核心考點(diǎn)10計(jì)數(shù)原理

核心考點(diǎn)10計(jì)數(shù)原理目錄一．古典概型及其概率計(jì)算公式（共10小題）二．分類加法計(jì)數(shù)原理（共3小題）三．分步乘法計(jì)數(shù)原理（共2小題）四．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（共4小題）五．排列及排列數(shù)公式（共5小題）六．組合及組合數(shù)公式（共10小題）七．排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題（共10小題）八．二項(xiàng)式定理（共10小題）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一．古典概型及其概率計(jì)算公式【考點(diǎn)歸納】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對(duì)一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是；如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）＝＝．【解題技巧】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）＝求出事件A的概率．3．解題方法技巧：（1）利用對(duì)立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．二．列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、等可能條件下概率的意義：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P（A）＝．等可能條件下概率的特征：（1）對(duì)于每一次試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果都是有限的；（2）每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等．2、概率的計(jì)算方法：（1）列舉法（列表或畫樹狀圖），（2）公式法；列表法或樹狀圖這兩種舉例法，都可以幫助我們不重不漏的列出所以可能的結(jié)果．列表法（1）定義：用列出表格的方法來分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．（2）列表法的應(yīng)用場(chǎng)合當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)兩個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí)，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法．樹狀圖法（1）定義：通過列樹狀圖列出某事件的所有可能的結(jié)果，求出其概率的方法叫做樹狀圖法．（2）運(yùn)用樹狀圖法求概率的條件當(dāng)一次試驗(yàn)要設(shè)計(jì)三個(gè)或更多的因素時(shí)，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率．三．分類加法計(jì)數(shù)原理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：完成一件事有兩類不同方案：在第1類辦法中有m種不同的方法，在第2類辦法中有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m+n種不同的方法．2．推廣：完成一件事有n類不同方案：在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，…，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1+m2+…+mn種不同的方法．3．特點(diǎn)：（1）完成一件事的n類方案相互獨(dú)立；（2）同一類方案中的各種方法相對(duì)獨(dú)立．（3）用任何一類方案中的任何一種方法均可獨(dú)立完成這件事；4．注意：與分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題步驟】如果完成一件事情有n類方案，且每一類方案中的任何一種方法均能獨(dú)立完成這件事，則可使用分類加法計(jì)數(shù)原理．實(shí)現(xiàn)步驟：（1）分類；（2）對(duì)每一類方法進(jìn)行計(jì)數(shù)；（3）用分類加法計(jì)數(shù)原理求和；【命題方向】與實(shí)際生活相聯(lián)系，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合排列組合知識(shí)成為能力型題目，主要考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力及分類討論思想．四．分步乘法計(jì)數(shù)原理【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：完成一件事需要分成兩個(gè)步驟：做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m×n種不同的方法．2．推廣：完成一件事需要分成n個(gè)步驟：做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有：N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．特點(diǎn)：完成一件事的n個(gè)步驟相互依存，必須依次完成n個(gè)步驟才能完成這件事；4．注意：與分類加法計(jì)數(shù)原理區(qū)別分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理相同點(diǎn)計(jì)算“完成一件事”的方法種數(shù)不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題步驟】如果完成一件事情有n個(gè)步驟，各個(gè)步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有的步驟才能完成這件事，則可使用分步乘法計(jì)數(shù)原理．實(shí)現(xiàn)步驟：（1）分步；（2）對(duì)每一步的方法進(jìn)行計(jì)數(shù)；（3）用分步乘法計(jì)數(shù)原理求積；【命題方向】與實(shí)際生活相聯(lián)系，以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，并綜合排列組合知識(shí)成為能力型題目，主要考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力及分類討論思想．五．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（1）分類加法計(jì)數(shù)原理：N＝m1+m2+…+mn（2）分步乘法計(jì)數(shù)原理：N＝m1×m2×…×mn2．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的比較分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理共同點(diǎn)都是計(jì)數(shù)原理，即統(tǒng)計(jì)完成某件事不同方法種數(shù)的原理．不同點(diǎn)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘n類方案相互獨(dú)立，且每類方案中的每種方法都能獨(dú)立完成這件事n個(gè)步驟相互依存，每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事）注意點(diǎn)類類獨(dú)立，不重不漏步步相依，步驟完整【解題方法】1．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（1）如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類加法計(jì)數(shù)原理；（2）如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．解題步驟（1）指明要完成一件什么事，并依事件特點(diǎn)確定是“分n類”還是“分n步”；（2）求每“類”或每“步”中不同方法的種數(shù)；（3）利用“相加”或“相乘”得到完成事件的方法總數(shù)；（4）作答．【命題方向】分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理是推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論基礎(chǔ)，也是求解排列、組合問題的基本思想方法．常見考題類型：（1）映射問題（2）涂色問題（①區(qū)域涂色②點(diǎn)的涂色③線段涂色④面的涂色）（3）排數(shù)問題（①允許有重復(fù)數(shù)字②不允許有重復(fù)數(shù)字）六．排列及排列數(shù)公式【考點(diǎn)歸納】1．定義（1）排列：一般地，從n個(gè)不同的元素中任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．（其中被取的對(duì)象叫做元素）（2）排列數(shù)：從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示．2．相關(guān)定義：（1）全排列：一般地，n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列．（2）n的階乘：正整數(shù)由1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示．（規(guī)定0!＝1）3．