數與式中的計算、動點與規(guī)律探究8大題型中考數學復習

難點與新考法01數與式中的計算、動點與規(guī)律探究（8大題型）題型一：幾個非負數和為0問題題型二：數軸動點問題題型三：估算二次根式的大小題型四：代數式求值題型五：整除問題題型六：個位數字規(guī)律探究題型七：數或式的規(guī)律探究題型八：圖形規(guī)律探究題型一：幾個非負數和為0問題非負數和為0問題的解題關鍵非負數和為0問題的解題關鍵若幾個具有非負性的數或式子相加和為0,則每一個加數均為0;常見的非負數有絕對值()、二次根式()、偶次方(c",n為正整數)【中考母題學方法】【典例1】（2024?成都）若，為實數，且，則的值為．【變式1-1】難點01結合相反數的定義列出代數式（2024?龍馬潭區(qū)校級二模）已知與互為相反數，．【變式1-2】難點02結合二元一次方程組求解（2022?黔東南州）若，則的值是．【變式1-3】新考法01結合三角形求解（2023?永州模擬）若，則以，為邊長的等腰三角形的周長為．【變式1-4】新考法02結合三角函數求解（2024?武威二模）在中，若與互為相反數，則．【中考模擬即學即練】1．（2024?雨花臺區(qū)模擬）已知，都是實數，若，則的值是A． B．0 C．1 D．20242．（2024?蓬江區(qū)校級一模）若、為實數，且滿足，則的值為A．1或 B．1 C． D．無法確定3.（2023?鄒城市一模）已知與互為相反數，則的值是A．6 B．5 C． D．24．（2024?廣州模擬）在平面直角坐標系中，已知，則點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2024?甘州區(qū)三模）已知，的平方根是．6．（2024?金平區(qū)一模）已知，則的值為．7．（2024?廣西模擬）已知、、都是實數，若，則．8.（2023?甘州區(qū)校級模擬）的三邊長，，滿足，則的周長為．9.（2024?涼州區(qū)一模）已知、均為銳角，且滿足，則．10．（2024?西城區(qū)校級一模）已知，若，求代數式的值．11．（2024?恩施市模擬）已知．（1）求，的值；（2）求的平方根．題型二：數軸動點問題數軸上的三種動點問題數軸上的三種動點問題數軸的動點問題，無論在平時練習，還是月考，期中期末考試中屬于壓軸題的版塊，其過程復雜，情況多變。動點問題雖然較難，但觀察總結過這類題目考型后會發(fā)現其實總體來說就分為三類:一、數軸上點移動后的表示點的移動問題方法：“三找”：(1)找起點；（2）找方向；（3）找長度二、兩個點之間的距離1、距離公式：AB=｜a-b｜=｜b-a｜（或者：右邊的數-左邊的數）2、中點公式：點M表示的數為：（a+b)/2；3、移動公式：當點A向右移動m個單位，則A表示的數為：a+m；當A向左移動m個單位，則A表示的數為a-m.三、數軸上動點移動問題點的移動問題就是將點的移動后表示與用絕對值表示兩點之間的距離結合起來。方法：(1)找起點；（2）找方向；（3）找長度（4）根據距離公式列方程【中考母題學方法】【典例2】（2024?新華區(qū)校級二模）已知在紙面上有一數軸（如圖所示）．（1）操作一：折疊紙面，使表示數1的點與表示數的點重合，則此時表示數4的點與表示數的點重合；（2）操作二：折疊紙面，使表示數6的點與表示數的點重合，回答下列問題：①表示數9的點與表示數的點重合；②若這樣折疊后，數軸上的，兩點也重合，且，兩點之間的距離為10（點在點的左側），求，兩點所表示的數分別是多少？③在②的條件下，在數軸上找到一點，設點表示的數為．當時，直接寫出的值．【變式2】難點新考法新定義閱讀理解分類討論位置關系問題（2024秋?寶安區(qū)期中）閱讀理解：、、為數軸上三點，若點到的距離是點到的距離的3倍，我們稱點是【，】的和諧點．若點到的距離是點到的距離的3倍，我們稱點是【，】的和諧點．（1）如圖1，點表示的數為，點表示的數為3．表示0的點到點的距離是1，到點的距離是3，那么點【，】的和諧點，點【，】的和諧點．（請在橫線上填是或不是）（2）如圖2，、為數軸上兩點，點所表示的數為，點所表示的數為3．則【，】的和諧點有個，并求出所有【，】的和諧點所表示的數．（3）如圖3，、為數軸上兩點，點所表示的數為，點所表示的數為40．現有一只電子螞蟻從點出發(fā)，以3個單位每秒的速度向右運動，另一只電子螞蟻從點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向左運動，當點到達點時，、兩點同時停止運動，設運動的時間為秒．①當時，若點是【，】的和諧點且在、之間，則所表示的數是否為定值，若為定值，請求出該值，若不為定值，請說明理由．②直接寫出當是【，】的和諧點時，的值為．【中考模擬即學即練】1．（2024?獻縣模擬）如圖1，電腦顯示屏上畫出了一條不完整的數軸，并標出了表示的點．小明同學設計了一個電腦程序：點，分別從點同時出發(fā)，每按一次鍵盤，點向右平移2個單位長度，點向左平移1個單位長度．例如，第一次按鍵后，屏幕顯示點，的位置如圖2．（1）第次按鍵后，點正好到達原點；（2）第6次按鍵后，點到達的點表示的數字比點到達的點表示的數字大多少？（3）第次按鍵后，點，到達的點表示的數互為相反數，求的值．2．（2024?恩施市校級模擬）如圖，已知數軸上原點為，點表示的數為，在的右邊，且與的距離是24，動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為秒．（1）寫出數軸上點表示的數，與點的距離為3的點表示的數是．（2）點表示的數（用含的代數式表示）；點表示的數，（用含的代數式表示）．（3）假如先出發(fā)2秒，請問點總運動時間為何值時，，相距5個單位長度？（4）若點是數軸上一點，是否存在整數，使得的值最?。咳绻嬖?，請寫出最小整數；如果不存在，請說明理由．題型三：估算二次根式的大小解題方法平方法解題方法平方法在估算二次根式的大小時常使用的是平方法,對于幾個正的二次根式,可以通過比較它們平方后的結果來確定二次根式的大小關系.【中考母題學方法】【典例3】（2024?天津）估計的值在A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【變式3-1】難點01結合二次根式的運算估值（2024?江北區(qū)校級模擬）若為正整數，且滿足估算，則的值為A．18 B．19 C．20 D．21【變式3-2】難點02求整數部分和小數部分（2024?南海區(qū)校級模擬）已知的整數部分是1，則小數部分是；若的小數部分為，則．【中考模擬即學即練】1．（2024?游仙區(qū)模擬）設，則對于實數的范圍判斷正確的是A． B． C． D．2.（2024?沙坪壩區(qū)模擬）估計的值應在A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間3.（2024?瓊山區(qū)校級三模）已知，，，．若為整數，且，則的值為A．43 B．44 C．45 D．464.（2024?歷城區(qū)模擬）大家知道是無理數，而無理數是無限不循環(huán)小數，因此的小數部分我們不可能以小數形式全部寫出來，因為的整數部分是1，于是可以用表示的小數部分．類似的，的小數部分可以表示為．5．（2024?市南區(qū)校級二模）已知是的整數部分，是它的小數部分，求的值．題型四：代數式求值1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代數式計算求值.1、直接代入法：把已知字母的值直接代入代數式計算求值.2、整體代入法：①觀察已知代數式和所求代數式的關系.②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數式和所求代數式進行變形，使它們成倍分關系.③把已知代數式看成一個整式代入所求代數式中計算求值．【中考母題學方法】【典例4】（2024?徐州）若，，則代數式的值等于．【變式4-1】難點結合方程組求代數式的值（2024?大慶模擬）已知，，則．【變式4-2】新考法解題方法型閱讀理解題（2024?香坊區(qū)二模）我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數形結合是解決數學問題的重要思想方法．