第四章數(shù)列章末重點題型大總結(jié)（精講）

第四章數(shù)列章末總結(jié)（精講）目錄第一部分：知識框架第二部分：典型例題剖析重點題型一：等差與等比數(shù)列的基本運算重點題型二：等差、等比數(shù)列的判定重點題型三：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用重點題型四：數(shù)列求通項、求和第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法函數(shù)方程分類討論思想第一部分：知第一部分：知識框架第二部分：第二部分：典型例題剖析重點題型一：等差與等比數(shù)列的基本運算典型例題例題1．（2022·全國·高二期中）在等差數(shù)列中，(1)若，，試判斷91是否為此數(shù)列中的項；(2)若，，求.【答案】(1)是；(2)3.(1)設(shè){an}的公差為d，因為解得所以an＝7＋2(n－1)＝2n＋5.令2n＋5＝91，得n＝43.因為43為正整數(shù)，所以91是此數(shù)列中的項；(2)設(shè){an}的公差為d，則解得∴an＝12＋(n－1)×(－1)＝13－n，所以a10＝13－10＝3.例題2．（2022·湖北·武漢情智學(xué)校高二階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，(1)已知，，求和公差d；(2)已知，，求；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)，；(2)(3)28(4)17.(1)，，；(2)，，；(3)，，；(4)，，上兩式聯(lián)立：，，；故答案為：，，12，28，17.例題3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)等比數(shù)列的前項和為．(1)若公比，，，求；(2)若，求公比．【答案】(1)6(2)1或（1）依題意，由于，所以兩式相除得，.（2）依題意，即，，解得或.同類題型歸類練1．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，(1)已知，公差，求；(2)已知公差，，求；(3)已知，公差，，求n．【答案】(1)27(2)10(3)13(1)；(2)；(3)，，；故答案為：27,，10，13.2．（2022·湖北·武漢情智學(xué)校高二階段練習(xí)）在等比數(shù)列{an}中，(1)已知a1＝1，公比q＝－2，求前8項和S8；(2)已知a1＝－，a4＝96，求前4項和S4；(3)已知公比q＝，前5項和S5＝，求a1，a5.【答案】(1)－85(2)(3)(1)S8＝；(2)由a4＝a1q3，即96＝·q3，得q＝－4，所以S4＝；(3)由S5＝，得a1＝2，所以a5＝a1q4＝；故答案為：85，，.3．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）在等比數(shù)列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求．【答案】(1)；(2)或．(1)設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，故，，(2)設(shè)等比數(shù)列公比為q，則，故或，∴或．重點題型二：等差、等比數(shù)列的判定典型例題例題1．（江西省五市九校協(xié)作體2022屆高三第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知數(shù)列的前項和為且滿足，，則______．【答案】【詳解】因為，所以，即，，所以數(shù)列是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，即，故答案為：.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列的前項和滿足：.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列并求出通項公式；【答案】(1)證明見解析，，①當，當，②①－②：，即：又對都成立，所以是等比數(shù)列，；同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列{an}滿足an＋1＝,(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；【答案】(1)證明見解析證明：因為an≠0，∵an＋1＝，∴＝，∴－＝，又a1＝，則＝2，∴數(shù)列是以2為首項，為公差的等差數(shù)列.2．（2022·山東濟南·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項公式；【答案】(1)由得：，又因為，則，且，所以是首項為1公差為1的等差數(shù)列，所以.3．（2022·四川省高縣中學(xué)校高一階段練習(xí)（文））設(shè)數(shù)列的前項的和為，點在函數(shù)的圖象上，數(shù)列滿足：，，其中．(1)求數(shù)列和的通項公式；【答案】(1)，(1)由已知條件得，當時，，當時，，又滿足上式，所以；因為，，即，，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以；4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列．【答案】(1)證明見解析（1）當時，，．當時，，兩式相減得，即，，則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．重點題型三：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用典型例題例題1．（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列中，，則該數(shù)列前項的和=（

）A．96 B．48 C．36 D．24【答案】B【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，所以有，因此，故選：B例題2．（2022·河南·高三開學(xué)考試（文））已知等差數(shù)列的前項和為，且，則滿足的正整數(shù)的最大值為（

）A．11 B．12 C．21 D．22【答案】C【詳解】因為，所以所以故，所以滿足的正整數(shù)的最大值為21．故選：C．例題3．（2022·四川省南充市第一中學(xué)高一期中）設(shè)等差數(shù)列的前項和為且則（

）A．2330 B．2130 C．2530 D．2730【答案】D【詳解】等差數(shù)列的前項和為，則構(gòu)成等差數(shù)列，即，構(gòu)成等差數(shù)列，則，則故選：D例題4．（2022·遼寧·沈陽市第五十六中學(xué)高二階段練習(xí)）若等差數(shù)列和的前項的和分別是和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為和是等差數(shù)列,故故選:C例題5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等差數(shù)列與等差數(shù)列的前項和分別為和，且，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差分別為和,即,即①,即②由①②解得故選：C例題6．（2022·海南·瓊海市嘉積第二中學(xué)高二期中）已知數(shù)列是等比數(shù)列，滿足，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，所以，，因此，.故選：B.例題7．（2022·山東·青島二中高三期末）設(shè)為等比數(shù)列的前項和.若，，則________.【答案】【詳解】為等比數(shù)列的前項和，成等比數(shù)列，又，，，則，，則.故答案為：.同類題型歸類練1．（2022·重慶·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，則（

