2025屆高考數(shù)學二輪考前復習第一篇解透必考小題穩(wěn)拿分必須突破的17個熱點專題專題15橢圓學案文含解析

PAGE專題15橢圓1.橢圓中的焦點三角形焦點三角形為以橢圓兩焦點與橢圓上一點為頂點的三角形,通?？疾槊娣e問題、離心率問題.涉及焦點三角形問題,通常用正余弦定理解答.2.橢圓中的通徑為過焦點的垂線段,長度為QUOTE.3.橢圓的對稱性橢圓是軸對稱圖形也是中心對稱圖形,過原點的直線y=kx與橢圓的交點坐標通常設為QUOTE與QUOTE.1.應留意橢圓的定義中的常數(shù)大于|F1F22.求橢圓方程的方法(1)定義法.(2)待定系數(shù)法.當橢圓的焦點位置不明確而且無法確定其標準方程時,設方程為QUOTE+QUOTE=1QUOTE可以避開探討和煩瑣的計算,也可以設為Ax2+By2=1QUOTE,這種形式在解題中更簡潔.3.求橢圓離心率的常用方法(1)公式法:求得a,c的值,代入公式e=QUOTE,進行求解;(2)解齊次方程法:列出關于a,b,c的齊次方程,然后依據(jù)b2=a2-c2,消去b,轉(zhuǎn)化成關于e的方程求解.1.簡潔忽視推斷兩種標準方程的形式,其方法為比較標準形式中x2與y2的分母大小.【案例】T3.QUOTE+x2=1QUOTE中,y2的分母比較大,故焦點在y軸上,作圖時須要留意.2.簡潔忽視橢圓上的點PQUOTE中x的范圍為QUOTE≤a.【案例】T6,設橢圓上點MQUOTE時,應留意x的范圍為0<x<2.3.橢圓方程未知時,簡潔忽視a2>b2>0的條件.【案例】T7.橢圓QUOTE+QUOTE=1,則m>0且m≠3.考向一求橢圓的方程【典例】(2024·全國Ⅰ卷)已知橢圓C的焦點為F1(-1,0),F2(1,0),過F2的直線與C交于A,B兩點.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,則C的方程為 ()A.QUOTE+y2=1 B.QUOTE+QUOTE=1C.QUOTE+QUOTE=1 D.QUOTE+QUOTE=1考向二橢圓與拋物線的綜合問題【典例】(2024·全國Ⅱ卷)若拋物線y2=2px(p>0)的焦點①是橢圓QUOTE+QUOTE=1的一個焦點②,則p=()A.2 B.3 C.4 D.8①依據(jù)拋物線定義求出拋物線焦點②求出橢圓的一個焦點,與①的結(jié)論聯(lián)立,可求出p1.方程QUOTE+QUOTE=1(a>b>0,k>0且k≠1)與方程QUOTE+QUOTE=1QUOTE表示的橢圓,它們 ()A.有相同的離心率 B.有共同的焦點C.有等長的短軸、長軸 D.有相同的頂點2.已知橢圓QUOTE+QUOTE=1的焦點為F,短軸端點為P,若直線PF與圓O:x2+y2=R2(R>0)相切,則圓O的半徑為 ()A.QUOTE B.1 C.QUOTE D.23.已知橢圓QUOTE+x2=1QUOTE的離心率e=QUOTE,P為橢圓上的一個動點,若定點BQUOTE,則QUOTE的最大值為 ()A.QUOTE B.2 C.QUOTE D.34.已知橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>0,b>0)的離心率為QUOTE,直線y=kx與該橢圓交于A,B兩點,分別過A,B向x軸作垂線,若垂足恰為橢圓的兩個焦點,則k等于 ()A.±QUOTE B.±QUOTEC.±QUOTE D.±25.已知F1,F2分別為橢圓QUOTE+QUOTE=1的左、右焦點,M是橢圓上的一點,且在y軸的左側(cè),過點F2作∠F1MF2的平分線的垂線,垂足為N,若QUOTE=2(O為坐標原點),則QUOTE-QUOTE等于 ()A.4 B.2 C.QUOTE D.QUOTE6.已知M為橢圓QUOTE+QUOTE=1上一點,N為橢圓長軸上一點,O為坐標原點,有下列結(jié)論:①存在點M,N,使得△OMN為等邊三角形;②不存在點M,N,使得△OMN為等邊三角形;③存在點M,N,使得∠OMN=90°;④不存在點M,N,使得∠OMN=90°.其中,全部正確結(jié)論的序號是 ()A.①④ B.①③ C.②④ D.②③7.若直線y=x+2與橢圓QUOTE+QUOTE=1有兩個公共點,則m的取值范圍是 ()A.m>1 B.m>1且m≠3C.m>3 D.m>0且m≠38.已知點P是橢圓QUOTE+QUOTE=1上一點,F是橢圓的一個焦點,PF的中點為Q,O為坐標原點,若QUOTE=1,則QUOTE= ()A.3 B.4 C.5 D.69.已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1QUOTE的左焦點為F,過原點的直線l與橢圓C交于A,B不同的兩點,且AF⊥BF,延長AF,交橢圓C于點D,若QUOTE=2QUOTE,則橢圓C的離心率是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE10.