例如，代數式的幾何意義是數軸上所對應的點與2所對應的點之間的距離：因為，所以的幾何意義就是數軸上所對應的點與所對應的點之間的距離．則代數式的最小值是．【中考模擬即學即練】1．（2024?廣安）若，則．2．（2024?錦江區(qū)模擬）若，則的值為．3．（2024?陽谷縣一模）已知，則代數式的值是．4．（2024?內江）已知實數、滿足的兩根，則．5.（2024?仁懷市模擬）如果實數，滿足方程組，那么代數式的值為．6.（2024?南崗區(qū)校級一模）閱讀材料：若滿足，求的值．解：設，，則，．所以．帶仿照上例解決下面問題：若滿足，則的值是．7.（2024?棗莊一模）閱讀材料：整體代值是數學中常用的方法．例如“已知，求代數式的值．”可以這樣解：．根據閱讀材料，解決問題：若是關于的一元一次方程的解，則代數式的值是．8．（2024?邢臺三模）已知：，．（1）求；（2）若的值與的值無關，求，滿足的關系式．9．（2024?蕭山區(qū)一模）化簡：．方方在做作業(yè)時，發(fā)現題中有一個數字被墨水污染了．（1）如果被污染的數字是4，請計算．（2）如果化簡的結果是單項式，求被污染的數字．題型五：整除問題解題方法因式分解法解題方法因式分解法利用平方差公式對整式或高次冪進行因式分解或降冪,直到式子中出現整數因式,則可以判斷該整式或高次冪可以被整數因式整除【中考母題學方法】【典例5】（2023?河北）若為任意整數，則的值總能A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【變式5】新考法新定義閱讀理解題（2023?重慶）對于一個四位自然數，若它的千位數字比個位數字多6，百位數字比十位數字多2，則稱為“天真數”．如：四位數7311，，，是“天真數”；四位數8421，，不是“天真數”，則最小的“天真數”為；一個“天真數”的千位數字為，百位數字為，十位數字為，個位數字為，記，，若能被10整除，則滿足條件的的最大值為．【中考模擬即學即練】1．（2024?豐潤區(qū)一模）若、都是任意整數，如果的值總能被3整除，則不能取A． B．1 C．2 D．42.（2024?渝北區(qū)模擬）一個四位數，記作，若，則稱為“和美數”．例如：四位數1235，，是“和美數”．若一個“和美數”為，則這個數為；對于“和美數”，去掉個位上的數字得到三位數，去掉千位上的數字得到三位數，當能被11整除時，滿足條件的的最大值與最小值的差為．3.（2024?九龍坡區(qū)校級模擬）對于一個四位正整數，若它的各位上數字均不為零且互不相等，千位數字與個位數字之和為9，十位數字比百位數字大2，則稱這個四位正整數是“優(yōu)勝數”．則符合條件的的最大數與最小數的差為（A），（A），若能被7整除，則所有滿足條件的四位正整數的和為．4．（2024?秦淮區(qū)模擬）證明：能被整除．5．（2024?邯山區(qū)校級三模）有一電腦程序如圖，能處理整式的相關計算，已知輸入整式，整式后，屏幕上自動將整式補齊，但由于屏幕大小有限，只顯示了整式的一部分：．（1）嘉淇想：把設為，再利用來解決問題，請利用嘉淇的想法求程序自動補全的整式；（2）在（1）的條件下，嘉淇發(fā)現：若為任意整數，整式的值總能被某個大于1的正整數整除，求這個正整數的值．6．（2024?古冶區(qū)二模）如果一個四位自然數的各數位上的數字互不相等且均不為0，滿足，那么稱這個四位數為“遞減數”．例如：四位數4129，，是“遞減數”．（1）判斷四位數5324是不是“遞減數”；（2）若一個“遞減數”為，求這個“遞減數”；（3）若一個“遞減數”的前三個數字組成的三位數與后三個數字組成的三位數的和能被9整除，直接寫出滿足條件的遞減數的最大值．題型六：個位數字規(guī)律探究解題方法周期判斷法解題方法周期判斷法第一步：計算出前幾個算式的結果第二步：觀察個位數字的循環(huán)規(guī)律，重復出現的數為一個周期，如2"的個位數字以24、8、6為一個周期循環(huán)出現，周期內有4個數;3"的個位數字以3、9、7、1為一個周期循環(huán)出現，周期內有4個數;4"的個位數字以4、6為一個周期循環(huán)出現，周期內有2個數第三步：用n÷周期中數字的個數得到的余數，代表了所求個位數字處在周期中的第幾位【中考母題學方法】【典例6】（2024?碑林區(qū)校級自主招生）如果是一個自然數，那么的“雙階乘”記為，其表示從2到的所有偶數的積，如果，那么的末尾數字為．【變式6-1】難點01不確定n的值求個位數字的末尾數是．【變式6-2】難點02結合因式分解求個位數字（2024秋?南安市校級月考）發(fā)現：，，，，，，，，依據上述規(guī)律，通過計算判斷的結果的個位數字是A．2 B．4 C．6 D．8【中考模擬即學即練】1．（2024?頭屯河區(qū)二模）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型來表示．即：，，，，，，請你推算的個位數字是A．6 B．4 C．2 D．82．（2024?赤峰一模）觀察下列等式：，，，，，，，根據其中的規(guī)律可得的結果的個位數字是A．0 B．1 C．7 D．83．（2024?興寧市校級模擬）的計算結果的個位數字是A．8 B．7 C．6 D．54．（2024?青山湖區(qū)校級三模）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型來表示．即：，，，，，，請你推算的個位數字是．5.設，則的個位數字是．6．（2024春?項城市校級期中）已知：；；；；（1）當時，；（2）試求的值；（3）的值的個位數是．題型七：數或式的規(guī)律探究解題方法解題方法1.數字規(guī)律的解題步驟第一步：按順序給數標序數第二步：對比序數(1，2，3，…，n)和數值間的關系，并用含序數的式子表示第三步：根據規(guī)律表示出第n個式子，并檢驗第四步：代入n的值，求第n個數2.求第n個單項式的解題關鍵找單項式的系數或者指數與序號的對應關系,可將問題轉化成找數與序號之間的規(guī)律3.猜想第n個等式的解題關鍵找到等式里邊每一個變化的數字與序號之間的對應關系,常見的數字規(guī)律同問題1;證明第,個等式的正確性,即通過整式或分式運算,將等號一邊變形為另一邊的結果,【中考母題學方法】【典例7】（2024?綿陽）如圖，將全體正偶數排成一個三角數陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個數為2，第二行有2個數為4，6，第行有個數．探究其中規(guī)律，你認為第行從左至右第3個數不可能是A．36 B．96 C．226 D．426【變式7-1】難點01兩組數求第n個數的和（2023?牡丹江）觀察下面兩行數：1，5，11，19，29，；1，3，6，10，15，．取每行數的第7個數，計算這兩個數的和是A．92 B．87 C．83 D．78【變式7-2】難點02根據第一個數字與層數的關系判斷數字所在位置（2023?恩施州）觀察下列兩行數，探究第②行數與第①行數的關系：，4，，16，，64，①0，7，，21，，71，②根據你的發(fā)現，完成填空：第①行數的第10個數為；取每行數的第2023個數，則這兩個數的和為．【變式7-3】難點03單項式的系數變成正負交替的分數（2024?盤龍區(qū)校級模擬）按一定規(guī)律排列的式子：，，，，，第個式子是A． B． C． D．【變式7-4】猜想第n個等式（2024?寧夏）觀察下列等式：第1個：；第2個：；第3個：；第4個：．按照以上規(guī)律，第個等式為．【中考模擬即學即練】1．（2024?巧家縣二模）按一定規(guī)律排列的多項式：，，，，，．第個多項式是A． B． C． D．2．（2024?湖北模擬）一串數字如下：1，，5，，9，如此下去，則第2023個數字與第2024個數字的和等于A．4047 B． C．2 D．3．（2024?西山區(qū)校級模擬）按一定規(guī)律排列的一列單項式如下：，，，，，則第9個單項式是A． B． C． D．4．（2024?婁底模擬）楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現，它揭示了為非負整數）展開式的項數及各項系數有關規(guī)律，如下：則展開式中所有項的系數和是A．2048 B．1024 C．