排列數(shù)公式（1）排列計(jì)算公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．（2）全排列公式：＝n?（n﹣1）?（n﹣2）?…?3?2?1＝n!．七．組合及組合數(shù)公式【考點(diǎn)歸納】1．定義（1）組合：一般地，從n個(gè)不同元素中，任意取出m（m≤n）個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)組合．（2）組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中，任意取出m（m≤n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中，任意取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示．2．組合數(shù)公式：＝．m，n∈N+，且m≤n．3．組合數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1性質(zhì)2．八．排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、排列組合問題的一些解題技巧：①特殊元素優(yōu)先安排；②合理分類與準(zhǔn)確分步；③排列、組合混合問題先選后排；④相鄰問題捆綁處理；⑤不相鄰問題插空處理；⑥定序問題除法處理；⑦分排問題直排處理；⑧“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；⑨構(gòu)造模型；⑩正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化．對(duì)于無限制條件的排列組合問題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)分類，二是按時(shí)間發(fā)生的過程進(jìn)行分步．對(duì)于有限制條件的排列組合問題，通常從以下三個(gè)途徑考慮：①以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；②以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；③先不考慮限制條件，計(jì)算出排列或組合數(shù)，再減去不符合要求的排列或組合數(shù)．2、排列、組合問題幾大解題方法：（1）直接法；（2）排除法；（3）捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列．它主要用于解決“元素相鄰問題”；（4）插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”；（5）占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置．即采用“先特殊后一般”的解題原則；（6）調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法；（7）平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有；（8）隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題；（9）定位問題：從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)，并且都排在某r個(gè)指定位置則有；（10）指定元素排列組合問題：①?gòu)膎個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同的元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；②從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定某r個(gè)元素都不包含在內(nèi)．先C后A策略，排列；組合；③從n個(gè)不同元素中每次取出k個(gè)不同元素作排列（或組合），規(guī)定每個(gè)排列（或組合）都只包含某r個(gè)元素中的s個(gè)元素．先C后A策略，排列；組合．九．二項(xiàng)式定理【二項(xiàng)式定理】又稱牛頓二項(xiàng)式定理．公式（a+b）n＝?nian﹣i?bi．通過這個(gè)定理可以把一個(gè)多項(xiàng)式的多次方拆開．例1：用二項(xiàng)式定理估算1.0110＝1.105．（精確到0.001）解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101?19×0.01+C102?18?0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．故答案為：1.105．這個(gè)例題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，也是比較常見的題型．例2：把把二項(xiàng)式定理展開，展開式的第8項(xiàng)的系數(shù)是．解：由題意T8＝C107×＝120×3i＝360i．故答案為：360i．通過這兩個(gè)例題，大家可以看到二項(xiàng)式定理的重點(diǎn)是在定理，這類型的題都是圍著這個(gè)定理運(yùn)作，解題的時(shí)候一定要牢記展開式的形式，能正確求解就可以了．【性質(zhì)】1、二項(xiàng)式定理一般地，對(duì)于任意正整數(shù)n，都有這個(gè)公式就叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做（a+b）n的二項(xiàng)展開式．其中各項(xiàng)的系數(shù)叫做二項(xiàng)式系數(shù)．注意：（1）二項(xiàng)展開式有n+1項(xiàng)；（2）二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)展開式系數(shù)是兩個(gè)不同的概念；（3）每一項(xiàng)的次數(shù)是一樣的，即為n次，展開式依a的降冪排列，b的升冪排列展開；（4）二項(xiàng)式定理通常有如下變形：①；②；（5）要注意逆用二項(xiàng)式定理來分析問題、解決問題．2、二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式的第n+1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式．它體現(xiàn)了二項(xiàng)展開式的項(xiàng)數(shù)、系數(shù)、次數(shù)的變化規(guī)律，是二項(xiàng)式定理的核心，它在求展開式的某些特定的項(xiàng)及其系數(shù)方面有著廣泛的應(yīng)用．注意：（1）通項(xiàng)公式表示二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是?nr；（2）字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；（3）a與b的次數(shù)之和為n．3、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)．（1）對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；（2）增減性與最大值：當(dāng)k＜時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的．由對(duì)稱性知，它的后半部分是逐漸減小的，且在中間取最大值．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則中間的兩項(xiàng)，相等，且同時(shí)取得最大值．考點(diǎn)考點(diǎn)精講一．古典概型及其概率計(jì)算公式（共10小題）1．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）小陳擲兩次骰子出現(xiàn)6的概率為．【分析】根據(jù)古典概型求解即可．【解答】解：第一次不出現(xiàn)6的概率為，第二次不出現(xiàn)6的概率也為，則擲兩次骰子都不出現(xiàn)6的概率為，故擲兩次骰子出現(xiàn)6的概率為1﹣，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023?上海模擬）上海電視臺(tái)五星體育頻道有一檔四人撲克牌競(jìng)技節(jié)目“上海三打一”，在打法中有—種“三帶二”的牌型，即點(diǎn)數(shù)相同的三張牌外加一對(duì)牌，（三張牌的點(diǎn)數(shù)必須和對(duì)牌的點(diǎn)數(shù)不同）．在一副不含大小王的52張撲克牌中不放回的抽取五次，已知前三次抽到兩張A，一張K，則接下來兩次抽取能抽到“三帶二”的牌型（AAAKK或KKKAA）的概率為．【分析】從52張撲克牌中不放回的抽取三次之后，還剩49張牌，至此，將所求概率問題轉(zhuǎn)化為一般的古典概型，求出不放回的抽取兩次的方法總數(shù)，以及抽到一張A一張K或抽到兩張K的方法總數(shù)，根據(jù)古典概型概率公式計(jì)算概率即可．【解答】解：由題意，從一副不含大小王的52張撲克牌中不放回的抽取三次，抽到兩張A，一張K，還剩49張撲克，其中有兩張A，三張K，再不放回的抽取兩次，共有49×48（種）抽法，抽到一張A一張K的方法有2×3+3×2＝12（種），抽到兩張K的方法有3×2＝6（種），故接下來兩次抽取能抽到“三帶二”的牌型的方法有12+6＝18（種），故所求概率為P＝＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（2022秋?靜安區(qū)期末）現(xiàn)有5根細(xì)木棍，長(zhǎng)度分別為1、3、5、7、9（單位：cm），從中任取3根，能搭成一個(gè)三角形的概率是0.3．【分析】根據(jù)古典概型，先求出樣本空間，再求出條件空間即可．