勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系

PAGE2PAGE1教學(xué)設(shè)計(jì)（首課）課題§2.3勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系學(xué)科物理班級(jí)授課教師教材分析高中物理引入極限思想的出發(fā)點(diǎn)就在于它是一種常用的科學(xué)思維方法，上一章教科書用極限思想介紹了瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度。本節(jié)從勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移與v-t圖象中矩形面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā)，猜想對(duì)于勻變速直線運(yùn)動(dòng)是否也有類似的關(guān)系，并通過(guò)思考與討論，從而介紹v-t圖線下面四邊形的面積代表勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移，又一次應(yīng)用了極限思想。最后得到勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系。學(xué)情分析本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)極限思想。高中學(xué)生按教科書的方式來(lái)接受極限思想不是很困難，困難是極限思想的運(yùn)算和嚴(yán)格的證明，但此處不要求學(xué)生會(huì)計(jì)算極限。教科書的宗旨僅僅是“滲透”這樣的思想。由于學(xué)生知識(shí)水平不是很好，所以在講解時(shí)一定要詳細(xì)，若僅限用公式，就沒(méi)有多大意義了，要關(guān)注得出公式的過(guò)程，幫助學(xué)生理解這個(gè)物理過(guò)程，從而掌握公式并運(yùn)用其解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能1.知道勻速直線運(yùn)動(dòng)的位移與v-t圖象中矩形面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系。2.理解勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與v-t圖象中四邊形面積的對(duì)應(yīng)關(guān)系。3.理解勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系及應(yīng)用。4.了解位移公式的推到方法，掌握位移公式x＝vot+at2/2，了解利用極限思想解決物理問(wèn)題的科學(xué)思維方法。過(guò)程與方法1.通過(guò)近似推導(dǎo)位移公式的過(guò)程，體驗(yàn)微元法的特點(diǎn)和技巧，能把瞬時(shí)速度的求法與此比較。2.感悟一些數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用特點(diǎn)。情感態(tài)度與價(jià)值觀1.經(jīng)歷微元法推導(dǎo)位移公式和公式法推導(dǎo)速度位移關(guān)系,培養(yǎng)自己的動(dòng)手能力。2.體驗(yàn)成功的快樂(lè)和方法的意義,增強(qiáng)科學(xué)能力的價(jià)值觀。重點(diǎn)1.理解勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移及其應(yīng)用。2.理解勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系x＝vot+at2/2及其應(yīng)用。難點(diǎn)1.v-t圖象中圖線與t軸所夾的面積表示物體在這段時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移。2.微元法推導(dǎo)位移公式。3.勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系x＝vot+at2/2及其靈活應(yīng)用。教學(xué)方法提問(wèn)討論法、講授法教學(xué)內(nèi)容與過(guò)程【引入新課】師：在前面的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)知道，勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體，其位移對(duì)應(yīng)于v-t圖像下面的面積。