0 D．5.（2023秋?邛崍市校級月考）觀察下列等式：第1層：第2層：第3層：第4層：在上述數字寶塔中，從上往下數，2023在第層．6．（2024?永安市二模）觀察下列等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：第4個等式：按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．題型八：圖形規(guī)律探究解題方法解題方法解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數量上增加（或倍數）情況的變化，找出數量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結論．【中考母題學方法】【典例8】（2024?哈爾濱）如圖，用棋子擺出一組形如正方形的圖形，按照這種方法擺下去，擺第5個圖形需要棋子A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚【變式8-1】難點01兩種基礎圖形變化（2024?湖北模擬）用邊長相等的正方形和等邊三角形卡片按如圖所示的方式和規(guī)律拼出圖形．拼第1個圖形所用兩種卡片的總數為7枚，拼第2個圖形所用兩種卡片的總數為12枚若按照這樣的規(guī)律拼出的第個圖形中，所用正方形卡片比等邊三角形卡片多10枚，則拼第個圖形所用兩種卡片的總數為A．57枚 B．52枚 C．50枚 D．47枚【變式8-2】難點02圖形不易識別個數固定累加（2024?成都模擬）將小圓圈按如圖所示的規(guī)律擺放下去，如果用表示六邊形一邊上的小圓圈數，表示這個六邊形中小圓圈的總數，請寫出和滿足的關系式是．【變式8-3】難點03圖形個數不固定累加（2024?濟寧一模）如圖都是由相同的小正方形按照一定規(guī)律擺放而成的，照此規(guī)律排列下去，第1個圖形中小正方形的個數是3個，第2個圖形中小正方形的個數是8個，第3個圖形中小正方形的個數是15個，第9個圖形中小正方形的個數是A．100 B．99 C．98 D．80【變式8-5】新考法跨化學學科（2024?重慶）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，如圖是這類物質前四種化合物的分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子．第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，按照這一規(guī)律，第10種化合物的分子結構模型中氫原子的個數是A．20 B．22 C．24 D．26【中考模擬即學即練】1．（2024?重慶模擬）觀察下列一組圖案，每個圖案都是若干個“”組成，其中圖①中共有7個“”，圖②中共有13個“”，圖③中共有21個“”，圖④中共有31個“”，按此規(guī)律，圖形⑩中的“”個數是A．113 B．117 C．125 D．1332．（2024?丹東二模）烷烴是一類由碳、氫元素組成的有機化合物，在生產生活中可作為燃料、潤滑劑等原料，也可用于動、植物的養(yǎng)護．通常用碳原子的個數命名為甲烷、乙烷、丙烷癸烷（當碳原子數目超過10個時即用漢文數字表示，如十一烷、十二烷等，甲烷的化學式為，乙烷的化學式為，丙烷的化學式為，其分子結構模型如圖所示，按照此規(guī)律，十三烷的氫原子的個數為A．24 B．26 C．28 D．303．（2024?益陽三模）如圖所示，將形狀、大小完全相同的“●”和線段按照一定規(guī)律擺成下列圖形，第①個圖形中“●”的個數為3，第②個圖形中“●”的個數為8，第③個圖形中“●”的個數為15，以此類推，則第⑧幅圖形中“●”的個數為A．63 B．80 C．100 D．1204．（2024?西山區(qū)校級模擬）如圖所示第1個圖案是由黑白兩種顏色的正六邊形地面磚組成，第2個，第3個圖案可以看作是第1個圖案經過平移而得，那么第8個圖案中有白色六邊形地面磚塊．A．33 B．34 C．35 D．365．（2024?東昌府區(qū)校級模擬）由同樣大小的棋子按照一定規(guī)律組成如圖所示的圖形，其中圖1有3顆棋子，圖2有9顆棋子，圖3有18顆棋子，，則圖有顆棋子．6．（2024?香坊區(qū)校級三模）觀察圖給出的四個點陣，表示每個點陣中的點的個數，按照圖形中的點的個數變化規(guī)律，猜想第個點陣中的點的個數為．難點與新考法01數與式中的計算、動點與規(guī)律探究（8大題型）題型一：幾個非負數和為0問題題型二：數軸動點問題題型三：估算二次根式的大小題型四：代數式求值題型五：整除問題題型六：個位數字規(guī)律探究題型七：數或式的規(guī)律探究題型八：圖形規(guī)律探究題型一：幾個非負數和為0問題非負數和為0問題的解題關鍵非負數和為0問題的解題關鍵若幾個具有非負性的數或式子相加和為0,則每一個加數均為0;常見的非負數有絕對值()、二次根式()、偶次方(c",n為正整數)【中考母題學方法】【典例1】（2024?成都）若，為實數，且，則的值為．【分析】利用非負數的性質列出方程，求出方程的解得到與的值，代入原式計算即可得到結果．【解答】解：，為實數，且，，，解得，，．故答案為：1．【點評】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．【變式1-1】難點01結合相反數的定義列出代數式（2024?龍馬潭區(qū)校級二模）已知與互為相反數，．【分析】根據互為相反數的兩個數的和等于0列式，再根據非負數的性質列式求出、，然后代入代數式進行計算即可得解．【解答】解：與互為相反數，，，，解得，，所以，故答案為：1．【點評】本題考查了非負數的性質，關鍵是根據“幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0”列出方程．【變式1-2】難點02結合二元一次方程組求解（2022?黔東南州）若，則的值是．【分析】根據非負數的性質可得，應用整體思想①②即可得出答案．【解答】解：根據題意可得，，由①②得，．故答案為：9．【點評】本題主要考查了非負數的性質及解二元一次方程組，熟練掌握非負數的性質及解二元一次方程組的方法進行求解是解決本題的關鍵．【變式1-3】新考法01結合三角形求解（2023?永州模擬）若，則以，為邊長的等腰三角形的周長為．【分析】先求，．再求第三邊即可．【解答】解：，，，，，，，設三角形的第三邊為，當時，三角形的周長，當時，三角形的周長，故答案為：11或13．【點評】本題考查了非負數的性質，求出，后確定腰和底是求解本題的關鍵．【變式1-4】新考法02結合三角函數求解（2024?武威二模）在中，若與互為相反數，則．【分析】先根據相反數的定義及非負數的性質結合特殊角的三角函數值求出、的度數，再根據三角形內角和定理即可求出度數．【解答】解：由題意知，，，，即，，，，．故答案為：．【點評】本題考查了非負數的性質．初中階段有三種類型的非負數：（1）絕對值；（2）偶次方；（3）二次根式（算術平方根）．當它們相加和為0時，必須滿足其中的每一項都等于0．本題還考查了三角形內角和為．【中考模擬即學即練】1．（2024?雨花臺區(qū)模擬）已知，都是實數，若，則的值是A． B．0 C．1 D．2024【分析】根據非負數的性質列出方程，求出、的值，再代入所求所占計算即可．【解答】解：由題意得，，，解得，，所以．故選：．【點評】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．2．（2024?蓬江區(qū)校級一模）若、為實數，且滿足，則的值為A．1或 B．1 C． D．無法確定【分析】根據非負數的性質列式求出，的值，然后代入代數式進行計算即可得解．【解答】解：，，即，，，．故選：．【點評】本題考查非負數的性質和算術平方根，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．3.（2023?鄒城市一模）已知與互為相反數，則的值是A．6 B．5 C． D．2【分析】根據互為相反數的兩個數的和等于0列方程，再根據非負數的性質列方程求出、，然后代入代數式進行計算即可得解．【解答】解：與互為相反數，，即，所以，，解得，，所以．故選：．