【解答】解：從5根木棍中任取3個(gè)共有C＝10種，符合條件有（3，5，7），（3，7，9），（5，7，9），共3種，∴能搭成一個(gè)三角形的概率為＝0.3，故答案為：0.3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型的問題，熟記概率的計(jì)算公式即可，屬于?？碱}型．4．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到如表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)16080260200740560好評(píng)率0.40.30.20.250.30.15（好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值）從這六類電影中隨機(jī)選取一部電影，則估計(jì)這部電影沒有獲得好評(píng)的概率為．【分析】分別求得總的電影部數(shù)和獲得好評(píng)的電影部數(shù)，由古典概率和對(duì)立事件的概率公式，可得所求值．【解答】解：總的電影部數(shù)為160+80+260+200+740+560＝2000，獲得好評(píng)的電影部數(shù)為160×0.4+80×0.3+260×0.2+200×0.25+740×0.3+560×0.15＝496，這部電影獲得好評(píng)的概率為＝，故這部電影沒有獲得好評(píng)的概率為1﹣＝．故答案為；．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型和概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）8個(gè)男生和4個(gè)女生排成一排，要求女生不排在兩端，則4個(gè)女生排在一起的概率為．【分析】由分步計(jì)數(shù)原理和古典概型計(jì)算公式，可得所求值．【解答】解：8個(gè)男生和4個(gè)女生排成一排，要求女生不排在兩端，可以排男生，則總數(shù)為AA，4個(gè)女生排在一起的總數(shù)為AAA，則4個(gè)女生排在一起的概率為＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型和概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）某高中已經(jīng)從高一、高二、高三3個(gè)年級(jí)中各挑選出4男5女，現(xiàn)從這27人中選出一人評(píng)選區(qū)三好學(xué)生，則此人是男生或是高二年級(jí)學(xué)生的概率是．【分析】設(shè)A是“選出的一人為男生”，B是“選出的一人為高二年級(jí)學(xué)生”，AB是“選出的一人是高二年級(jí)的男生”，由古典概型公式和P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB），計(jì)算可得所求值．【解答】解：設(shè)A是“選出的一人為男生”，B是“選出的一人為高二年級(jí)學(xué)生”，AB是“選出的一人是高二年級(jí)的男生”，則P（A）＝，P（B）＝＝，P（AB）＝，所以P（A+B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝+﹣＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型和概率計(jì)算公式，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）從{1，2，3，4，5}中隨機(jī)取兩個(gè)元素（可相同），則這兩個(gè)元素的積不是6的倍數(shù)的概率為．【分析】根據(jù)古典概型定義可解．【解答】解：從{1，2，3，4，5}中隨機(jī)取兩個(gè)元素，則有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，4），（4，5），（5，5），共15種取法，則兩個(gè)元素的積不是6的倍數(shù)有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，2），（2，4），（2，5），（3，3），（3，5），（4，4），（4，5），（5，5），共13種，則這兩個(gè)元素的積不是6的倍數(shù)的概率為【點(diǎn)評(píng)】本題考查古典概型概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．8．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）第14屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME﹣14）于2021年7月12日至18日在上海舉辦，已知張老師和李老師都在7天中隨機(jī)選擇了連續(xù)的3天參會(huì)，則兩位老師所選的日期恰好都不相同的概率為．【分析】設(shè)7天的編號(hào)依次為1，2，3，4，5，6，7，則連續(xù)的三天分別為：123，234，345，456，567，共5種情況，分別求出兩人總的選擇的個(gè)數(shù)以及所求事件的個(gè)數(shù)，然后根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解．【解答】解：設(shè)7天的編號(hào)依次為1，2，3，4，5，6，7，則連續(xù)的三天分別為：123，234，345，456，567，共5種情況，所以張老師與李老師隨機(jī)選擇的總數(shù)為C＝25種情況，兩人選擇的日期恰好都不相同的分別為（123，456），（123，567），（234，567），（456，123），（567，123），（567，234）共6種情況，所以所求事件的概率為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了古典概型的概率計(jì)算公式的應(yīng)用，考查了學(xué)生的理解運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2023?浦東新區(qū)模擬）數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè)，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格的概率是．【分析】先求出基本事件總數(shù)n＝，再求出他能及格包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝16，由此能求出他能及格的概率．【解答】解：數(shù)學(xué)老師從6道習(xí)題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測(cè)，基本事件總數(shù)n＝，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能求解其中的4道題，則他能及格包含的基本事件個(gè)數(shù)m＝＝16，∴他能及格的概率p＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．10．（2023?上海）為了學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校學(xué)生理論宣講團(tuán)赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為0.5．【分析】根據(jù)古典概型求解即可．【解答】解：從10人中任選3人的事件個(gè)數(shù)為，恰有1名男生2名女生的事件個(gè)數(shù)為，則恰有1名男生2名女生的概率為，故答案為：0.5．【點(diǎn)評(píng)】略二．分類加法計(jì)數(shù)原理（共3小題）11．（2020?上海）已知A＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，a、b∈A，則|a|＜|b|的情況有18種．【分析】先討論a的取值，得到對(duì)應(yīng)b的值，再整體求和即可．【解答】解：當(dāng)a＝﹣3，0種，當(dāng)a＝﹣2，2種，當(dāng)a＝﹣1，4種；當(dāng)a＝0，6種，當(dāng)a＝1，4種；當(dāng)a＝2，2種，當(dāng)a＝3，0種，故共有：2+4+6+4+2＝18．故答案為：18．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分類討論思想在概率中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題目．12．（2023春?閔行區(qū)月考）小張同學(xué)計(jì)劃從6本歷史類讀本、5本軍事類讀本和3本哲學(xué)類讀本中任選1本閱讀，則不同的選法共有14種．【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可解決此題．【解答】解：根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，小張同學(xué)計(jì)劃從6本歷史類讀本、5本軍事類讀本和3本哲學(xué)類讀本中任選1本閱讀，共有6+5+3＝14種不同的選法．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及抽象能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（2022?崇明區(qū)二模）某學(xué)校每天安排4項(xiàng)課后服務(wù)供學(xué)生自愿選擇參加．學(xué)校規(guī)定：（1）每位學(xué)生每天最多選擇1項(xiàng)；（2）每位學(xué)生每項(xiàng)一周最多選擇1次．學(xué)校提供的安排表如下：時(shí)間周一周二周三周四周五課后服務(wù)音樂、閱讀、體育、編程口語、閱讀、編程、美術(shù)手工、閱讀、科技、體育口語、閱讀、體育、編程音樂、口語、美術(shù)、科技若某學(xué)生在一周內(nèi)共選擇了閱讀、體育、編程3項(xiàng)，則不同的選擇方案共有14種．