）A．9 B．12 C．15 D．16【答案】A【詳解】解：在等差數(shù)列中，所以，所以；故選：A2．（2022·四川省巴中中學(xué)模擬預(yù)測（文））設(shè)等差數(shù)列的前項的和為，若，則（

）A．17 B．34 C．51 D．102【答案】B【詳解】設(shè)公差為，則由得，即，故.故選：B3．（2022·四川省廣漢中學(xué)高二開學(xué)考試（理））在等比數(shù)列中，，，則等于（

）A．81 B． C．3 D．243【答案】A【詳解】∵數(shù)列為等比數(shù)列，則∴故選：A.4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，則等于（

）A． B．1011C． D．1012【答案】C【詳解】因為等比數(shù)列中的，是方程的兩個根，所以，根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)知，，因為，于是，則==.故A，B，D錯誤.故選：C.5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知各項為正的等比數(shù)列的前5項和為3，前15項和為39，則該數(shù)列的前10項和為（

）A． B． C．12 D．15【答案】C【詳解】解：由等比數(shù)列的性質(zhì)可得也為等比數(shù)列，又，故可得即，解得或，因為等比數(shù)列各項為正，所以，故選：C6．（多選）（2022·遼寧葫蘆島·高二階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】AD【詳解】因為，，所以，，故等差數(shù)列首項為負，公差為正，所以，，故A正確，B錯誤；由，可知，所以，故C錯誤；因為，所以，故D正確．故選：AD7．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，，則______．【答案】32【詳解】由等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)，可得，，，成等差數(shù)列，∴，解得，∴2，6，10，成等差數(shù)列，可得，解得.故答案為：32.8．（2022·遼寧·高二期末）等差數(shù)列中，，前項和為，若，則______.【答案】【詳解】設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，因為，故，故為常數(shù)，所以為等差數(shù)列，設(shè)公差為，，，，，則故答案為：9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別是等差數(shù)列，的前n項和，且，則______．【答案】【詳解】因為為等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：10．（2022·陜西·西安高新第三中學(xué)高一期中）已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為和，且，則______．【答案】##【詳解】故答案為：重點題型四：數(shù)列求通項、求和典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則數(shù)列的前2022項和為（

）A．2023 B．2022 C．2021 D．2020【答案】B【詳解】由于函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，所以，所以，所以因此數(shù)列的前2022項和為．故選：B.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是數(shù)列的前項和，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)記，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)（1）變形為，因為，所以，故；（2）當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，，則例題3．（2022·遼寧鞍山·一模）已知等差數(shù)列滿足首項為的值，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)（1）根據(jù)題意得，，因為數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，則由，得，解得，所以.（2）由（1）可得，所以.例題4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，．(1)求及；(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解得，所以，．（2）由（1）得：，，則，所以..例題5．（2022·安徽·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列滿足且，且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析（1）解：因為，所以，兩式相減得，當時，，又，所以，所以，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以；（2）證明：，所以，由，得，所以，綜上，.例題6．（2022·河北·石家莊二中高二期末）已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求的前項和：(3)若數(shù)列滿足，求的前項和的最大值?最小值.【答案】(1)(2)(3)最大值為，最小值為(1)因為，所以，所以，又，且為遞增數(shù)列，則可解得，所以公差為2，所以.(2)因為，所以①，②，①②得，；(3)，記的前項和為，則，當為奇數(shù)時隨著的增大而減小，可得，當為偶數(shù)時隨著的增大而增大，可得，所以的最大值為，最小值為.例題7．（2022·江西·南城縣第二中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知數(shù)列的前項和為，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，，求數(shù)列的前項和【答案】(1)(2)(1)當時，，解得：；當時，，即，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，.(2)由（1）得：，，.例題8．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）已知數(shù)列前項和為，且.(1)求；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)（1）解：，，，，數(shù)列為等差數(shù)列，且，又時，，，；（2），，，，兩式相減得，，，，.例題9．（2022·四川瀘州·高一期末）已知數(shù)列滿足，等差數(shù)列的前3項和為.(1)求數(shù)列與的通項公式；(2)記數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)，；(2).（1）因為，所以是首項為公比的等比數(shù)列，所以，設(shè)等差數(shù)列的公差為，，所以，因為，所以，解得，所以；（2）由（1）知，所以，①，②①②得，.所以.例題10．（2022·湖南·麻陽苗族自治縣第一中學(xué)高三開學(xué)考試）已知是數(shù)列的前n項和，(1)求的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前10項和，其中表示不超過的最大整數(shù)，如，．【答案】(1)(2)（1）∵；∵，∴兩式相減可得，又，∴.（2）由（1）知：，所以當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時，所以數(shù)列的前10項和為．同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，，．則數(shù)列的前n項和______．【答案】【詳解】由題設(shè)，，所以，即且n≥2，當時，，當時，，所以，故答案為：.2．（2022·山東濰坊·高二階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列的前n項和為，且滿足．(1)求；(2)設(shè)求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)(1)當時，，當時，因為，所以，得，所以數(shù)列為首項為3，公比為3的等比數(shù)列，得；(2)，當n為偶數(shù)時，，當n為奇數(shù)時，，所以3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和滿足.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（1）證明：當時，∴當時，，∴∴數(shù)列是以2為公比，首項的等比數(shù)列（2）由（1）知，，代入得∴由，，，所以∴綜上所述4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，，，成等差數(shù)列，且滿足，等差數(shù)列數(shù)列的前n項和，，