我們不防大膽地猜測(cè)一下，勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與它的v-t圖像是否也有這種對(duì)應(yīng)關(guān)系？生：有。生：沒(méi)有。師：下圖是一個(gè)物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的v-t圖像，我們?cè)趺磥?lái)計(jì)算物體在一段時(shí)間內(nèi)的位移呢？在這里，老師先給大家一個(gè)小提示，介紹一下割圓術(shù)。分割和逼近的方法在物理學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用。公元263年，魏晉時(shí)的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)了“割圓術(shù)”——圓內(nèi)正多邊形的邊數(shù)越多，其周長(zhǎng)和面積就越接近圓的周長(zhǎng)和面積．他著有《九章算術(shù)》，在書中有很多創(chuàng)見(jiàn)，尤其是用割圓術(shù)來(lái)計(jì)算圓周率的想法，含有極限觀念，是他的一個(gè)大創(chuàng)造.他用這種方法計(jì)算了圓內(nèi)接正192邊形的周長(zhǎng)，得到了圓周率的近似值π＝157/50（=3.14）；后來(lái)又計(jì)算了圓內(nèi)接正3072邊形的周長(zhǎng)，又得到了圓周率的近似值π＝3927/1250（=3.1416）?！案顖A術(shù)”用正多邊形逐漸增加邊數(shù)的方法來(lái)計(jì)算圓周率，早在古希臘的數(shù)學(xué)家阿基米德首先采用，但是阿基米德是同時(shí)采用內(nèi)接和外切兩種計(jì)算，而劉徽只用內(nèi)接，因而較阿基米德的方法簡(jiǎn)便得多?！局v授新課】一、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系1.公式模仿劉徽的“割圓術(shù)”做法，并結(jié)合求解勻速直線運(yùn)動(dòng)v-t求解位移的方法，大家能否想到求解圖象中圖線與初、末時(shí)刻線和時(shí)間軸圖線所圍成的面積的方法呢？生：可以把所圍成的面積進(jìn)行分割。師：如果我們把物體的運(yùn)動(dòng)分成5個(gè)小段，t/5算一個(gè)小段，在v—t圖象中，每小段起始時(shí)刻物體的瞬時(shí)速度由相應(yīng)的縱坐標(biāo)表示，各小段中物體的位移可以近似地怎么表示？生：用每小段起始時(shí)刻速度乘以時(shí)間t/5表示。師：整個(gè)過(guò)程中的位移可以近似地怎么表示？生:5個(gè)小矩形面積之和。師：但這樣的處理方法，與實(shí)際的位移相比，誤差較大，我們應(yīng)該怎么進(jìn)一步縮小誤差？生:把物體的運(yùn)動(dòng)分成更多的小段。師：也就是說(shuō)，當(dāng)它們分成的小段數(shù)目越多，長(zhǎng)條矩形與傾斜直線間所夾的小三角形面積越小，誤差也就越小。為了讓我們所得的結(jié)果更精確，我們可以怎么做？生：可以把時(shí)間軸無(wú)限分割。師：在這里，我們運(yùn)用了分成若干段可求位移然后相加、短時(shí)間內(nèi)平均速度等于瞬時(shí)速度的基本思想?？梢韵胂?，如果把整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程劃分得非常非常細(xì)，很多很多小矩形的面積之和，就能準(zhǔn)確地代表物體的位移了。這時(shí)，“很多很多”小矩形頂端的“鋸齒形”就看不出來(lái)了，這些小矩形合在一起組成了一個(gè)梯形OABC，梯形OABC的面積就代表做勻變速直線運(yùn)動(dòng)物體在0(此時(shí)速度是v0)到t(此時(shí)速度是v)這段時(shí)間內(nèi)的位移。師：這說(shuō)明，我們最初認(rèn)為的勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與它的v-t圖像有怎樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？生：勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移仍可用圖線與坐標(biāo)軸所圍的面積表示。師：大家看下面這道例題，某物體運(yùn)動(dòng)的速度圖像如圖所示，求(1)0～3s內(nèi)的位移。(2)5～7s內(nèi)的位移。(3)3～7s內(nèi)的位移。生：10m，-4m，0m。師：非常好。那么大家現(xiàn)在可以告訴老師教材圖2.3—2丁中，怎么求梯形的面積呢？