【點評】本題考查了非負數的性質：幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0．4．（2024?廣州模擬）在平面直角坐標系中，已知，則點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據，，建立二元一次方程組，求解出，的值，再根據各象限點坐標的特點，即可得出結果．【解答】解：，，，解得：，位于第二象限，故選：．【點評】本題考查非負數的性質、算術平方根、點的坐標，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．5．（2024?甘州區(qū)三模）已知，的平方根是．【分析】首先根據絕對值和被開方數的非負性可以求、的值，再根據平方根的定義即可求解．【解答】解：根據題意知，，，，，的平方根為．故答案為：．【點評】此題主要考查了立方根、平方根定義和非負數的性質，其中求一個數的立方根，應先找出所要求的這個數是哪一個數的立方．注意：（1）一個數的立方根與原數的性質符號相同．（2）一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；0的平方根是0；負數沒有平方根．6．（2024?金平區(qū)一模）已知，則的值為．【分析】根據非負數的性質求出、的值再代入解答即可．【解答】解：，，，，．，；．故答案為：．【點評】本題考查的是非負數的性質，掌握幾個非負數的和為0時，這幾個非負數都為0是解題的關鍵．7．（2024?廣西模擬）已知、、都是實數，若，則．【分析】利用非負數的意義求得，，值，將，，值代入運算即可．【解答】解：，，，，，，，，，．．故答案為：1．【點評】本題主要考查了非負數的應用，利用非負數的意義求得，，值是解題的關鍵．8.（2023?甘州區(qū)校級模擬）的三邊長，，滿足，則的周長為．【分析】直接利用非負數的性質得出，的值，進而得出答案．【解答】解：，，，解得：，，的周長為：．故答案為：6．【點評】此題主要考查了非負數的性質，正確得出，的值是解題關鍵．9.（2024?涼州區(qū)一模）已知、均為銳角，且滿足，則．【分析】根據非負數的性質得到，，利用特殊角的三角函數值分別求出、，計算即可．【解答】解：由題意得，，，則，，，，，，，故答案為：．【點評】本題考查的是特殊角的三角函數值、非負數的性質，掌握絕對值和算術平方根的非負性是解題的關鍵．10．（2024?西城區(qū)校級一模）已知，若，求代數式的值．【分析】先根據非負數的性質得出、的值，代入變形得，再代入求解即可．【解答】解：，，，解得，，代入，得：，則，．【點評】本題主要考查非負數的性質：偶次乘方、絕對值，解題的關鍵是掌握任意一個數的偶次方都是非負數，當幾個數或式的偶次方相加和為0時，則其中的每一項都必須等于0．11．（2024?恩施市模擬）已知．（1）求，的值；（2）求的平方根．【分析】（1）根據非負數的性質求出與；（2）再根據平方根的定義進行代入求值即可．【解答】解：（1），，，即，；（2）由（1）可知，，則的平方根為．【點評】本題考查非負數的性質和平方根、絕對值，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．題型二：數軸動點問題數軸上的三種動點問題數軸上的三種動點問題數軸的動點問題，無論在平時練習，還是月考，期中期末考試中屬于壓軸題的版塊，其過程復雜，情況多變。動點問題雖然較難，但觀察總結過這類題目考型后會發(fā)現其實總體來說就分為三類:一、數軸上點移動后的表示點的移動問題方法：“三找”：(1)找起點；（2）找方向；（3）找長度二、兩個點之間的距離1、距離公式：AB=｜a-b｜=｜b-a｜（或者：右邊的數-左邊的數）2、中點公式：點M表示的數為：（a+b)/2；3、移動公式：當點A向右移動m個單位，則A表示的數為：a+m；當A向左移動m個單位，則A表示的數為a-m.三、數軸上動點移動問題點的移動問題就是將點的移動后表示與用絕對值表示兩點之間的距離結合起來。方法：(1)找起點；（2）找方向；（3）找長度（4）根據距離公式列方程【中考母題學方法】【典例2】（2024?新華區(qū)校級二模）已知在紙面上有一數軸（如圖所示）．（1）操作一：折疊紙面，使表示數1的點與表示數的點重合，則此時表示數4的點與表示數的點重合；（2）操作二：折疊紙面，使表示數6的點與表示數的點重合，回答下列問題：①表示數9的點與表示數的點重合；②若這樣折疊后，數軸上的，兩點也重合，且，兩點之間的距離為10（點在點的左側），求，兩點所表示的數分別是多少？③在②的條件下，在數軸上找到一點，設點表示的數為．當時，直接寫出的值．【分析】（1）求出表示兩個數的點的中點所對應的數為原點，由此可得結論；（2）先根據中點坐標公式得折疊點對應的數為2；①設9表示的點所對應點表示的數為，根據中點坐標公式列方程可得的值，可得結論；②根據折疊的性質可得結論；③根據列出方程，求解方程可得出的值．【解答】解：（1）折疊紙面，使表示的點1與重合，折疊點對應的數為，則表示4的點與表示的點重合；故答案為：；（2）折疊紙面，使表示數6的點與表示數的點重合，折疊點對應的數為，①設表示9的點與表示的點重合，于是有，解得，即表示9的點與表示的點重合；故答案為：；②點表示的數為，點表示的數為，答：點表示的數是，點表示的數是7；③，，當時，，不符合題意；當時，，解得；當時，，解得，綜上所述，的值為或8．【點評】本題考查數軸表示數的意義和方法，知道數軸上兩個數的中點所表示數的計算方法是解決問題的關鍵．【變式2】難點新考法新定義閱讀理解分類討論位置關系問題（2024秋?寶安區(qū)期中）閱讀理解：、、為數軸上三點，若點到的距離是點到的距離的3倍，我們稱點是【，】的和諧點．若點到的距離是點到的距離的3倍，我們稱點是【，】的和諧點．（1）如圖1，點表示的數為，點表示的數為3．表示0的點到點的距離是1，到點的距離是3，那么點【，】的和諧點，點【，】的和諧點．（請在橫線上填是或不是）（2）如圖2，、為數軸上兩點，點所表示的數為，點所表示的數為3．則【，】的和諧點有個，并求出所有【，】的和諧點所表示的數．（3）如圖3，、為數軸上兩點，點所表示的數為，點所表示的數為40．現有一只電子螞蟻從點出發(fā)，以3個單位每秒的速度向右運動，另一只電子螞蟻從點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向左運動，當點到達點時，、兩點同時停止運動，設運動的時間為秒．①當時，若點是【，】的和諧點且在、之間，則所表示的數是否為定值，若為定值，請求出該值，若不為定值，請說明理由．②直接寫出當是【，】的和諧點時，的值為．【分析】（1）由“點到點的距離是1，到點的距離是3”結合和諧點的定義，即可得出結論；（2）設【，】的和諧點所表示的數為，根據和諧點的定義，可列出關于的含絕對值的一元一次方程，解之即可得出結論；（3）利用時間路程速度，可求出點到達點所需的時間及，兩點相遇時的時間，當運動時間為秒時，點表示的數為，點表示的數為．①設點表示的數為，根據點是【，】的和諧點且在、之間，可列出關于的一元一次方程，解之即可得出結論；②根據點是【，】的和諧點，可列出關于的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：（1）點到點的距離是1，到點的距離是3，點不是【，】的和諧點，點是【，】的和諧點．故答案為：不是，是；（2）設【，】的和諧點所表示的數為，根據題意得：，即或，解得：或，【，】的和諧點有2個，【，】的和諧點所表示的數為2或5．故答案為：2；（3）（秒，（秒．當運動時間為秒時，點表示的數為，點表示的數為．①設點表示的數為，根據題意得：，解得：，當時，若點是【，】的和諧點且在、之間，則所表示的數為定值，該值為25；②根據題意得：，即或，解得：或，的值為或．故答案為：或．【點評】本題考查了一元一次方程的應用以及數軸，找準等量關系，正確列出一元一次方程是解題的關鍵．【中考模擬即學即練】1．（2024?獻縣模擬）如圖1，電腦顯示屏上畫出了一條不完整的數軸，并標出了表示的點．小明同學設計了一個電腦程序：點，分別從點同時出發(fā)，每按一次鍵盤，點向右平移2個單位長度，點向左平移1個單位長度．例如，第一次按鍵后，屏幕顯示點，的位置如圖2．