專題07利用導函數(shù)研究函數(shù)零點問題(典型例題題型歸類練)（原卷版）

專題07利用導函數(shù)研究函數(shù)零點問題(典型例題+題型歸類練)一、必備秘籍1、函數(shù)的零點（1）函數(shù)零點的定義：對于函數(shù)，把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點．（2）三個等價關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點的橫坐標函數(shù)有零點．2、函數(shù)零點的判定如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得，這個也就是的根．我們把這一結(jié)論稱為函數(shù)零點存在性定理．注意：單調(diào)性+存在零點=唯一零點3、利用導數(shù)確定函數(shù)零點的常用方法(1)圖象法：根據(jù)題目要求畫出函數(shù)的圖象，標明函數(shù)極(最)值的位置，借助數(shù)形結(jié)合的思想分析問題（畫草圖時注意有時候需使用極限）．(2)利用函數(shù)零點存在定理：先用該定理判定函數(shù)在某區(qū)間上有零點，然后利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點值的符號，進而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點的個數(shù)．4、利用函數(shù)的零點求參數(shù)范圍的方法(1)分離參數(shù)()后，將原問題轉(zhuǎn)化為的值域(最值)問題或轉(zhuǎn)化為直線與的圖象的交點個數(shù)問題(優(yōu)選分離、次選分類)求解；(2)利用函數(shù)零點存在定理構(gòu)建不等式求解；(3)轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．二、典型例題例題1．（2022·四川遂寧·高二期末（理））已知函數(shù)在和處取得極值．(1)求，的值；(2)若函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個不同交點，求的取值范圍．第（2）問解題思路函數(shù)的圖象與拋物線恰有三個不同交點，等價于：，則原題意等價于圖象與軸有三個交點利用導數(shù)研究的圖象：∵，∴由，解得或，由，解得，∴在時取得極大值，在時取得極小值，要滿足圖象與軸有三個交點，則極大值，且極小值，即：，解得，故m的取值范圍為．例題2．（2022·安徽·亳州二中高二期末）已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.第（2）問解題思路有兩個零點，即：在上有兩個不等的實數(shù)根，可考慮變量分離法：即在上有兩個不等的實數(shù)根，等價轉(zhuǎn)化為：，兩個函數(shù)有兩個交點；利用導數(shù)研究的圖象：當時，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則的極大值為又，當時，，當時，（注意，一定要利用極限判定當時，，否則就是錯解）畫出的圖象：由圖可得要使直線與有兩個交點，則，故實數(shù)的取值范圍為.點評：本例中，分離成兩個函數(shù)找交點的個數(shù)后，畫圖是關(guān)鍵，本例利用了極限，當時，，如果直接由單調(diào)性畫圖，很可能造成錯解，在利用圖象解決零點個數(shù)問題，注意巧妙地利用極限.三、題型歸類練1．（2022·江西上饒·高二期末（文））已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若僅有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.2．（2022·全國·高三專題練習（文））已知函數(shù).(1)當時，求在區(qū)間上的最小值；(2)若有兩個零點，求的取值范圍.3．（2022·廣東·高二階段練習）已知函數(shù)在與處都取得極值.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)若函數(shù)有三個不同的零點，求c的范圍.4．（2022·山西太原·三模（理））已知函數(shù).(1)若函數(shù)的圖像與直線相切，求實數(shù)a的值；(2)若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)a的取值范圍.5．（2022·河南·模擬預測（文））已知函數(shù)，（且）.(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍.6．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知曲線．(1)若，過點作的切線，求切線的方程；(2)當有3個零點時，求a的取值范圍．7．