目前為止,對于圓中有關(guān)的角我們已學(xué)過圓心角、圓周角、弦切角,它們各自有定義、定理及和它所對的弧的度數(shù)關(guān)系，這三種角在證明題和計算題中經(jīng)常用到，它們相互之間有哪些聯(lián)系和區(qū)別？探究：我們可用下表來分析它們的聯(lián)系與區(qū)別。名稱圓心角圓周角弦切角定義頂點在圓心的角頂點在圓上，兩邊和圓相交頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切圖形有關(guān)定理①圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)②在同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等，所對弦的弦心距相等同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半弦切角等于它所夾弧所對的圓周角有關(guān)推論四者關(guān)系定理的推論圓周角定理的推論①②③弦切角定理的推論角與弧的關(guān)系∠AOB的度數(shù)=AB的度數(shù)∠ACB的度數(shù)=的度數(shù)∠ACB的度數(shù)=的度數(shù)活學(xué)巧用【例1】如圖2-4—4,AD是⊙O的切線，AC是⊙O的弦,過C作AD的垂線，垂足為B,CB與⊙O相交于點E，AE平分∠CAB,且AE=2,求△ABC各邊的長。圖2-4—4思路解析：∠BAE為弦切角,于是∠BAE=∠C,再由AE平分∠CAB和△ABC是直角三角形可得∠C的度數(shù),進而解直角三角形即可。解:∵AD為⊙O的切線，∴∠BAE=∠C.∵AE平分∠CAB,∴∠BAC=2∠BAE。又∵∠C+∠BAC=90°，∴∠BAE=∠C=30°.則有BE=1，AB=3，BC=3,AC=23.【例2】如圖2-4-5,AD是△ABC中∠BAC的平分線,經(jīng)過點A的⊙O與BC切于點D,與AB、AC分別相交于E、F。求證：EF∥BC.圖2—4—5思路解析：連結(jié)DF,構(gòu)造弦切角，于是∠FDC=∠DAC,根據(jù)AD是△ABC中∠BAC的平分線有∠BAD=∠DAC,而∠BAD與∠EFD對著同一段弧,所以相等,由此建立∠EFD與∠FDC的相等關(guān)系,根據(jù)內(nèi)錯角相等，可以斷定兩直線平行。證明:連結(jié)DF.∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠DAC.∵∠EFD=∠BAD,∴∠EFD=∠DAC.∵⊙O切BC于D,∴∠FDC=∠DAC。∴∠EFD=∠FDC。∴EF∥BC。【例3】如圖2—4—6，△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=AC，直線XY切⊙O于點C，弦BD∥XY，AC、BD相交于點E。(1）求證：△ABE≌△ACD；（2）若AB=6cm,BC=4cm,求AE的長.圖2-4-6思路解析：第（1）問中的全等已經(jīng)具備了AB=AC，再利用弦切角定理與圓周角定理可以得角的相等關(guān)系;對于（2）,則利用△BCE∽△ACB建立比例式，解方程獲得AE的長.（1）證明:∵XY是⊙O的切線，∴∠1=∠2.∵BD∥XY，∴∠1=∠3.∴∠2=∠3.∵∠3=∠4,∴∠2=∠4?！摺螦BD=∠ACD，又∵AB=AC,∴△ABE≌△ACD.（2）解：∵∠3=∠2，∠BCE=∠ACB,∴△BCE∽△ACB.∴=?！郃C·CE=BC2，即AC·（AC-AE)=BC2。∵AB=AC=6，BC=4，∴6（6—AE）=16.∴。【例4】如圖2-4—7，AB和AC與⊙O相切于B、C,P是⊙O上一點，且PE⊥AB于E,PD⊥BC于D,PF⊥AC于F.求證：PD2=PE·PF.圖2—4—7思路解析:由結(jié)論先想到證△PDE∽△PFD，但這兩個三角形相似的條件不夠，注意到圖中有切線AB、AC,構(gòu)造弦切角.證明:連結(jié)PB、PC.∵AB切⊙O于B，則∠PBE=∠PCD。又∵PE⊥A