（1）第次按鍵后，點正好到達原點；（2）第6次按鍵后，點到達的點表示的數字比點到達的點表示的數字大多少？（3）第次按鍵后，點，到達的點表示的數互為相反數，求的值．【分析】（1）設進行次按鍵，由題意得，點表示的數是，因為點正好到達原點，所以，解得的值，即得第幾次按鍵后，點正好到達原點；（2）第6次按鍵后，點表示的數為，點表示的數為，可得點到達的點表示的數字比點到達的點表示的數字大多少；（3）由題意得，點表示的數是，點表示的數是，因為點，到達的點表示的數互為相反數，所以，可解得的值．【解答】解：（1）設進行次按鍵，由題意得，點表示的數是，點正好到達原點，，解得：，第3次按鍵后，點正好到達原點，故答案為：3；（2）第6次按鍵后，點表示的數為，點表示的數為，，第6次按鍵后，點到達的點表示的數字比點到達的點表示的數字大18；（3）由題意得，點表示的數是，點表示的數是，點，到達的點表示的數互為相反數，，解得：．【點評】本題考查了數軸，相反數的定義，根據題意列出點、表示的數是本題的關鍵．2．（2024?恩施市校級模擬）如圖，已知數軸上原點為，點表示的數為，在的右邊，且與的距離是24，動點從點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿數軸向右勻速運動，動點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿數軸向左勻速運動，設運動時間為秒．（1）寫出數軸上點表示的數，與點的距離為3的點表示的數是．（2）點表示的數（用含的代數式表示）；點表示的數，（用含的代數式表示）．（3）假如先出發(fā)2秒，請問點總運動時間為何值時，，相距5個單位長度？（4）若點是數軸上一點，是否存在整數，使得的值最小？如果存在，請寫出最小整數；如果不存在，請說明理由．【分析】（1）利用兩點間距離公式計算即可求解；（2）根據題意，列出代數式即可求解；（3）用表示出、表示的數，利用兩點間距離公式可得關于的一元一次方程，解方程即可求解；（4）由，可得當的值最小時，即整數到4和的距離之和最小，此時在4和之間，即可求出最小整數．【解答】解：（1）點表示的數為，在的右邊，且與的距離是24，點表示的數是，，，與點的距離為3的點表示的數是17或23，故答案為：20，17或23；（2）由題意得，點表示的數是，點表示的數是，故答案為：，；（3）由題意得，點表示的數為，點表示的數是，則，整理得，，或，解得或，點總運動時間為7或時，，相距5個單位長度；（4）存在，最小整數為．理由如下：，表示數軸上表示的點與表示數3和對應點之間的距離之和，當的值最小時，即整數到4和的距離之和最小，此時在4和之間，即時，最小整數為．【點評】本題考查了數軸、列代數式、一元一次方程的應用，掌握數軸上兩點間距離的計算方法是解題的關鍵．題型三：估算二次根式的大小解題方法平方法解題方法平方法在估算二次根式的大小時常使用的是平方法,對于幾個正的二次根式,可以通過比較它們平方后的結果來確定二次根式的大小關系.【中考母題學方法】【典例3】（2024?天津）估計的值在A．1和2之間 B．2和3之間 C．3和4之間 D．4和5之間【分析】根據二次根式的性質得出，即可求出答案．【解答】解：，，即在3和4之間．故選：．【點評】本題考查了估算無理數的大小的應用，解此題的關鍵是確定出的范圍，題目比較典型，難度不大．【變式3-1】難點01結合二次根式的運算估值（2024?江北區(qū)校級模擬）若為正整數，且滿足估算，則的值為A．18 B．19 C．20 D．21【分析】先根據二次根式的乘法法則計算，然后估算的大小，再根據不等式的性質估算計算結果的大小，從而得到答案即可．【解答】解：，，即，，，的值為20，故選：．【點評】本題主要考查了無理數的估算，解題關鍵是熟練掌握如何估算無理數的大?。咀兪?-2】難點02求整數部分和小數部分（2024?南海區(qū)校級模擬）已知的整數部分是1，則小數部分是；若的小數部分為，則．【分析】先估計在那兩個連續(xù)整數之間，即可確定其整數部分，進而得到．【解答】解：，的整數部分是3，的小數部分為，故答案為：．【點評】本題考查估算無理數的大小，判斷出在那兩個連續(xù)整數之間是解題的關鍵．【中考模擬即學即練】1．（2024?游仙區(qū)模擬）設，則對于實數的范圍判斷正確的是A． B． C． D．【分析】估算出，再找出選項即可．【解答】解：，，即實數的范圍是．故選：．【點評】本題考查了估算無理數的大小，能估算出的范圍是解此題的關鍵．2.（2024?沙坪壩區(qū)模擬）估計的值應在A．8和9之間 B．9和10之間 C．10和11之間 D．11和12之間【分析】先利用二次根式的乘法法則計算，進而估算無理數的大小得出答案．【解答】解：，，，，的值應在9和10之間．故選：．【點評】本題主要考查的是二次根式乘法運算，估算無理數的大小，夾逼法的應用是解題的關鍵．3.（2024?瓊山區(qū)校級三模）已知，，，．若為整數，且，則的值為A．43 B．44 C．45 D．46【分析】首先估算被開方數在哪兩個相鄰的平方數之間，再估算該無理數在哪兩個相鄰的整數之間．【解答】解：，，即，又，為整數，，故選：．【點評】本題考查的是無理數的估算，熟練掌握無理數的估算是關鍵．4.（2024?歷城區(qū)模擬）大家知道是無理數，而無理數是無限不循環(huán)小數，因此的小數部分我們不可能以小數形式全部寫出來，因為的整數部分是1，于是可以用表示的小數部分．類似的，的小數部分可以表示為．【分析】先估算的大小，再求出它的整數部分和小數部分即可．【解答】解：，即，的整數部分是2，小數部分是，故答案為：．【點評】本題主要考查了估算無理數的大小，解題關鍵是熟練掌握如何估算無理數的大?。?．（2024?市南區(qū)校級二模）已知是的整數部分，是它的小數部分，求的值．【分析】由于，則，，然后代入所求代數式進行計算即可．【解答】解：，，，原式．【點評】本題考查了估算無理數的大小：利用完全平方數和算術平方根對無理數的大小進行估算．題型四：代數式求值11、直接代入法：把已知字母的值直接代入代數式計算求值.2、整體代入法：①觀察已知代數式和所求代數式的關系.②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式將已知代數式和所求代數式進行變形，使它們成倍分關系.③把已知代數式看成一個整式代入所求代數式中計算求值．【中考母題學方法】【典例4】（2024?徐州）若，，則代數式的值等于．【分析】將原式變形后代入數值計算即可．【解答】解：，，，故答案為：2．【點評】本題考查代數式求值，將原式進行正確的變形是解題的關鍵．【變式4-1】難點結合方程組求代數式的值（2024?大慶模擬）已知，，則．【分析】根據平方差公式求出的值，得到關于和的二元一次方程組并求解，將和的值代入計算即可．【解答】解：，，，，解得，．故答案為：2025．【點評】本題考查代數式求值，掌握平方差公式及二元一次方程的解法是本題的關鍵．【變式4-2】新考法解題方法型閱讀理解題（2024?香坊區(qū)二模）我國著名數學家華羅庚說過“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，數形結合是解決數學問題的重要思想方法．例如，代數式的幾何意義是數軸上所對應的點與2所對應的點之間的距離：因為，所以的幾何意義就是數軸上所對應的點與所對應的點之間的距離．則代數式的最小值是．【分析】代數式的幾何意義就是數軸上所對應的點與所對應的點之間的距離，代數式的幾何意義是數軸上所對應的點與5所對應的點之間的距離，代數式的幾何意義就是數軸上所對應的點與、5所對應的點之間的距離的和，最小值就是所對應的點與5所對應的點之間的距離，據此求解即可．【解答】解：代數式的最小值是：．故答案為：8．【點評】此題主要考查了代數式求值問題，解答此題的關鍵是弄清楚代數式和的幾何意義．【中考模擬即學即練】1．（2024?廣安）若，則．【分析】由已知條件可得，將原式變形后代入數值計算即可．【解答】解：，，，故答案為：7．【點評】本題考查代數式求值，將原式進行正確的變形是解題的關鍵．2．（2024?錦江區(qū)模擬）若，則的值為．【分析】先通分算括號內的，把除化為乘，約分后即可得到答案．【解答】解：；故答案為：10．【點評】本題考查分式化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的基本性質，把所求式子化簡．