數(shù)學(xué)-浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年11月高二聯(lián)考試卷和答案

浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年11月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)試題浙江強(qiáng)基聯(lián)盟研究院命制考生注意:1.本試卷滿分150分,考試時(shí)間120分鐘。2.考生作答時(shí),請(qǐng)將答案答在答題卡上。選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑;非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效,在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效O一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合A={1,2,3,4,5},B={2,4,6,8},則A∩B=A.{3,4}B.{2,4,6}C.{1,3,5}D.{2,4}2.如果橢圓的方程是十那么它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A.(±2,0)B.(0,±2)C.(±\2,0)D.(0,±\2)3.已知點(diǎn)P(a,1),Q(—2,—3),若|PQ|=5,則a=A.1B.—5C.1或—5D.—1或54.已知圓C1:父2十Y2=4和圓C2:父2十Y2—8父—6Y十16=0,則C1與C2的位置關(guān)系是A.外切B.內(nèi)切C.相交D.外離5.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,以下說(shuō)法正確的是A.若E為DD1的中點(diǎn),則BD1Ⅱ平面AECB.若E為DD1的中點(diǎn),則BD1丄平面A1EC1C.若E為C1D1的中點(diǎn),則AE丄BD1D.若E為C1D1的中點(diǎn),則CEⅡBD1【數(shù)學(xué)第1頁(yè)(共4頁(yè))】【數(shù)學(xué)第2頁(yè)(共4頁(yè))】6.已知父≥3,則函數(shù)=父十的最小值是A.B.C.3D.27.在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,若直線AC與BD的交點(diǎn)為M.設(shè)A—1=a,A—1=b,1=c,則下列向量中與—1共線的向量是A.—2a十2b—cB.a十b—2cC.2a—2b—cD.a—b—2c8.如果函數(shù)那么fA.2020B.2021C.2023D.2025二、多項(xiàng)選擇題:本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知復(fù)數(shù)義=3—4i,以下說(shuō)法正確的是 C.義=3十4iD.義在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限10.拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子,記隨機(jī)事件Ai=“點(diǎn)數(shù)為i”,其中i=1,2,3,4,則以下說(shuō)法正確的是A.若隨機(jī)事件B1=“點(diǎn)數(shù)不大于3”,則A1與B1互斥B.若隨機(jī)事件B2=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”,則A2=B2C.若隨機(jī)事件B3=“點(diǎn)數(shù)不大于2”,則A3與B3對(duì)立D.若隨機(jī)事件B4=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”,則A3UA4與B4相互獨(dú)立11.棱長(zhǎng)為1的正四面體ABCD的內(nèi)切球球心為O,點(diǎn)P是該內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn),則以下說(shuō)法正確的是 A.記直線AO與直線AB的夾角是α,則cOSα=\ B.記直線AO與平面ABC的夾角是β,則Sinβ=22C.記i父ByBi(父,y∈R)的最小值為n,則n∈[0,\]【數(shù)學(xué)第3頁(yè)(共4頁(yè))】三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共15分.12.點(diǎn)A(2,1)到直線l:父—2Y—3=0的距離是.13.已知圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為,弧長(zhǎng)為2π的扇形,則該圓錐的體積是.14.設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn),F1是橢圓十的左焦點(diǎn),橢圓上的點(diǎn)P關(guān)于。的對(duì)稱點(diǎn)是Q,若上PF1Q=120。,PQ=\3a,則該橢圓的離心率是.四、解答題:本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟.15.(13分)已知圓C:(父—4)2十Y2=25,點(diǎn)P(1,4),且直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.