生：S=(OC+AB)×OA/2。師：把面積及各條線段換成所代表的物理量，并結(jié)合上節(jié)課所學(xué)習(xí)的公式，請(qǐng)大家推導(dǎo)出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間關(guān)系的公式。生：。師：這里我們用位置坐標(biāo)代替了位移，這是因?yàn)槲覀兿热〕跏紩r(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在的位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，則有時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)的位置與時(shí)刻的關(guān)系。上面的公式對(duì)勻減速直線運(yùn)動(dòng)也適用。（講解教材例題）2.對(duì)公式的進(jìn)一步理解師：我們對(duì)位移公式的進(jìn)一步理解。（1）公式中各量的符號(hào)。因?yàn)関0、a、x均為矢量，使用公式時(shí)應(yīng)先規(guī)定正方向。一般以v0的方向?yàn)檎较?。若a與v0同向，則a取正值；若a與v0反向，則a取負(fù)值；若位移計(jì)算結(jié)果為正值，說(shuō)明這段時(shí)間內(nèi)位移方向與v0同向；若位移計(jì)算結(jié)果為負(fù)值，說(shuō)明這段時(shí)間內(nèi)位移方向與v0反向。（2）公式x＝v0t＋eq\f(1,2)at2是位移公式，而不是路程公式。利用該公式求的是位移，而不是路程，只有在單方向直線運(yùn)動(dòng)中，所求的位移大小才等于路程。該公式只適用于勻變速直線運(yùn)動(dòng)。因?yàn)槲灰乒绞顷P(guān)于x的一元二次函數(shù)，故x－t圖象是一條拋物線(一部分)。但它不表明質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡為曲線。（3）對(duì)于初速度為零(v0＝0)的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，位移公式為x＝eq\f(1,2)vt＝eq\f(1,2)at2，即位移x與時(shí)間t的二次方成正比。大家看下面這道題：飛機(jī)在跑道上勻加速滑行起飛，滑行時(shí)間為20s，滑行距離為1200m，求：(1)飛機(jī)的加速度；(2)飛機(jī)起飛時(shí)的速度。生：(1)由x＝eq\f(1,2)at2得：a＝eq\f(2x,t2)＝eq\f(2×1200,202)m/s2＝6m/s2.(2)v＝at＝6×20m/s＝120m/s.二、勻變速直線運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)推論師：由勻變速直線運(yùn)動(dòng)可以得出以下兩個(gè)推論：1．平均速度：做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的物體在一段時(shí)間t內(nèi)的平均速度等于這段時(shí)間的中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，還等于這段時(shí)間初末速度矢量和的一半。即eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋v,2)。若設(shè)物體的初速度為v0，做勻變速運(yùn)動(dòng)的加速度為a，t秒末的速度為v，大家可以推導(dǎo)一下這個(gè)結(jié)論嗎？生：由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2得，①平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(x,t)＝v0＋eq\f(1,2)at②由速度公式v＝v0＋at，當(dāng)t′＝eq\f(t,2)時(shí)veq\f(t,2)＝v0＋aeq\f(t,2)③由②③得eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)④又v＝veq\f(t,2)＋aeq\f(t,2)⑤由③④⑤解得veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋v,2)⑥所以eq\x\to(v)＝veq\f(t,2)＝eq\f(v0＋v,2)。2．