（用數(shù)值表示）【分析】根據(jù)題意，由表可知周一至周四都可選閱讀，周一，周三和周四可選體育，周一，周二和周四可選編程，由此分4種情況討論，由加法原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，由表可知周一至周四都可選閱讀，周一，周三和周四可選體育，周一，周二和周四可選編程，故分4種情況討論：當(dāng)周一選閱讀，若體育選周三，編程有2種方法，若體育選周四，編程有1種方法，共3種選法，當(dāng)周二選閱讀，若編程選周一，體育有2種方法，若編程選周四，體育有2種方法，共4種選法，當(dāng)周三選閱讀，若體育選周一，編程有2種方法，若體育選周四，編程有2種方法，共4種選法，當(dāng)周四選閱讀，若體育選周一，編程有1種方法，若體育選周三，編程有2種方法，共3種選法，再由分類加法計(jì)數(shù)原理可得不同的選課方案共有3+4+4+3＝14種．故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．三．分步乘法計(jì)數(shù)原理（共2小題）14．（2020春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）從甲地到乙地有2條路可走，從乙地到丙地有3條路可走，從甲地到丁地有4條路可走，從丁地到丙地有2條路可走，從甲地到丙地共有14種不同的走法．【分析】?jī)蓷l路線可選：甲地→乙地→丙地；甲地→丁地→丙地，再由分類計(jì)數(shù)原理，得解．【解答】解：從甲地到丙地有兩條路線可選：路線一：甲地→乙地→丙地，共有2×3＝6種；路線二：甲地→丁地→丙地，共有4×2＝8種，由分類計(jì)數(shù)原理知，共有6+8＝14種不同的走法．故答案為：14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．15．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）將3封不同的信投入4個(gè)不同的郵箱，則有64種不同投法．【分析】根據(jù)題意可知每封信都有4種不同的投法，由分步計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)榈谝环庑庞?種投法，第二封信有4種投法，第三封信有4種投法，所以由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有不同投法43＝64（種）．故答案為：64．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．四．計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用（共4小題）16．（2021春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）有6本不同的書按下列分配方式分配，問共有多少種不同的分配方式？（1）分成1本、2本、3本三組；（2）分給甲、乙、丙人，其中一個(gè)人1本，一個(gè)人2本，一個(gè)人3本；（3）分成每組都是2本的三個(gè)組；（4）分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2本．【分析】（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本，是無序不均勻分組問題，直接利用組合數(shù)公式求解即可．（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本，甲、乙、丙三人有序不均勻分組問題．直接求出即可．（3）平均分成三份，每份2本．這是平均分組問題，列舉（AB，CD，EF），（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD）是一種分法，求出組合總數(shù)除以A33即可．（4）分給甲、乙、丙三人，每個(gè)人2本，甲、乙、丙三人有序均勻分組問題．直接求出即可【解答】解：（1）無序不均勻分組問題．先選1本有C16種選法；再?gòu)挠嘞碌?本中選2本有C25種選法；最后余下3本全選有C33種方法，故共有C16C25C33＝60種．（2）有序不均勻分組問題．由于甲、乙、丙是不同的三人，在第（1）題基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有C16C25C33A33＝360種．（3）無序均勻分組問題．先分三步，則應(yīng)是C26C24C22種方法，但是這里出現(xiàn)了重復(fù)．不妨記6本書為A、B、C、D、E、F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，記該種分法為（AB，CD，EF），則C26C24C22種分法中還有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD），共A33種情況，而這A33種情況僅是AB、CD、EF的順序不同，因此只能作為一種分法，故分配方式有＝15種．（4）在（3）的基礎(chǔ)上，還應(yīng)考慮再分配，共有15A33＝90種．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，正確區(qū)分無序不均勻分組問題．有序不均勻分組問題．無序均勻分組問題．是解好組合問題的一部分；本題考查計(jì)算能力，理解能力17．（2021春?徐匯區(qū)校級(jí)期中）54的不同正約數(shù)有8個(gè)．【分析】根據(jù)正約數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：54的正約數(shù)有1，2，3，6，9，18，27，54，共8個(gè)．故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正約數(shù)的定義，即可求解．18．（2023春?閔行區(qū)月考）五名旅客在三家旅店投宿的方法有243種．【分析】根據(jù)題意，分析可得：完成這件事，可分成五個(gè)步驟：每一步依次安排一名旅客，都各自有3種方法，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案．【解答】解：完成這件事，可分成五個(gè)步驟：第一步安排一名旅客，有3種投宿方法，同理第二步，第三步，第四步，第五步依次安排一名旅客，都各自有3種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到五名旅客在三家旅店投宿的方法有N＝3×3×3×3×3＝35＝243（種）；故答案為：243．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，解題時(shí)首先要分析題意，明確題目中的關(guān)系，是分步問題還是分類問題．19．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期末）6個(gè)人排成一排，甲、乙兩人相鄰的排法有240種．【分析】甲、乙兩人相鄰可以捆綁看成一個(gè)元素，而甲乙可以交換位置，利用排列即可得出結(jié)論．【解答】解：甲、乙兩人相鄰可以捆綁看成一個(gè)元素，而甲乙可以交換位置，因此6個(gè)人排成一排，甲、乙兩人相鄰的排法有?＝240種．故答案為：240．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列數(shù)的意義及其計(jì)算公式、轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．五．排列及排列數(shù)公式（共5小題）20．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期末）＝120．【分析】根據(jù)組合數(shù)公式計(jì)算即可．【解答】解：＝＝＝120．故答案為：120．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．21．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）若，則x＝5．【分析】根據(jù)排列數(shù)，組合數(shù)公式，進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解．【解答】解：3＝3＝，＝（x+1）x，由，得＝（x+1）x，∵x＞0，∴x＝5，故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列數(shù)，組合數(shù)公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．22．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）求滿足下列方程組的正整數(shù)的解：（1）；（2）．【分析】利用排列、組合公式列方程，并化簡(jiǎn)求值即可，注意n的范圍．【解答】解：（1）由＝，可得2n（2n﹣1）（2n﹣2）＝28n（n﹣1），而n≥2，故2n﹣1＝7，可得n＝4；（2）﹣＝+，可得﹣＝+n+1，所以2n+3＝，則n2﹣3n﹣4＝（n﹣4）（n+10）＝0，而n≥2，故n＝4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與證明的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．23．（2022?黃浦區(qū)模擬）已知m∈N*，用非負(fù)整數(shù)n1、n2表示m，m＝n1+，若Am為其表示方法的數(shù)組（n1，n2）的個(gè)數(shù)，則Am＝m+1．【分析】對(duì)任意正整數(shù)m，有m＝0+＝1+＝2+＝……＝m+，從而求出Am的不等式．【解答】解：對(duì)任意正整數(shù)m，有m＝0+＝1+＝2+＝……＝m+，∴Am＝m+1，故答案為：m+1．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．24．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）對(duì)于任意正整數(shù)n，定義“n的雙階乘n!!”