(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前2n項和.(3)設(shè)，，的前n項和，求證：.【答案】(1)(2)(3)證明見解析為q，則有解得或（由于是正數(shù)列，舍），由，，；對于由等差中項可知，設(shè)公差為d，，，；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，則有：=

設(shè)…①，…②，②得：，K

，；（3），；綜上，，，的前2n項和=

.5．（2022·安徽·馬鞍山二中模擬預(yù)測（理））在①，，成等比數(shù)列，②，③中選出兩個作為已知條件，補充在下面問題中，并作答．設(shè)為各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前n項和，已知___．(1)求的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．【答案】(1)條件選擇見解析，；(2).（1）若選①②作為條件，設(shè)|的公差為d，由成等比數(shù)列可知，所以，整理得．

由得，整理得，

當時，不合題意，

所以，則，解得，故．

若選①③作為條件．設(shè)的公差為d，由成等比數(shù)列可知，所以整理得．

由得，整理得，所以，解得或，當時，，不合題意，所以，則，故；若選②③作為條件．設(shè)的公差為d，由得，整理得，

由得，整理得，由兩式聯(lián)立得，故；（2）由（1）得，所以，故數(shù)列的前n項和．6．（2022·山西大附中高三階段練習(xí)）在數(shù)列中，，，，其中.(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并寫出證明過程；(2)設(shè)，且，數(shù)列的前項和為，求；【答案】(1)證明見解析(2)（1）解：因為，，，所以，又，所以數(shù)列是以為公差，為首項的等差數(shù)列；（2）解：由（1）可得，所以，所以①，②，所以①②得，所以.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從條件①，②，③，中任選一個，補充到下面問題中，并給出解答.已知數(shù)列的前項和為，___________.(1)求的通項公式；(2)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，是否存在正整數(shù)使得.【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析（1）若選擇①，因為，所以，兩式相減得，整理得,即，所以為常數(shù)列，而，所以；若選擇②，因為，所以，兩式相減，得，因為，所以是等差數(shù)列，所以；若選擇③，由變形得，，所以，由題意知，所以，所以為等差數(shù)列，又，所以，又時，也滿足上式，所以；（2）若選擇①或②，，所以所以，兩式相減得，則，故要使得，即，整理得，，當時，，所以不存在，使得.若選擇③，依題意，，所以，故，兩式相減得：，則，令，則，即，令，則，當時，，又，故，綜上，使得成立的最小正整數(shù)的值為5.8．（2022·湖北·高三期末）已知等比數(shù)列的公比為q，前n項和為，，，．(1)求；(2)記數(shù)列中不超過正整數(shù)m的項的個數(shù)為，求數(shù)列的前100項和．【答案】(1)(2)(1)由得，則，因為，則，，又，，則，所以.(2)（2）由題設(shè)及（1）得，且當時，，即，，所以．第三部分：數(shù)第三部分：數(shù)學(xué)思想與方法函數(shù)方程典型例題例題1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列中的最大項．【答案】【詳解】解法一：（作差比較法）：，當時，，即；當時，，即；當時，，即．所以，，所以數(shù)列中的最大項為或，且；解法二（作商比較法）：，令，解得；令，解得；令，解得．又，故，，所以數(shù)列中的最大項為或，且．例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記關(guān)于的不等式的整數(shù)解的個數(shù)為，數(shù)列的前項和為，滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，若對任意，都有成立，試求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)（1）由不等式可得：，，，當時，，當時，，因為適合上式，；（2）由（1）可得：，，，，當為奇數(shù)時，，由于隨著的增大而增大，當時，的最小值為，，當為偶數(shù)時，，由于隨著的增大而減小，當時，的最大值為，，綜上可知：．同類題型歸類練1．（2022·四川宜賓·高一期末）已知數(shù)列的前項和，其中．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，若存在且，使得成立，求實數(shù)的最小值．【答案】(1)；(2)3.(1)依題意，當時，，而滿足上式，所以數(shù)列的通項公式是.(2)由（1）知，，，則有，兩式相減得：，于是得，且，，令，，則，即，當時，數(shù)列是遞增數(shù)列，即，因此，，所以實數(shù)的最小值是3.2．（2022·