逐差相等：師：在任意兩個(gè)連續(xù)相等的時(shí)間間隔T內(nèi)，位移之差是一個(gè)常量，即Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2生：時(shí)間T內(nèi)的位移x1＝v0T＋eq\f(1,2)aT2①在時(shí)間2T內(nèi)的位移x2＝v02T＋eq\f(1,2)a(2T)2②則xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1③由①②③得Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2此推論常有兩方面的應(yīng)用：一是用以判斷物體是否做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，二是用以求加速度。特別提醒大家：(1)以上推論只適用于勻變速直線運(yùn)動(dòng)，其他性質(zhì)的運(yùn)動(dòng)不能套用推論式來(lái)處理問(wèn)題。(2)推論式xⅡ－xⅠ＝aT2常在實(shí)驗(yàn)中根據(jù)打出的紙帶求物體的加速度。下面，讓我們應(yīng)用一下這兩個(gè)推論公式：一物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在連續(xù)相等的兩個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)，通過(guò)的位移分別是24m和64m，每一個(gè)時(shí)間間隔為4s，求物體的初速度和末速度及加速度．【思路點(diǎn)撥】若題中已知等時(shí)間隔內(nèi)位移，用逐差法求解較為簡(jiǎn)單。生：法一：用逐差法。由Δx＝aT2可得a＝eq\f(Δx,T2)＝eq\f(64－24,42)m/s2＝2.5m/s2①又x1＝vAT＋eq\f(1,2)aT2②vC＝vA＋a·2T③由①②③解得：vA＝1m/s，vC＝21m/s。法二：用平均速度公式法。連續(xù)兩段時(shí)間T內(nèi)的平均速度分別為：eq\x\to(v)1＝eq\f(x1,T)＝eq\f(24,4)m/s＝6m/s，eq\x\to(v)2＝eq\f(x2,T)＝eq\f(64,4)m/s＝16m/s.且eq\x\to(v)1＝eq\f(vA＋vB,2)，eq\x\to(v)2＝eq\f(vB＋vC,2)，由于B是A、C的中間時(shí)刻，則vB＝eq\f(vA＋vC,2)＝eq\f(\x\to(v)1＋\x\to(v)2,2)＝eq\f(6＋16,2)m/s＝11m/s.解得vA＝1m/s，vC＝21m/s.其加速度為：a＝eq\f(vC－vA,2T)＝eq\f(21－1,2×4)m/s2＝2.5m/s2。答案是1m/s21m/s2.5m/s2師：在求解運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以有多種不同的解法，對(duì)于一般的勻變速直線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，若出現(xiàn)相等的時(shí)間間隔，則優(yōu)先考慮用Δx＝aT2求解，此法往往更簡(jiǎn)捷?？聪旅孢@道題：一物體做勻加速直線運(yùn)動(dòng)：第5s內(nèi)的位移為10m，第7s內(nèi)的位移為20m，求物體的加速度大小。生：平均速度法：第5s內(nèi)、第7s內(nèi)的平均速度分別等于第4.5s和第6.5s的瞬時(shí)速度，即v4.5＝eq\f(x5,T)＝eq\f(10,1)m/s＝10m/sv6.5＝eq\f(x7,T)＝eq\f(20,1)m/s＝20m/s所以a＝eq\f(v6.5－v4.5,t′)＝eq\f(20－10,2)m/s2＝5m/s2逐差法：由于x7－x5＝2aT2所以a＝eq\f(x7－x5,2T2)＝eq\f(20－10,2×12)m/s2＝5m/s2.三、位移—時(shí)間圖象(x－t圖象)師：位移與時(shí)間的關(guān)系式為x＝v0t+at2/2，我們已經(jīng)用圖象表示了速度與時(shí)間的關(guān)系。那么，我們能不能用圖象表示位移與時(shí)間的關(guān)系呢?物體的位移也可以用圖像描述。例如，火車的機(jī)車在沿直線軌道移動(dòng)，教材圖2.3-4描述了它對(duì)于出發(fā)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的情況，這個(gè)圖像稱為位移—時(shí)間圖像（圖象）。請(qǐng)大家用自己的語(yǔ)言描述下面這個(gè)圖象。生：從圖象中可以看出，在=0到=2.5min這段時(shí)間，位移在不斷增加，說(shuō)明機(jī)車在遠(yuǎn)離出發(fā)點(diǎn)；而在=2.5min和=3min之間位移沒(méi)有變化，總是=80m，說(shuō)明這段時(shí)間里機(jī)車停在距出發(fā)點(diǎn)80m的位置。師：這個(gè)圖象是用來(lái)描述機(jī)車運(yùn)動(dòng)的位移與時(shí)間的關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，機(jī)車并不是沿著這樣的路線運(yùn)動(dòng)的。接下來(lái)，我們系統(tǒng)地總結(jié)一下x－t圖象。1．三種常見(jiàn)運(yùn)動(dòng)的圖象(1)靜止物體的x－t圖象是平行于時(shí)間軸的直線，如圖中a。(2)勻速直線運(yùn)動(dòng)的x－t圖象是一條傾斜的直線，如圖中b。