如下：對(duì)于n是偶數(shù)時(shí)，n!!＝n（n﹣2）（n﹣4）???6×4×2；對(duì)于n是奇數(shù)時(shí)，n!!＝n（n﹣2）（n﹣4）???5×3×1．現(xiàn)有如下四個(gè)命題：①（2021!!）?（2022!!）＝2022!；②2022!!＝21011?1011!；③2022!!的個(gè)位數(shù)是0；④2023!!的個(gè)位數(shù)是5．正確的命題序號(hào)為①②③④．【分析】利用新定義，結(jié)合階乘的定義依次判斷即可．【解答】解：由n的雙階乘n!!的定義知，（2021!!）?（2022!!）＝2021×2019×2017×……×1×2022×2020×……×2＝2022!，故①正確；2022!!＝2022×2020×……×2＝21011?1011!，故②正確；2022!!的因數(shù)中有10，故其個(gè)位數(shù)是0，故③正確；2023!!的因數(shù)中有5，且沒有偶數(shù)，故其個(gè)位數(shù)是5，故④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合公式的變形應(yīng)用，屬于中檔題．六．組合及組合數(shù)公式（共10小題）25．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）若，則x＝（）A．2 B．5 C．2或5 D．7【分析】由組合數(shù)性質(zhì)可求x的值．【解答】解：由，可得x＝2或x＝7﹣2＝5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合數(shù)公式及其性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．26．（2022春?奉賢區(qū)校級(jí)月考）“n＝3”是“”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件【分析】利用組合數(shù)公式，再借助充分必要條件的定義判斷即可．【解答】解：∵，∴n＝3或n+3＝8，∴n＝3或n＝5，∴n＝3是的充分不必要條件，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用，充分必要條件的判斷，是基礎(chǔ)題．27．（2022?虹口區(qū)校級(jí)開學(xué)）關(guān)于排列組合的方程的解是n＝8．【分析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)及排列數(shù)轉(zhuǎn)化為n的方程，解得即可．【解答】解：因?yàn)?，所以，即為，解得n＝8．故答案為：n＝8．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合數(shù)和排列數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．28．（2022春?松江區(qū)校級(jí)期末）若C＝C，則正整數(shù)x的值是5或7．【分析】根據(jù)組合公式，由C＝C列方程求解即可．【解答】解：C＝C，則2x﹣1＝x+6或2x﹣1+x+6＝20，解得x＝5或x＝7．故答案為：5或7．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．29．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知，則m＝4或14．【分析】利用+＝化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．【解答】解：由+＝，，可得：＝，∴m+1＝5，或m+1+5＝20，解得m＝4或m＝14，故答案為：4或14．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．30．（2023春?閔行區(qū)月考）解方程（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)得到x+2＝4或x+2＝6，計(jì)算得到答案；（2）根據(jù)排列公式計(jì)算得到答案．【解答】解：（1），則x+2＝4或x+2＝6，解得x＝2或x＝4；（2），即（2n+1）（2n）（2n﹣1）（2n﹣2）＝126n（n﹣1）（n﹣2），化簡(jiǎn)得到：8n2﹣63n+124＝0，解得n＝4或（舍去）．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列數(shù)、組合數(shù)的公式，屬于基礎(chǔ)題．31．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期末）（1）解不等式；（2）已知，，成等差數(shù)列，求的值．【分析】（1）由排列數(shù)公式及性質(zhì)列出不等式組即可求解；（2）由題意，2＝+，利用組合數(shù)公式及性質(zhì)化簡(jiǎn)，然后求解方程即可得答案．【解答】解：（1）因?yàn)?，所以?×，所以（8﹣m）（7﹣m）＜6，又，解得m＝6；（2）因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以2＝+，所以2＝+，即＝+，所以n2﹣21n+98＝0，又n≥12，且n∈N*，解得n＝14，所以，＝＝91．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了組合數(shù)公式的應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與證明的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．32．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）若（n∈N*），則n＝5．【分析】利用組合數(shù)公式直接求解．【解答】解：∵，∴﹣＝，解得n＝5或n＝0（舍）．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題考查組合方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意組合數(shù)公式的合理運(yùn)用．33．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）若，則r＝7或3．【分析】由題意利用組合數(shù)的計(jì)算公式，組合數(shù)的性質(zhì)，求得n的值．【解答】解：∵；則r＝3，或r+3＝10，求得r＝3或r＝7，故答案為：3或7．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合數(shù)的計(jì)算公式，組合數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．34．（2022秋?靜安區(qū)校級(jí)期中），求正整數(shù)x的值．【分析】由題意，利用組合數(shù)的性質(zhì)，求得x的值．【解答】解：∵，∴2x﹣1＝x+3或2x﹣1+x+3＝8，求得正整數(shù)x＝4或x＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．七．排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題（共10小題）35．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）4名同學(xué)到3個(gè)小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動(dòng)，每名同學(xué)只去1個(gè)小區(qū)，每個(gè)小區(qū)至少安排1名同學(xué)，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．36 B．64 C．72 D．81【分析】先把4名同學(xué)分成“1，1，2”的組合，再將這三組安排到3個(gè)小區(qū)，最后由分步計(jì)數(shù)原理得解．【解答】解：依題意可知，其中一個(gè)小區(qū)必安排2名同學(xué)，則先把4名同學(xué)分成“1，1，2”的組合，有種方式，再將這三組安排到3個(gè)小區(qū)，有種方式，所以符合題意的不同的安排方法種數(shù)為6×6＝36種．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．36．（2023春?閔行區(qū)月考）將4名新老師安排到A，B，C三所學(xué)校去任教，每所學(xué)校至少一人，則不同的安排方案的種數(shù)是（）A．54 B．36 C．24 D．18【分析】分類討論A，B，C分別有兩名新教師的情況，進(jìn)而計(jì)算出4名新教師安排到A，B，C三所學(xué)校去任教每所學(xué)校至少一人的所有情況．【解答】解：將4名新教師安排到A，B，C三所學(xué)校去任教，每所學(xué)校至少一人，分配方案是：1，1，2，A學(xué)校有兩名新老師：；B學(xué)校有兩名新老師：；C學(xué)校有兩名新老師：，所以共有種情況．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．37．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）某校安排5名同學(xué)去A，B，C，D四個(gè)愛國(guó)主義教育基地學(xué)習(xí)，每人去一個(gè)基地，每個(gè)基地至少安排一人，則甲同學(xué)被安排到A基地的排法總數(shù)為（）A．24 B．36 C．60 D．240【分析】對(duì)A基地安排的人數(shù)，分類討論即可求解．【解答】解：①當(dāng)A基地安排1人時(shí)，排法總數(shù)為＝36；②當(dāng)A基地安排2人時(shí)，排法總數(shù)為＝24，∴滿足題意的所有排法數(shù)為36+24＝60．