3．（2024?陽谷縣一模）已知，則代數式的值是．【分析】由，可得，有，即可得．【解答】解：，，，，故答案為：13．【點評】本題考查代數式求值，解題的關鍵是根據已知變形，求出，再整體代入．4．（2024?內江）已知實數、滿足的兩根，則．【分析】把代入原式，根據分式的加法法則計算即可．【解答】解：，原式，故答案為：1．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的加法法則是解題的關鍵．5.（2024?仁懷市模擬）如果實數，滿足方程組，那么代數式的值為．【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡結果，求出方程組的解得到與的值，代入計算即可求出值．【解答】解：原式，方程組，解得：，當，時，原式．故答案為：1【點評】此題考查了分式的化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．6.（2024?南崗區(qū)校級一模）閱讀材料：若滿足，求的值．解：設，，則，．所以．帶仿照上例解決下面問題：若滿足，則的值是．【分析】仿照閱讀材料，設，，則，，可得，代入可得答案．【解答】解：設，，則，，；故答案為：110．【點評】本題考查整式的混合運算，解題的關鍵是掌握完全平方公式的應用．7.（2024?棗莊一模）閱讀材料：整體代值是數學中常用的方法．例如“已知，求代數式的值．”可以這樣解：．根據閱讀材料，解決問題：若是關于的一元一次方程的解，則代數式的值是．【分析】根據是關于的一元一次方程的解，可得：，直接代入所求式即可解答．【解答】解：是關于的一元一次方程的解，，，．解法二：原式，故答案為：14．【點評】此題主要考查了一元一次方程的解和代數式求值，要熟練掌握，解答此題的關鍵是判斷出、的關系．8．（2024?邢臺三模）已知：，．（1）求；（2）若的值與的值無關，求，滿足的關系式．【分析】（1）由題意知，；（2）由題意知，，由的值與的值無關，可得，然后求解作答即可．【解答】解：（1）由題意知，，；（2）由題意知，．的值與的值無關，，解得．【點評】本題考查了整式的加減運算，熟練掌握整式的加減運算是解題的關鍵．9．（2024?蕭山區(qū)一模）化簡：．方方在做作業(yè)時，發(fā)現題中有一個數字被墨水污染了．（1）如果被污染的數字是4，請計算．（2）如果化簡的結果是單項式，求被污染的數字．【分析】（1）根據單項式乘多項式和去括號法則，去掉括號，再合并同類項即可；（2）分兩種情況討論：①化簡結果是不含有的單項式，②若化簡結果是含有的單項式，進行解答即可．【解答】解：（1）；（2）分兩種情況：①若化簡結果是不含有的單項式，則被污染的數字為3，，②若化簡結果是含有的單項式，則被污染數字為2，，如果化簡的結果是單項式，被污染的數字是3或2．【點評】本題主要考查了整式的化簡求值，解題關鍵是熟練掌握去括號法則和合并同類項法則．題型五：整除問題解題方法因式分解法解題方法因式分解法利用平方差公式對整式或高次冪進行因式分解或降冪,直到式子中出現整數因式,則可以判斷該整式或高次冪可以被整數因式整除【中考母題學方法】【典例5】（2023?河北）若為任意整數，則的值總能A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【分析】先根據完全平方公式進行計算，再合并同類項，分解因式后再逐個判斷即可．【解答】解：，為任意整數，的值總能被3整除，故選：．【點評】本題考查了因式分解的應用，能求出是解此題的關鍵．【變式5】新考法新定義閱讀理解題（2023?重慶）對于一個四位自然數，若它的千位數字比個位數字多6，百位數字比十位數字多2，則稱為“天真數”．如：四位數7311，，，是“天真數”；四位數8421，，不是“天真數”，則最小的“天真數”為；一個“天真數”的千位數字為，百位數字為，十位數字為，個位數字為，記，，若能被10整除，則滿足條件的的最大值為．【分析】它的千位數字比個位數字多6，百位數字比十位數字多2，則稱為“天真數”．分為兩部分：第一部分千位數和個位數之間的關系，第二部分百位數和十位數之前的關系．【解答】解：求最小的“天真數”，首先知道最小的自然數的0．先看它的千位數字比個位數字多6，個位數為最小的自然數0時，千位數為6；百位數字比十位數字多2，十位數為最小的自然數0時．百位數是2；則最小的“天真數”為6200．故答案為：6200．一個“天真數”的千位數字為，百位數字為，十位數字為，個位數字為．由“天真數”的定義得，所以，，所以，又；若能被10整除當取最大值9時，即當時，滿足能被10整除，則，“天真數”為9313．故答案為：9313．【點評】新定義題型，各數字的取值范圍，最值：最小自然數0．【中考模擬即學即練】1．（2024?豐潤區(qū)一模）若、都是任意整數，如果的值總能被3整除，則不能取A． B．1 C．2 D．4【分析】先求出原式，根據題意可知，總能被3整除，再逐一判斷各選項即可．【解答】解：，、都是任意整數，的值總能被3整除，總能被3整除，整數為，1，4均能滿足條件，故選項，，不符合題意，整數為2時，不能滿足、都是任意整數，的值總能被3整除，故選：．【點評】本題考查的是因式分解的應用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．2.（2024?渝北區(qū)模擬）一個四位數，記作，若，則稱為“和美數”．例如：四位數1235，，是“和美數”．若一個“和美數”為，則這個數為；對于“和美數”，去掉個位上的數字得到三位數，去掉千位上的數字得到三位數，當能被11整除時，滿足條件的的最大值與最小值的差為．【分析】根據“和美數”的定義即可求出；根據“和美數”的定義先求得，結合可得，再根據被11整除的數的特征求解即可．【解答】解：，，，，，，能被11整除，是11的倍數，即是11的倍數，當最小時，最小，當最大時，最大，最小為1，，，，，，，滿足條件的的最小值為1796；又，，又，是11的倍數，的最大值為6，此時，，．，滿足條件的的最大值為6178，．故答案為：2，4382．【點評】本題考查了新定義運算，理解新定義，正確的推理計算是解題的關鍵．3.（2024?九龍坡區(qū)校級模擬）對于一個四位正整數，若它的各位上數字均不為零且互不相等，千位數字與個位數字之和為9，十位數字比百位數字大2，則稱這個四位正整數是“優(yōu)勝數”．則符合條件的的最大數與最小數的差為（A），（A），若能被7整除，則所有滿足條件的四位正整數的和為．【分析】根據題意求出當，時，的最大數為，當，時，的最小數為，即可求出符合條件的的最大數與最小數的差，根據題意求出（A），則（A）或（A）或（A），進一步求出所有滿足條件的四位正整數4，即可求出所有滿足條件的四位正整數4的和．【解答】解：四位正整數是“優(yōu)勝數”，，，．，，，，，，，可得到為：，當，時，的最大數為，各位上數字均不為零且互不相等，當．時，的最小數為，最大值與最小值的差為；（A），（A），，，，，（A），（A），能被7整除，（A），則（A）或（A）或（A），解得，，，，或，，，，或，，，，或，，，，各位上數字均不為零且互不相等，所有滿足條件的四位正整數4為：1578，3576，所有滿足條件的四位正整數4的和為，故答案為：7653，5154．【點評】此題考查了數字類規(guī)律題，整式加減的應用、不等式的應用等知識，正確理解題意是解決本題的關鍵．4．（2024?秦淮區(qū)模擬）證明：能被整除．【分析】先去括號，再進行分組，利用提公因式法和十字相乘法，即可證明．【解答】解：．故能被整除．【點評】本題考查的是因式分解的應用，熟練掌握提公因式法和十字相乘法是解題的關鍵．5．（2024?邯山區(qū)校級三模）有一電腦程序如圖，能處理整式的相關計算，已知輸入整式，整式后，屏幕上自動將整式補齊，但由于屏幕大小有限，只顯示了整式的一部分：．（1）嘉淇想：把設為，再利用來解決問題，請利用嘉淇的想法求程序自動補全的整式；（2）在（1）的條件下，嘉淇發(fā)現：若為任意整數，整式的值總能被某個大于1的正整數整除，求這個正整數的值．【分析】（1）設“”代表的代數式為，即，利用多項式乘以多項式進行展開，再合并同類項，即可求解；（2）利用完全平方公式，單項式乘以多項式展開，再因式分解即可．