(1)若l與C相切,求l的方程;(2)若l的傾斜角為,求l被圓C截得的弦長(zhǎng).16.(15分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,C,記△ABC的面積為S,已知A十B=2C.(1)若C=2,求△ABC外接圓的半徑;求的值.17.(15分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,△PAD是正三角形,四邊形ABCD為等腰梯形,且有AD=2BC=2AB=2CD=PB=PC,E,F分別是AD,BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)Q在PF上.(1)證明:平面PEF丄平面PBC;(2)當(dāng)EQ丄PF時(shí),求平面QAB與平面QCD所成角的余弦值.18.(17分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A(—2,0),B(2,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且它們的斜率之積是—.記點(diǎn)M的軌跡是曲線C,點(diǎn)D(x0,y0)(y0>0)是曲線C上的一點(diǎn).(1)求曲線C的方程;(2)若x0=1,直線l過(guò)點(diǎn)D與曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為E,求△ODE面積的最大值;(3)過(guò)點(diǎn)F(\,0)作直線交曲線C于P,Q兩點(diǎn),且OD丄PQ,證明:十為定值.19.(17分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,我們可以采用公式(其中a,b,C,m,n,p為常數(shù)),將點(diǎn)P(x,y)變換成點(diǎn)PI(xI,yI),我們稱該變換為線性變換,上式為坐標(biāo)變換公式.常見的線性變換有平移變換和旋轉(zhuǎn)變換.(1)將點(diǎn)P(x,y)向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位,得到點(diǎn)PI(xI,yI),求該變換的坐標(biāo)變換公式,并求將橢圓十向左平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位后,所得新橢圓的方程;(2)將點(diǎn)P(x,y)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,得到點(diǎn)PI(xI,yI),求上述變換的坐標(biāo)變換公式,并求將橢圓十繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,所得新橢圓的方程;(3)若點(diǎn)P(x,y)滿足x2十xy十y2十2x十y—2=0,證明:點(diǎn)P(x,y)的軌跡是橢圓.【數(shù)學(xué)第4頁(yè)(共4頁(yè))】浙江強(qiáng)基聯(lián)盟2024年11月高二聯(lián)考數(shù)學(xué)卷參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1.DA∩B={2,4},故選D.2.C由C2=a2—b2=2,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±\,0),故選C.3.C由兩點(diǎn)間的距離公式可得|PQ|2=(a十2)2十(1十3)2=25,解得a=1或—5,選C.4.A由C2:(父—4)2十(Y—3)2=9,可得C1與C2的圓心距是5,又r1十r2=5,所以C1與C2外切,故選A.5.A如圖所示,EFⅡBD1,則有BD1Ⅱ平面AEC,故選A.6.B令父1=t(t≥2),則f(t)=t十十1,f(t)在[2,十∞)單調(diào)遞增,所以f(t)的最小值是f(2)=,故選B.B十=A1=c十(A1—A1)=c十(b—a)=—a十b十c.選項(xiàng)D中,a—b—2c=—28.B記fn十1(父)=fn(f(父)),f1(父)=f(父),根據(jù)f(父)定義可得f(10)=f2(19)=f3(28)=…=f224(2017)=f225(2026),考慮f(2026)=2022,f(2022)=f(f(2031))=f(2027)=2023,f(2023)=f(f(2032))=f(2028)=2024,f(2024)=2020,f(2020)=f(f(2029))=f(2025)=2021,f(2021)=f(f(2030))=f(2026)=2022,所以f5(2022)=f4(2023)=f3(2024)=f2(2020)=f(2021)=2022,所以fn(2022)周期為5,取值分別是2023,2024,2020, 2021,2022.f225(2026)=f224(2022)=f4(2022)=2021,故選B. 9.ABCz=3—4i,則z的實(shí)部是3,故A正確;|z|=\32十(—4)2=5,B正確;z=3十4i,C正確,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(3,—4),在第四象限,故D錯(cuò)誤.故選ABC.10.BDB1=“點(diǎn)數(shù)為1,2,3”,A1=“點(diǎn)數(shù)為1”,則A1=B1,則A1與B1不互斥,A錯(cuò)誤;B2=“點(diǎn)數(shù)為2,4,6”,A2=“點(diǎn)數(shù)為2”,則A2=B2,B正確;B3=“點(diǎn)數(shù)為1,2”,A3=“點(diǎn)數(shù)為3”,AUB=“點(diǎn)數(shù)為1,2,3”,不是全 集,故C錯(cuò)誤;B4=“點(diǎn)數(shù)為1,3,5”,A3UA4=“點(diǎn)數(shù)為3,4”,則P[(A3UA4)B4]==P(A3UA4).P(B4)=×,故D正確.