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分組分配問題，分類討論思想，屬基礎(chǔ)題．38．（2023?浦東新區(qū)校級(jí)一模）電視臺(tái)在電視劇開播前連續(xù)播放6個(gè)不同的廣告，其中4個(gè)商業(yè)廣告2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有（）A．A?A B．C?C C．A?A D．C?C【分析】先把4個(gè)商業(yè)廣告排好順序，再用插空法求得2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放的方法數(shù)．【解答】解：先把4個(gè)商業(yè)廣告排好順序，共有種方法，再把2個(gè)公益廣告插入5個(gè)空（包括兩頭）中，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，共有?種方法，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，分步計(jì)數(shù)原理，不相鄰問題采用插空法，屬于中檔題．39．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）電視臺(tái)在電視劇開播前連續(xù)播放5個(gè)不同的廣告，其中3個(gè)商業(yè)廣告2個(gè)公益廣告，現(xiàn)要求2個(gè)公益廣告不能連續(xù)播放，則不同的播放方式共有72種．【分析】先安排3個(gè)商業(yè)廣告的播放順序，再將2個(gè)公益廣告插入3個(gè)商業(yè)廣告所形成的4個(gè)空擋中，最后由分步計(jì)數(shù)原理得解．【解答】解：先安排3個(gè)商業(yè)廣告的播放順序，有種方式再將2個(gè)公益廣告插入3個(gè)商業(yè)廣告所形成的4個(gè)空擋中，有種方式，則由分步計(jì)數(shù)原理可知，符合題意的不同的播放方式共有6×12＝72種．故答案為：72．【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合的綜合運(yùn)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．40．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）10個(gè)相同的小球放到6個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子里至少放一個(gè)小球，則不同的放法有126種．【分析】利用“隔板法”求解即可．【解答】解：利用“隔板法”，10個(gè)相同小球中間共有9個(gè)空隙，從中任意選擇5個(gè)放上“隔板”，即可把10個(gè)相同的小球放到6個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子里至少放一個(gè)小球，所以不同的放法有＝126種．故答案為：126．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了排列組合知識(shí)，考查了“隔板法”的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．41．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）有一道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從A點(diǎn)出發(fā)不經(jīng)過C、D點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)的最短路徑有24種．【分析】根據(jù)已知，要想避開C、D點(diǎn)，需分步考慮．得到每一步的方法種類，用分步計(jì)數(shù)原理乘起來即可得出答案．【解答】解：如圖，由已知可得，應(yīng)從A點(diǎn)，先到E點(diǎn)，再到F點(diǎn)，最后經(jīng)點(diǎn)G到B點(diǎn)即可．第一步：由A點(diǎn)到E點(diǎn)，最短路徑為4步，最短路徑方法種類為；第二步：由E點(diǎn)到F點(diǎn)，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為；第三步：由F點(diǎn)經(jīng)點(diǎn)G到B點(diǎn)，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為．根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，最短路徑有4×3×2＝24種．故答案為：24．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分步計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題．42．（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有16種．（用數(shù)字填寫答案）【分析】反面考慮，先求出所選的人中沒有女生的選法種數(shù)，再根據(jù)從6人中任選3人的選法種數(shù)減去沒有女生的選法種數(shù)，即可解出．【解答】解：沒有女生入選有種選法，從6名學(xué)生中任意選3人有種選法，故至少有1位女生入選，則不同的選法共有20﹣4＝16種．故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，屬于基礎(chǔ)題．43．（2022秋?靜安區(qū)期末）2022年11月27日上午7點(diǎn)，時(shí)隔兩年再度回歸的上海馬拉松賽在外灘金牛廣場(chǎng)鳴槍開跑，途徑黃浦、靜安和徐匯三區(qū)．?dāng)?shù)千名志愿者為1.8萬名跑者提供了良好的志愿服務(wù)．現(xiàn)將5名志愿者分配到防疫組、檢錄組、起點(diǎn)管理組、路線垃圾回收組4個(gè)組，每組至少分配1名志愿者，則不同的分配方法共有240種．（結(jié)果用數(shù)值表示）【分析】先將5人分為4組，再分配到不同的4個(gè)崗位，利用排列組合數(shù)公式求解即可．【解答】解：將5名志愿者分配到防疫組、檢錄組、起點(diǎn)管理組、路線垃圾回收組4個(gè)組，每組至少分配1名志愿者，則不同的分配方法共有＝240種．故答案為：240．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合的混合問題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想，屬于基礎(chǔ)題．44．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）某興趣小組有10名學(xué)生，若從10名學(xué)生中選取3人，則選取的3人中恰有1名女生的概率為，且女生人數(shù)超過1人，現(xiàn)在將10名學(xué)生排成一排，其中男生不相鄰，且男生的左右相對(duì)順序固定，則共有25200種不同的站隊(duì)方法．【分析】由已知得10名學(xué)生中，有女生6人，男生4人，再利用插空法求解即可．【解答】解：設(shè)10名學(xué)生中，有女生x人，男生（10﹣x）人，則10名學(xué)生中選取3人，恰有1名女生的概率P＝＝＝，整理得：x（10﹣x）（9﹣x）＝72，即x3﹣19x2+90x﹣72＝0，因式分解可得：（x﹣6）（x﹣1）（x﹣12）＝0，解得：x＝6＞1或x＝1（舍去）或x＝12（舍去），所以10名學(xué)生中，有女生6人，男生4人，將6名女生排成一排有A種方法，再將4名男生插到7個(gè)空中有AA種方法，因?yàn)槟猩淖笥蚁鄬?duì)順序固定，而4名男生排成一排有A種方法，所以一共有＝25200，答案為：25200．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了排列組合的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．八．二項(xiàng)式定理（共10小題）45．（2022秋?徐匯區(qū)校級(jí)期末）2100被9除所得的余數(shù)為（）A．1 B．3 C．5 D．7【分析】由題意可得：2100＝2（9﹣1）33，結(jié)合二項(xiàng)展開式分析求解【解答】解：由題意可得：2100＝2×299＝2×833＝2（9﹣1）33，可知2（9﹣1）33的展開式為，r＝0，1，…，99，當(dāng)r＝0，1，…，98時(shí)，均可被9整除；當(dāng)r＝99時(shí)，T100＝2（﹣1）99＝﹣2被9除所得的余數(shù)為7；綜上所述：2100被9除所得的余數(shù)為7．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．46．（2022秋?靜安區(qū)期末）在的二項(xiàng)展開式中，稱為二項(xiàng)展開式的第r+1項(xiàng)，其中r＝0，1，2，3，…，n．下列關(guān)于的命題中，不正確的一項(xiàng)是（）A．若n＝8，則二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是 B．已知x＞0，若n＝9，則二項(xiàng)展開式中第2項(xiàng)不大于第3項(xiàng)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是 C．若n＝10，則二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)是 D．若n＝27，則二項(xiàng)展開式中x的冪指數(shù)是負(fù)數(shù)的項(xiàng)一共有12項(xiàng)【分析】對(duì)于A，根據(jù)系數(shù)最大列不等式，解不等式即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)題列不等式，分0＜x≤1和x＞1兩種情況解不等式即可判斷；對(duì)于C，令10﹣＝0，解方程即可判斷；對(duì)于D，令27﹣＜0，解不等式即可判斷．