已知橢圓C:QUOTE+QUOTE=1QUOTE的左、右焦點分別為F1,F2,F2也是拋物線E:y2=2pxQUOTE的焦點,點A為橢圓C與拋物線E的一個交點,且直線AF1的傾斜角為45°,則橢圓C的離心率為 ()A.QUOTE B.QUOTE-1 C.3-QUOTE D.QUOTE+1專題15橢圓///真題再研析·提升審題力///考向一B如圖,由已知可設QUOTE=n,則QUOTE=2n,QUOTE=QUOTE=3n,由橢圓的定義有2a=QUOTE+QUOTE=4n,所以QUOTE=2a-QUOTE=2n.在△AF1B中,由余弦定理推論得cos∠F1AB=QUOTE=QUOTE.在△AF1F2中,由余弦定理得4n2+4n2-2·2n·2n·QUOTE=4,解得n=QUOTE.所以2a=4n=2QUOTE,所以a=QUOTE,所以b2=a2-c2=3-1=2,所以所求橢圓方程為QUOTE+QUOTE=1.考向二D因為橢圓的焦點為(±QUOTE,0),拋物線的焦點為QUOTE,由已知可得QUOTE=QUOTE,解得p=8.///高考演兵場·檢驗考試力///1.A對于橢圓QUOTE+QUOTE=1(a>b>0,k>0且k≠1),設a′=QUOTE=QUOTEa,b′=QUOTE=QUOTEb,c′=QUOTE=QUOTE,則橢圓QUOTE+QUOTE=1的離心率為e′=QUOTE=QUOTE=QUOTE,焦點坐標為QUOTE,短軸長為2QUOTEb,長軸長為2QUOTEa,頂點坐標為QUOTE和QUOTE;對于橢圓QUOTE+QUOTE=1QUOTE,離心率為e=QUOTE=QUOTE,焦點坐標為QUOTE,短軸長為2b,長軸長為2a,頂點坐標為QUOTE和QUOTE.因此,兩橢圓有相同的離心率.2.B因為橢圓QUOTE+QUOTE=1,不妨設F(QUOTE,0),P(0,QUOTE),所以PF的方程為x+y-QUOTE=0,因為直線PF與圓O:x2+y2=R2(R>0)相切,所以圓心到直線的距離等于圓的半徑,即R=d=QUOTE=1.3.C由題意可得:QUOTE=QUOTE,據(jù)此可得:a2=5,橢圓方程為QUOTE+x2=1,設PQUOTE,則y2=5QUOTE,故QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,當x=QUOTE時,QUOTE=QUOTE.4.A聯(lián)立QUOTE?(b2+a2k2)x2=a2b2,則x=±QUOTE,由題意知QUOTE=c①,因為e=QUOTE=QUOTE,所以a=2c,b=QUOTE=QUOTEc,代入①可得QUOTE=c2?k=±QUOTE.5.A延長F2N交MF1的延長線于點P,作圖如下:因為MN為∠F1MF2的平分線,且F2N⊥MN,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE-QUOTE=QUOTE,因為O,N分別為F1F2,F2所以ON為△PF1F2所以QUOTE=QUOTE=2,所以QUOTE-QUOTE=QUOTE=2QUOTE=4.6.A過原點且傾斜角為60°的直線肯定與橢圓有交點,假設y軸右側(cè)的交點是M,在長軸上取ON=OM(ON在y軸右側(cè)),則△OMN就是等邊三角形,故①正確,②錯誤;若點M和點N在y軸兩側(cè),則∠OMN肯定是銳角,若點M和點N在y軸同側(cè),不妨設為在y軸右側(cè),設點MQUOTE,則y2=3-QUOTEx2,且0<x<2,由橢圓性質(zhì)可知,當點N是長軸端點時,∠OMN最大,因為QUOTE=x2+y2,QUOTE=(x-2)2+y2,QUOTE=4,所以QUOTE+QUOTE=x2+y2+(x-2)2+y2=2x2+2y2-4x+4=QUOTE(x-4)2+2∈QUOTE,所以QUOTE+QUOTE>QUOTE,即∠OMN<90°,故③錯誤,④正確.7.B橢圓QUOTE+QUOTE=1,則m>0且m≠3,而直線y=x+2與橢圓QUOTE+QUOTE=1有兩個公共點,聯(lián)立QUOTE化簡可得QUOTEx2+4mx+m=0,所以Δ=QUOTE-4mQUOTE=12mQUOTE>0,可得m>1或m<0,又因為m>0且m≠3,所以m>1且m≠3.8.D設左焦點為F,右焦點為E,因為PF的中點為Q,EF的中點為O,所以QUOTE=2QUOTE=2,又QUOTE+QUOTE=8,所以QUOTE=6.9.C設橢圓C的右焦點為F′,連接AF′,BF′,如圖所示,設QUOTE=2m,則QUOTE=m,QUOTE=2a-2mQUOTE=2a-m.由題意可知四邊形AFBF′是矩形,則QUOTE解得QUOTE故橢圓C的離心率是QUOTE=QUOTE