故選BD. 11.ACD如圖,設(shè)內(nèi)切球的半徑為r,易得AH=4r=\.α=上BAO,cOsα==\,A正確;直線AO與平面ABC的夾角是β,則sinβ==,B錯(cuò)B→PB→Q=PQ,即球面上的點(diǎn)到平面BCD上點(diǎn)之間的距離,最小值n表示球面上的點(diǎn)到平面BCD的距離,n∈[0,2r],即n∈[0,\,C正確;點(diǎn)A在線 段BC上的投影為線段BC的中心E,點(diǎn)P在線段BC上的投影點(diǎn)P0位于點(diǎn)E 的左側(cè)或右側(cè),且|EP0|的最大值等于r=\,則m∈[—\,\,D選項(xiàng)正確.故選ACD.12.3\55由點(diǎn)到直線的距離公式d=2223=3\55. 13.2\πl(wèi)=αR=2π,則圓錐的母線長(zhǎng)是R=3,由l=2πr=2π,得圓錐底面半徑r=1,則h=\=2\, 由圓錐的體積公式可得v=sh=πr2h=2\32π.14.由上PF1Q=120o,PQ=\a,可得上F1PF2=60o,|PO|=\.【法一】則由橢圓的定義不妨設(shè)PF1=父,PF2=2a—父,2【數(shù)學(xué)卷參考答案第1頁(yè)(共4頁(yè))】—4a父=2c2—a2,:6c2—a2=8c2—8a2,得2c2=a2,則e2=,e=,【法二】設(shè)P(父0,y0),SΔF1PF2=b2tan上FPF2=\b2=cy0,(十=1,(父十a(chǎn)2.=a2,“〈!父十y=a2,即3b4a2b23b2b2a2b211化簡(jiǎn)得4a2—3c2十3c2=4a2十3=a2,即3=3b4a2b23b2b2a2b21115.解:(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(1,4)在圓上,………………2分3,則直線CP的斜率為—3,4,則直線l的斜率是3………………………44,可得直線l的方程是y—4=(父—1),即3父—4y十13=0.………………6分(2)由于直線l的傾斜角是,則直線l的斜率是—1,……………………8分可得l:父十y—5=0,…………………………9分則圓心C到直線l的距離是d=\,………………………11分則直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)是7\.………………………13分16.解:(1)由A十B=2C,得C=,由c=2,可得2R==\,:R=\,:△ABC的外接圓半徑是\.………………5分SabsinC(2)(a十b十c)(a十b—c)=(a十b)2—c2=.=.2a2十b2十2ab—c2=.=.………………………11分22abcosC十2ab22cosC十212=1.sinC=22cosC十21217.解:(1)因?yàn)樗倪呅蜛BCD等腰梯形,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),所以BC丄EF,又因?yàn)镻B=PC,所以PF丄BC,又因?yàn)镋F∩PF=F,EF,PFGPEF,所以BC丄平面PEF,而BCG平面PBC,所以平面PEF丄平面PBC.……………6分(2)當(dāng)EQ丄PF時(shí).假設(shè)BC=2,所以EF=\,PF=\,PE=2\,得到EF2十PE2=PF2,所以PE丄EF.…………8分(1,\,0),C(—1,\(1,\,0),C(—1,\,0),D(—2,0,0),Q(0,4\5,2\5).設(shè)平面QAB的一個(gè)法向量n=(父,y,z),A.取y=1得n=(\,1,3).,則取y=1得n=(\,1,3).,【數(shù)學(xué)卷參考答案第2頁(yè)(共4頁(yè))】(a十\b=0,(a十\b=0,取b=—1得m=(\,—1,—3).……………,12分,!2a十4\53b十2\53C=0設(shè)平面QAB與平面PCD所成角為θ,則|m||n|13,|m||n|13,所以平面QAB與平面QCD所成角的余弦值為.………15分18.解:(1)設(shè)點(diǎn)M(父,y),所以直線AM的斜率為KAM=父2(父≠—2),同理直線BM的斜率為KBM=父—y2(父≠2),由已知可得父2.父—y2=—(父≠±2),化簡(jiǎn)得點(diǎn)M的軌跡C的方程是2十y2=1(父≠±2).……………………4分(2)計(jì)算得D(1,\),則直線OD:y=\父,當(dāng)直線l’ⅡOD且與C相切,切點(diǎn)為E,此時(shí)△ODE的面積取最大值,…………………6分 37,!父2 37,Δ=3m2—4(m2—1)=4—m2=0,解得m=±2,直線l’與OD之間的距離d=2=4\744所以SΔODE=|OD|d=×\×4\77=1.………………9分 (2)由題知直線PQ的斜率存在且不為0,設(shè)直線PQ:父=ty十\3(t≠0),設(shè)P(父1,y1),Q(父2,y2), t2十4,(y1十 t2十4,得(t2十4)y2十2\3ty—1=0,則〈—1!t2十4,y1y2!t2十4,所以|PQ|=\1十t2|y1—y2|=\1十t2\12t22十4)=42),………………12分因?yàn)镺D丄PQ,則直線OD:y=—t父,聯(lián)立方程組{y2=4,得(1十4t2)父2=4,所以|OD|=\1十(—t)2|父D|=\1十t2\14t2,得|OD|2=41(),………………14分