【解答】解：對(duì)于A，令，解得，解提r＝2，故A正確；對(duì)于B，≤，整理得，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，不等式恒成立，當(dāng)x＞1時(shí)，解得1＜x≤（），∴0，故B正確；對(duì)于C，令10﹣＝0，解得r＝6，∴常數(shù)項(xiàng)為＝，故C正確；對(duì)于D，令27﹣＜0，解得r＞，∴r可取17，18，???，27，共11項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理、二項(xiàng)式展開式系數(shù)、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．47．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知（1+x）n的二項(xiàng)展開式中，第5項(xiàng)與第11項(xiàng)的系數(shù)相等，則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為（）A．216 B．215 C．214 D．213【分析】由由題意求出展開式的第5項(xiàng)，第11項(xiàng)的系數(shù)，然后建立方程求出n的值，然后再令x＝1即可求解．【解答】解：由題意展開式的第5項(xiàng)，第11項(xiàng)的系數(shù)分別為C，則C，所以n+4+10＝14，則二項(xiàng)式為（1+x）14，令x＝1，則展開式的所有項(xiàng)的系數(shù)之和為214，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．48．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）已知，則|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|＝（）A．128 B．2187 C．78125 D．823543【分析】由題意可得|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|為二項(xiàng)式（5x+2）7的展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和，然后令x＝1即可求解．【解答】解：由題意可得|a0|+|a1|+|a2|+?+|a7|為二項(xiàng)式（5x+2）7的展開式的所有項(xiàng)系數(shù)之和，則令x＝1，|a0|+|a1|+...+|a7|＝（5+2）7＝823543，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．49．（2023?嘉定區(qū)模擬）已知a＞0，（1+a）12的二項(xiàng)展開式中的第9項(xiàng)是7920，則實(shí)數(shù)a為．【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理確定開式中的第9項(xiàng)是，再由a＞0，即可求得實(shí)數(shù)a的值．【解答】解：（1+a）12展開式中的第9項(xiàng)是，解得，又a＞0，所以．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．50．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）的展開式的常數(shù)項(xiàng)是﹣20（用數(shù)字作答）．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)式定理，即可求解．【解答】解：＝（x﹣x﹣1）6展開式中的通項(xiàng)公式為Tr+1＝＝，令6﹣2r＝0，解得r＝3，故的展開式的常數(shù)項(xiàng)是．故答案為：﹣20．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．51．（2022秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）若，則a1+a3+a5＝122．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合賦值法，即可求解．【解答】解：，令，令x＝﹣1?a0﹣a1﹣a2﹣a3﹣a4x﹣a5＝﹣1，則．故答案為：122．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，屬于基礎(chǔ)題．52．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）已知的展開式中第5項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為1024，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為405．【分析】由已知結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)先求出n，然后利用賦值法求出a，再結(jié)合通項(xiàng)即可求解．【解答】解：由題意得，故n＝10，令x＝1可得（a﹣1）n＝1024，所以a＝3，所以展開式的通項(xiàng)為Tr+1＝（3x2）10﹣r（﹣）r＝（﹣1）r?310﹣rx，令20﹣＝0，則r＝8，故展開式的通項(xiàng)為405．故答案為：405，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．53．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）450除以17的余數(shù)為16．【分析】因?yàn)?50＝1625＝（17﹣1）25，然后根據(jù)二項(xiàng)式定理展開，根據(jù)整除的性質(zhì)以及余數(shù)的求解即可求解．【解答】解：因?yàn)?50＝1625＝（17﹣1）25＝C+C+...+C，則展開式的前25項(xiàng)都可以被17整除，所以450除以17的余數(shù)為﹣1+17＝16，故答案為：16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到整除的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．54．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）在的二項(xiàng)展開式中，系數(shù)最大的項(xiàng)為70．【分析】求出展開式的通項(xiàng)公式，然后根據(jù)通項(xiàng)公式可知展開式系數(shù)的絕對(duì)值與二項(xiàng)式系數(shù)相等，根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為T＝C，r＝0，1，...，8，則展開式系數(shù)的絕對(duì)值與二項(xiàng)式系數(shù)相等，因?yàn)閞＝8，則第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即為T5＝C＝70，所以系數(shù)最大項(xiàng)為T5＝70，故答案為：70．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，涉及到二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2023春·上海閔行·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則被10除所得的余數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意得到，再利用二項(xiàng)式定理展開即可得到答案.【詳解】，又因?yàn)椋忠驗(yàn)槎际?0的倍數(shù)，所以被除所得的余數(shù)為.故選：B2．（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）以下5個(gè)命題，其中正確的是（

）①?gòu)?，2，3，，9九個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)，組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)為；②4封信投入3個(gè)信箱，有種投法；③從a，b，c，d四名學(xué)生中選兩名去完成同一份工作，有種選法；④5個(gè)人相互通一次，通的總次數(shù)為次；⑤5個(gè)人相互寫一封信，所有信的數(shù)量封．A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)各命題有無順序，選擇是排列還是組合問題，逐一判斷.【詳解】①3個(gè)不同的數(shù)，組成三位數(shù)是排列問題，有順序，組成三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故①錯(cuò)誤；②4封信投入3個(gè)信箱，每封信有3種選擇，共有種投法，故②正確；③從a，b，c，d四名學(xué)生中選兩名去完成同一份工作，因?yàn)槭峭环莨ぷ?，沒有順序，有種選法正確，故③正確；④5個(gè)人相互通一次，兩人通一次就是互通，沒有順序，通的總次數(shù)為次正確，故④正確；⑤5個(gè)人相互寫一封信，兩人相互寫信指各寫一封信，所有信的數(shù)量封，故⑤錯(cuò)誤；綜上②③④正確，有3個(gè)正確.故選：B.3．（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？奸_學(xué)考試）在1、2、3、4、5的所有排列、、、、中，滿足條件，，，的排列個(gè)數(shù)是（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】D【分析】結(jié)合枚舉法得出排列個(gè)數(shù).【詳解】由題意，只能在中出現(xiàn)，不能出現(xiàn)在中，因此若取值4或5，則排列個(gè)數(shù)為，若取值為3或5，則4只能出現(xiàn)在5的的一側(cè)，即排列有：13254，23154，45231，45132共4個(gè)，綜上，所有排列個(gè)數(shù)為12+4=16.故選：D．4．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）若，則（