【解答】解：（1）設“”代表的代數式為，即，則，，，，解得，即程序自動補全的整式；（2），若為任意整數，則為整數，整式的值總能被5整除．【點評】本題考查了整式的乘法，加減法，因式分解，熟練掌握知識點以及運算法則是解題的關鍵．6．（2024?古冶區(qū)二模）如果一個四位自然數的各數位上的數字互不相等且均不為0，滿足，那么稱這個四位數為“遞減數”．例如：四位數4129，，是“遞減數”．（1）判斷四位數5324是不是“遞減數”；（2）若一個“遞減數”為，求這個“遞減數”；（3）若一個“遞減數”的前三個數字組成的三位數與后三個數字組成的三位數的和能被9整除，直接寫出滿足條件的遞減數的最大值．【分析】（1）由得5324不是“遞減數”．（2）由題意得，故這個“遞減數”是4312．（3）由題意得．根據前三個數字組成的三位數與后三個數字組成的三位數的和得，再根據能被9整除得是整數，最后再代入的不同值計算即可．【解答】解：（1），不是“遞減數”．（2）由題意得，解得，答：這個“遞減數”是4312．（3）由題意得．，，是整數，當時，此時只能取0，不符合題意，舍去；當時，，此時，取9或8或7時，均不符合題意，只有時，，故符合條件的最大值是8165．答：最大值是8165．【點評】本題考查了整式的加減，掌握“遞減數”的含義是解題關鍵．題型六：個位數字規(guī)律探究解題方法周期判斷法解題方法周期判斷法第一步：計算出前幾個算式的結果第二步：觀察個位數字的循環(huán)規(guī)律，重復出現的數為一個周期，如2"的個位數字以24、8、6為一個周期循環(huán)出現，周期內有4個數;3"的個位數字以3、9、7、1為一個周期循環(huán)出現，周期內有4個數;4"的個位數字以4、6為一個周期循環(huán)出現，周期內有2個數第三步：用n÷周期中數字的個數得到的余數，代表了所求個位數字處在周期中的第幾位【中考母題學方法】【典例6】（2024?碑林區(qū)校級自主招生）如果是一個自然數，那么的“雙階乘”記為，其表示從2到的所有偶數的積，如果，那么的末尾數字為．【分析】根據“雙階乘”的定義可發(fā)現從開始，后面的都需要，所以末尾數字也都為0，因此只需要計算之前即可得解．【解答】解：，當計算時，，從開始，后面的都需要，所以末尾數字也都為0，因此只需要計算之前，，只需要末尾數字所以算式的末尾數字為，所以末尾數字為4，故答案為：4．【點評】本題考查了尾數特征，熟練掌握數的四則運算的計算和應用是解題關鍵．【變式6-1】難點01不確定n的值求個位數字的末尾數是．【分析】先求出一個2，2個2相乘，3個2相乘，4個2相乘，5個2相乘的積，根據積的末尾數，找出規(guī)律，按照此規(guī)律進行解答即可．【解答】解：，，，，，個2的末尾數是2，兩個2相乘的末尾數是4，三個2相乘的末尾數是8，四個2相乘的末尾數是6，五個2相乘的末尾數是，末尾數是2的數相乘積的末尾數的規(guī)律是：2，4，8，6，每4個一循環(huán)，從2到1222共有（個數，，積的末尾數是8，故答案為：8．【點評】本題主要考查了有理數的乘法，解題關鍵是從若干個2相乘的算式中，找出末尾數是2的數相乘得的積的末尾數的規(guī)律．【變式6-2】難點02結合因式分解求個位數字（2024秋?南安市校級月考）發(fā)現：，，，，，，，，依據上述規(guī)律，通過計算判斷的結果的個位數字是A．2 B．4 C．6 D．8【分析】觀察時注意4的指數的奇偶性與個位數字的關系，利用平方差公式進行計算，然后利用觀察的規(guī)律解答．【解答】解：，，，，，，，，觀察上面運算結果發(fā)現：當4的指數是奇數時，運算結果的個位數字是4；當4的指數是偶數時，運算結果的個位數字是6；．由規(guī)律可得的個位數字是6，的結果的個位數字是6．故選：．【點評】本題考查了平方差公式和尾數特征．解題的關鍵是熟練掌握平方差公式的運用．【中考模擬即學即練】1．（2024?頭屯河區(qū)二模）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型來表示．即：，，，，，，請你推算的個位數字是A．6 B．4 C．2 D．8【分析】根據尾數的循環(huán)性得出結論即可．【解答】解：由題意知，個位數字每四個數按2，4，8，6循環(huán)出現，，的個位數字與相同，為6，故選：．【點評】本題主要考查數字的變化規(guī)律，根據尾數的循環(huán)得出結論是解題的關鍵．2．（2024?赤峰一模）觀察下列等式：，，，，，，，根據其中的規(guī)律可得的結果的個位數字是A．0 B．1 C．7 D．8【分析】由題意知，當為非負整數時，的末位數字依次為1、7、9、3且每4個為1個循環(huán)，由，，求解作答即可．【解答】解：由題意知，當為非負整數時，的末位數字依次為1、7、9、3且每4個為1個循環(huán)，，，的結果的個位數字為1．故選：．【點評】本題考查了數字的規(guī)律探究，掌握題意尋找規(guī)律是解題的關鍵．3．（2024?興寧市校級模擬）的計算結果的個位數字是A．8 B．7 C．6 D．5【分析】分別探索和的個位數字，轉化為探索和即可．【解答】解：的個位數字只需看2023的個位數字3的2024次方的結果即可，，，，，，個位數字是每4個一循環(huán)，，的個位數字為1，的個位數字為1，的個位數字只需看2024的個位數字4的2023次方的結果即可，，，，，個位數字是每2個一循環(huán)，，的個位數字為4，的個位數字為4，的個位數字為，故選：．【點評】本題考查了數的規(guī)律探索，熟練掌握乘方類型數的個位數字的規(guī)律是解題的關鍵．4．（2024?青山湖區(qū)校級三模）生物學中，描述、解釋和預測種群數量的變化，常常需要建立數學模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數學模型來表示．即：，，，，，，請你推算的個位數字是．【分析】通過觀察可知2的乘方的尾數每4個循環(huán)一次，則與的尾數相同，即可求解．【解答】解：，，，，，，的乘方的尾數每4個循環(huán)一次，，與的尾數相同為6，故答案為：6．【點評】本題主要考查數字的變化規(guī)律，能夠根據所給式子，探索出尾數的規(guī)律是解題的關鍵．5.設，則的個位數字是．【分析】將算式轉化為運用平方差公式進行計算的形式，再對的個位數字出現規(guī)律進行推導、利用．【解答】解：由題意得，，，即其個位數字是2；，即其個位數字是4；，即其個位數字是8；，即其個位數字是6；，即其個位數字是2；的個位數字按2，4，6，8的順序循環(huán)出現，，的個位數字是：，【點評】此題考查了平方差公式的運用和算式規(guī)律歸納問題的解決能力，關鍵是能準確變式，并歸納運用．6．（2024春?項城市校級期中）已知：；；；；（1）當時，；（2）試求的值；（3）的值的個位數是．【分析】（1）把直接代入進行計算即可；（2）根據前幾個變化規(guī)律，將時的等式恒等變形即可得出答案；（3）找到變化規(guī)律，再恒等變形，依次分析2的次方的個位數字變化規(guī)律即可求解．【解答】解：（1）當時，，故答案為：255；（2）根據題意，，當時，，；（3）由題意知，原式，，，，，，，，且，的個位數與的個位數相同，即為2，的個位數為1，即的值的個位數是1，故答案為：1．【點評】本題考查規(guī)律型：數字的變化類、尾數特征，多項式乘多項式，根據已知等式，正確歸納出一般變化規(guī)律是解答的關鍵．題型七：數或式的規(guī)律探究解題方法解題方法1.數字規(guī)律的解題步驟第一步：按順序給數標序數第二步：對比序數(1，2，3，…，n)和數值間的關系，并用含序數的式子表示第三步：根據規(guī)律表示出第n個式子，并檢驗第四步：代入n的值，求第n個數2.求第n個單項式的解題關鍵找單項式的系數或者指數與序號的對應關系,可將問題轉化成找數與序號之間的規(guī)律3.猜想第n個等式的解題關鍵找到等式里邊每一個變化的數字與序號之間的對應關系,常見的數字規(guī)律同問題1;證明第,個等式的正確性,即通過整式或分式運算,將等號一邊變形為另一邊的結果,【中考母題學方法】【典例7】（2024?綿陽）如圖，將全體正偶數排成一個三角數陣，從上向下數有無數多行，其中第一行有1個數為2，第二行有2個數為4，6，第行有個數．