(3)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的x－t圖象是拋物線，由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2知x－t圖象是一個(gè)二次函數(shù)圖，如圖中c。這個(gè)圖象反映的是物體位移隨時(shí)間按照這樣一個(gè)二次函數(shù)圖(拋物線)變化，而不是運(yùn)動(dòng)軌跡；直線運(yùn)動(dòng)是根據(jù)運(yùn)動(dòng)軌跡來(lái)命名的，x－t圖象中圖線是不是直線與直線運(yùn)動(dòng)的軌跡沒(méi)有任何直接關(guān)系。2．x－t圖象的意義注意：1．位移—時(shí)間圖象不是物體的運(yùn)動(dòng)軌跡。2．位移—時(shí)間圖象只能描述直線運(yùn)動(dòng)，不能描述曲線運(yùn)動(dòng)。通過(guò)剛剛的學(xué)習(xí)，請(qǐng)大家畫出x＝eq\f(1,2)at2的x－t圖象的草圖。生：作圖。師：如果現(xiàn)在有人問(wèn)你，我們研究的是直線運(yùn)動(dòng)，為什么你畫出來(lái)的圖象不是直線，你怎么和他解釋？生：位移圖像描述的是位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，圖像不是運(yùn)動(dòng)軌跡。勻變速直線運(yùn)動(dòng)在x－t圖象中是一條拋物線。師:一定要記住，不是物體運(yùn)動(dòng)的軌跡。四、剎車問(wèn)題師：下面來(lái)分析剎車類問(wèn)題。一輛汽車以72km/h的速度行駛，現(xiàn)因緊急事故急剎車并最終停止運(yùn)動(dòng)．已知汽車剎車過(guò)程的加速度的大小為5m/s2，則從開始剎車經(jīng)過(guò)5s汽車通過(guò)的距離是多少？大家注意，對(duì)于剎車類問(wèn)題應(yīng)先求出汽車剎車的時(shí)間t0，然后判斷所給出的時(shí)間t與t0的關(guān)系，再根據(jù)具體情況進(jìn)行計(jì)算。生：設(shè)剎車開始至汽車停止所用的時(shí)間為t0，選v0的方向?yàn)檎较颍畍0＝72km/h＝20m/s，由v＝v0＋at得t0＝eq\f(v－v0,a)＝eq\f(0－20,－5)s＝4s可見(jiàn)，汽車剎車時(shí)間為4s，第5s是靜止的。由x＝v0t＋eq\f(1,2)at2知?jiǎng)x車5s內(nèi)通過(guò)的距離x＝v0t0＋eq\f(1,2)ateq\o\al(2,0)＝20×4m＋eq\f(1,2)×(－5)×42m＝40m.師：處理剎車類問(wèn)題時(shí)應(yīng)注意分析汽車剎車后經(jīng)過(guò)一段時(shí)間會(huì)停下來(lái)并且不能反向加速，因此在利用公式進(jìn)行計(jì)算時(shí)，汽車運(yùn)動(dòng)時(shí)間應(yīng)是剎車過(guò)程中汽車速度減少到零所用的時(shí)間而不一定是題目條件中的時(shí)間。五、逆向思維法這種把人們通常思考問(wèn)題的思維反過(guò)來(lái)思考的思維方式就是逆向思維，運(yùn)用逆向思維分析和解決問(wèn)題的方法叫做逆向思維法．所謂逆向思維，簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)就是“倒過(guò)來(lái)想一想。末速度為0的勻減速直線運(yùn)動(dòng)可看成初速度為0、加速度大小相等的反向勻加速直線運(yùn)動(dòng)。設(shè)物體的初速度為v0，加速度大小為a，做勻減速直線運(yùn)動(dòng)至經(jīng)過(guò)時(shí)間t速度為0，則可將此運(yùn)動(dòng)逆向看成初速度為0，加速度大小為a的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，末速為v0。例：做勻減速直線運(yùn)動(dòng)的物體經(jīng)4

s停止，若在4

s內(nèi)的位移