）A．244 B．243C．242 D．241【答案】C【分析】對(duì)偶法，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的特征，各系數(shù)絕對(duì)值之和，將二項(xiàng)式中的改成，然后令即可解出結(jié)果.【詳解】顯然，，令得，故.故選：C.二、填空題5．（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）圓上有10個(gè)不同的點(diǎn)，以其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可以組成______個(gè)不同的三角形．【答案】120【分析】根據(jù)圓周上任意三點(diǎn)不會(huì)共線，任選三點(diǎn)用組合數(shù)公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)在圓周上，所以三點(diǎn)是不會(huì)共線的，所以從十個(gè)點(diǎn)中任選三個(gè)點(diǎn)即可構(gòu)成三角形，所以可以組成不同的三角形的個(gè)數(shù)為.故答案為：120.6．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）在的展開式中，含有項(xiàng)的系數(shù)為__________.【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理即可求解.【詳解】由的展開式的通項(xiàng)公式為，令，解得，所以展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.7．（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）滿足等式的正整數(shù)n的值為______．【答案】4【分析】根據(jù)排列數(shù)公式展開，并計(jì)算，即可得答案.【詳解】因?yàn)?，所以，即，則，故答案為：48．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）二項(xiàng)式的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為___．【答案】【分析】先寫出二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)，然后令的次數(shù)為求出，進(jìn)而可得系數(shù).【詳解】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以含的項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：.9．（2023春·上海浦東新·高二上海市川沙中學(xué)?？奸_學(xué)考試）有7人站一排，甲既不站在排頭、也不站在排尾，有________種不同站法．【答案】3600【分析】先安排甲站中間5個(gè)位置，再安排其他人即可.【詳解】有7人站一排，甲既不站在排頭、也不站在排尾，有.故答案為：10．（2023春·上海浦東新·高二上海市川沙中學(xué)?？奸_學(xué)考試）若的二項(xiàng)展開式中的系數(shù)為，則________（用數(shù)字作答）【答案】2；【分析】利用二項(xiàng)式定理求得的通項(xiàng)，再表示的系數(shù)即可求得.【詳解】解：設(shè)的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令得，則的系數(shù)為，解得故答案為：211．（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級(jí)中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知三位數(shù)abc滿足：以a，b，c為三條邊的長(zhǎng)可以構(gòu)成一個(gè)等腰（含等邊）三角形，則有______個(gè)滿足條件的三位數(shù)．【答案】165【分析】利用排列組合的方法，分等邊三角形和等腰（非等邊）三角形兩類情況分類討論求解.【詳解】若構(gòu)成等邊三角形，則這樣的三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)；若構(gòu)成等腰（非等邊）三角形，設(shè)這樣的三角形有個(gè)，由于三位數(shù)中只有兩個(gè)不同數(shù)碼，設(shè)為注意到三角形腰與底可以置換，所以可取的數(shù)碼組有,但是當(dāng)大數(shù)為底時(shí)，設(shè)，必須滿足.此時(shí)，不能構(gòu)成三角形的數(shù)碼是：9876543214,3,2,14,3,2,13,2,13,2,12,12,111共20種情況，同時(shí)，每個(gè)數(shù)碼組中的二個(gè)數(shù)碼填上三位數(shù)，有種情況，故,綜上，故答案為:165.12．（2023春·上海寶山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在的二項(xiàng)展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是______（結(jié)果用數(shù)值表示）．【答案】80【分析】由二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，直接求得答案.【詳解】由題意可得的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為：，，當(dāng)時(shí)，展開式中含有，故的系數(shù)為，故答案為：80.13．（2023春·上海楊浦·高三復(fù)旦附中?？奸_學(xué)考試）的二項(xiàng)式展開中，系數(shù)最大的項(xiàng)為______．【答案】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式中系數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意知：的二項(xiàng)式展開中，各項(xiàng)的系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)相等，因?yàn)檎归_式的通項(xiàng)為，所以時(shí)，系數(shù)最大，該項(xiàng)為，故答案為：.14．（2023春·上海普陀·高三曹楊二中?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式展開中的系數(shù)為___________.【答案】【分析】利用二項(xiàng)式定理，寫出展開式的通項(xiàng)即可求解.【詳解】二項(xiàng)式的展開式為，令，解得，所以展開中的系數(shù)為，故答案為：15．（2023春·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）如圖為正六棱柱，若從該正六棱柱的6個(gè)側(cè)面的12條面對(duì)角線中，隨機(jī)選取兩條，則它們共面的概率是_________．【答案】【分析】共面分為平行和相交，平行時(shí)，只需要考慮對(duì)面平行中的直線即可，相交時(shí)分為：在側(cè)面內(nèi)相交，兩個(gè)相鄰面相交于一個(gè)點(diǎn)，相隔一個(gè)面中相交于對(duì)角線延長(zhǎng)線上，分別分析幾種情況下對(duì)角線共面的個(gè)數(shù)，再利用古典概型的概率計(jì)算公式，計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】解：由題意知，若兩個(gè)對(duì)角線在同一個(gè)側(cè)面，因?yàn)橛?個(gè)側(cè)面，所以共有6組；若相交且交點(diǎn)在正六棱柱的頂點(diǎn)上，因?yàn)橛?2個(gè)頂點(diǎn)，所以共有12組，若相交且交點(diǎn)在對(duì)角線延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖所示，連接，先考慮下底面，根據(jù)正六邊形性質(zhì)可知，所以，且，故共面，且共面，故相交，且相交，故共面有2組，則正六邊形對(duì)角線所對(duì)應(yīng)的有2組共面的面對(duì)角線，同理可知正六邊形對(duì)角線所對(duì)的分別有兩組，共6組，故對(duì)于上底面對(duì)角線，，同樣各對(duì)兩組，共6組，若對(duì)面平行，一組對(duì)面中有2組對(duì)角線平行，三組對(duì)面共有6組，所以共面的概率是．故答案為：16．（2023春·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）上海電視臺(tái)五星體育頻道有一檔四人撲克牌競(jìng)技節(jié)目“上海三打一”，在打法中有—種“三帶二”的牌型，即點(diǎn)數(shù)相同的三張牌外加一對(duì)牌，（三張牌的點(diǎn)數(shù)必須和對(duì)牌的點(diǎn)數(shù)不同）．在一副不含大小王的張撲克牌中不放回的抽取五次，已知前三次抽到兩張，一張，則接下來兩次抽取能抽到“三帶二”的牌型（AAAKK或KKKAA）的概率為__________．【答案】【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再求出滿足條件的事件數(shù)，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意在一副不含大小王的張撲克牌中不放回的抽取三次，抽到兩