探究其中規(guī)律，你認為第行從左至右第3個數不可能是A．36 B．96 C．226 D．426【分析】根據所給排列方式，發(fā)現每行最后一個數可表示為兩個連續(xù)整數的積，據此發(fā)現第三行開始的每行左起第3個數的規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由題知，，，，，，，所以第行的最后一個數可表示為，則從第三行起，第行的左起的第3個數可表示為：為大于等于2的整數）．因為，故選項不符合題意．因為，故選項不符合題意．因為，，且，故選項符合題意．因為，故選項不符合題意．故選：．【點評】本題主要考查了數字變化的規(guī)律，能根據所給排列方式，發(fā)現從第三行起，第行的左起的第3個數可表示為：為大于等于2的整數）是解題的關鍵．【變式7-1】難點01兩組數求第n個數的和（2023?牡丹江）觀察下面兩行數：1，5，11，19，29，；1，3，6，10，15，．取每行數的第7個數，計算這兩個數的和是A．92 B．87 C．83 D．78【分析】觀察第2行數可知第個數為，第一行數的第個數為第2行第個數的2倍減1，即可求出每行數的第7個數，從而得到答案．【解答】解：觀察第2行數可知，第7個數為：，第1行的第7個數為，，取每行數的第7個數，這兩個數的和是83；故選：．【點評】本題考查數字的變化類問題，解題的關鍵是觀察得到兩行數字的變化規(guī)律．【變式7-2】難點02根據第一個數字與層數的關系判斷數字所在位置（2023?恩施州）觀察下列兩行數，探究第②行數與第①行數的關系：，4，，16，，64，①0，7，，21，，71，②根據你的發(fā)現，完成填空：第①行數的第10個數為；取每行數的第2023個數，則這兩個數的和為．【分析】觀察可得，第①行數的第個數為，第②行數的第個數為，即可得到答案．【解答】解：觀察數列可得，第①行數的第10個數為，第①行數的第2023個數為，第②行數的第2023個數為，，取每行數的第2023個數，這兩個數的和為．故答案為：，．【點評】本題考查數字變化規(guī)律，解題的關鍵是觀察數列，得到兩個數列中數字的規(guī)律．【變式7-3】難點03單項式的系數變成正負交替的分數（2024?盤龍區(qū)校級模擬）按一定規(guī)律排列的式子：，，，，，第個式子是A． B． C． D．【分析】觀察單項式的系數和次數，發(fā)現規(guī)律即可解決問題．【解答】解：由題知，奇數項的系數為正，偶數項的系數為負，且各項系數的絕對值的分子都是1，分母為從1開始的連續(xù)奇數，所以第個式子的系數為：；觀察單項式列中各單項式的次數可知，，，，，所以第個式子的次數為：，所以第個式子可表示為：．故選：．【點評】本題考查代數式變化的規(guī)律，能根據所給單項式列發(fā)現其系數和次數的變化規(guī)律是解題的關鍵．【變式7-4】猜想第n個等式（2024?寧夏）觀察下列等式：第1個：；第2個：；第3個：；第4個：．按照以上規(guī)律，第個等式為．【分析】分析所給的等式的形式，總結出規(guī)律，再對等式的左邊進行整理即可．【解答】解：第1個：；第2個：；第3個：；第4個：．按照以上規(guī)律，第個等式為，故答案為：．【點評】本題主要考查數字的變化規(guī)律，解答的關鍵是對由所給的等式總結出存在的規(guī)律．【中考模擬即學即練】1．（2024?巧家縣二模）按一定規(guī)律排列的多項式：，，，，，．第個多項式是A． B． C． D．【分析】根據題意可得第個多項式是，即可得出結果．【解答】解：根據題意可知，按一定規(guī)律排列的多項式：，，，，，，第個多項式是，故選：．【點評】本題考查的是多項式和數字的變化規(guī)律，從題目中找出數字間的變化規(guī)律是解題的關鍵．2．（2024?湖北模擬）一串數字如下：1，，5，，9，如此下去，則第2023個數字與第2024個數字的和等于A．4047 B． C．2 D．【分析】根據各個數的符號和絕對值兩個方面找到規(guī)律，再求解．【解答】解：，，5，，9，，第2023個數字與第2024個數字分別為：，，，故選：．【點評】本題考查了數字的變化類，張變化規(guī)律是解題的關鍵．3．（2024?西山區(qū)校級模擬）按一定規(guī)律排列的一列單項式如下：，，，，，則第9個單項式是A． B． C． D．【分析】根據題干中的單項式總結規(guī)律即可求得答案．【解答】解：第1個單項式：；第2個單項式：；第3個單項式：；，第9個單項式是，故選：．【點評】本題考查單項式及規(guī)律探索問題，結合已知條件總結出規(guī)律是解題的關鍵．4．（2024?婁底模擬）楊輝三角，是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現，它揭示了為非負整數）展開式的項數及各項系數有關規(guī)律，如下：則展開式中所有項的系數和是A．2048 B．1024 C．0 D．【分析】根據已知算式得出規(guī)律，再求出即可．【解答】解：當，時，，故選：．【點評】本題考查了數字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關鍵．5.（2023秋?邛崍市校級月考）觀察下列等式：第1層：第2層：第3層：第4層：在上述數字寶塔中，從上往下數，2023在第層．【分析】觀察等式的規(guī)律，結合式子的特征確定每一層的數比前一層的數多2個，結合第一層是3個數，可以得到一組連續(xù)的奇數；根據連續(xù)奇數和的規(guī)律，連續(xù)個奇數的和是，由此確定2023所在的層數．【解答】解：，共有3個數；，共有5個數；，共有7個數；第四個等式左邊應該為5個連續(xù)的數，右邊應該為4個連續(xù)的數；即第四個等式為：，共有9個數；由此可知，每一層都有奇數個數，從第一層開始，到第層結束共有個數，又因為，所以2023在第44層；故答案為：44．【點評】本題主要考查學生的探求規(guī)律的能力，解題的關鍵是明確式子規(guī)律，結合式子的特征確定每一層有幾個數進行解答．6．（2024?永安市二模）觀察下列等式：第1個等式：第2個等式：第3個等式：第4個等式：按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第5個等式：；（2）寫出你猜想的第個等式（用含的等式表示），并證明．【分析】（1）根據所給的等式的形式進行求解即可；（2）分析所給的等式，不難得出第個等式為：，通過對等式的左邊的運算即可證明．【解答】解：（1）由題給出的等式可得第5個等式為：，故答案為：；（2）猜想：第個等式為：，證明：等式左邊右邊，故猜想成立．第個等式為：．【點評】本題主要考查數字的變化規(guī)律，列代數式，解答的關鍵是由所給的等式總結出存在的規(guī)律．題型八：圖形規(guī)律探究解題方法解題方法解決這類問題首先要從簡單圖形入手，抓住隨著“編號”或“序號”增加時，后一個圖形與前一個圖形相比，在數量上增加（或倍數）情況的變化，找出數量上的變化規(guī)律，從而推出一般性的結論．【中考母題學方法】【典例8】（2024?哈爾濱）如圖，用棋子擺出一組形如正方形的圖形，按照這種方法擺下去，擺第5個圖形需要棋子A．16枚 B．20枚 C．24枚 D．25枚【分析】根據題意得第1，2，3個圖形中棋子的個數，據此得到其余圖形中棋子的總數與邊數的關系即可．【解答】解：第1個圖棋子個數為4；第2個圖棋子個數為；第3個圖棋子個數為；因此：第四個圖的棋子個數為；第五個圖棋子個數為．故選：．【點評】本題考查圖形的變化規(guī)律；找到棋子總數與正方形的邊數4及每邊上的棋子的個數的關系是解決本題的關鍵．【變式8-1】難點01兩種基礎圖形變化（2024?湖北模擬）用邊長相等的正方形和等邊三角形卡片按如圖所示的方式和規(guī)律拼出圖形．拼第1個圖形所用兩種卡片的總數為7枚，拼第2個圖形所用兩種卡片的總數為12枚若按照這樣的規(guī)律拼出的第個圖形中，所用正方形卡片比等邊三角形卡片多10枚，則拼第個圖形所用兩種卡片的總數為A．57枚 B．52枚 C．50枚 D．47枚【分析】由題意可知：第1個圖形中有正方形和等邊三角形卡片枚，所用正方形卡片比等邊三角形卡片多1枚，第2個圖形中有正方形和等邊三角形