《信號與系統(tǒng)分析》課件第6章

第6章離散信號與系統(tǒng)的

z域分析

6.1離散信號的z變換6.2

z變換的基本性質(zhì)6.3逆z變換6.4利用MATLAB計算z變換和逆z變換6.5離散系統(tǒng)的z域分析

6.1離散信號的z變換

6.1.1

z變換的定義

序列f(n)的雙邊z變換，通常記為(6-1)這樣，已知一個序列便可由式(6-1)確定一個z變換函數(shù)F(z)。反之，如果給定F(z),則F(z)的逆變換記作,并由以下的圍線積分給出(6-2)其中，C是包圍F(z)zn-1所有極點的逆時針閉合積分路線。這樣，式(6-1)和式(6-2)便構(gòu)成了一對z變換對。為簡便起見，f(n)與F(z)之間的關(guān)系仍簡記為(6-3)與拉氏變換類似，z變換亦有單邊與雙邊之分。序列f(n)的單邊z變換定義為(6-4)即求和只對n的非負值進行(不論n<0時f(n)是否為零)。而F(z)的逆變換仍由式(6-2)給出，只是將n的范圍限定為n≥0,即(6-5)或?qū)憺?6-6)不難看出，式(6-4)等于f(n)U(n)的雙邊z變換，因而f(n)的單邊z變換也可寫為(6-7)由以上定義可見，如果f(n)是因果序列，則其單、雙邊z變換相同，否則二者不等。在拉氏變換中我們主要討論單邊拉氏變換，這是由于在連續(xù)系統(tǒng)中，非因果信號的應(yīng)用較少。對于離散系統(tǒng)，非因果序列也有一定的應(yīng)用范圍，因此，本章以討論單邊z變換為主，適當(dāng)兼顧雙邊z變換。討論中在不致混淆的情況下，將兩種變換統(tǒng)稱為z變換，f(n)與F(z)的關(guān)系統(tǒng)一由式(6-3)表示。由定義可知，序列的z變換是z的冪級數(shù)，只有當(dāng)該級數(shù)收斂時，z變換才存在。對任意給定的序列f(n),使z變換定義式冪級數(shù)或收斂的復(fù)變量z在z平面上的取值區(qū)域，稱為z變換F(z)的收斂域，也常用ROC表示。【例6-1】求以下有限長序列的雙邊z變換：(1)δ(n),(2)f(n)={1,2,1}-1。解(1)由式(6-4)知，單位樣值序列的z變換為即。F(z)是與z無關(guān)的常數(shù)，因而其ROC是z的全平面。

(2)f(n)的雙邊z變換為

由上式可知，除z=0和z=∞外,對任意z,F(z)有界，因此其ROC為0<|z|<∞?！纠?-2】求因果序列f1(n)=anU(n)的雙邊z變換(a為常數(shù))。解設(shè)

,則利用等比級數(shù)求和公式，上式僅當(dāng)公比az-1滿足|az-1|<1,即|z|>|a|時收斂，此時故其收斂域為|z|>|a|,這個收斂域在z平面上是半徑為|a|的圓外區(qū)域，如圖6-1所示。顯然它也是單邊z變換的收斂域。圖6-1

【例6-2】的收斂域6.1.2常用離散信號的單邊z變換

1.單位樣值信號δ(n)由【例6-1】已知(6-8)

2.單位階躍序列U(n)將U(n)代入式(6-4),得若|z-1|<1,即|z|>1,該級數(shù)收斂，此時有故(6-9)3.單邊指數(shù)序列anU(n)(a為任意常數(shù))在【例6-2】中已求得(6-10)所以表6-1列出了典型序列的單邊z變換，以供查閱。表6-1典型序列的單邊z變換

6.2

z變換的基本性質(zhì)

6.2.1線性設(shè)，

R1<|z|<R2,R1可為零，R2可以為∞,下同,即

則(6-11)

其中，a1、a2為任意常數(shù)。相加后的收斂域至少是兩個函數(shù)F1(z)、F2(z)收斂域的重疊部分，有些情況下收斂域可能會擴大。【例6-3】求序列cos(ω0n)U(n)和sin(ω0n)U(n)的z變換。解因為而由線性性質(zhì)，即得(6-12)類似地，可得(6-13)6.2.2移位特性

單邊變換與雙邊變換的移位特性差別很大，下面分別進行討論。

1.雙邊z變換

若，R1<|z|<R2,則(6-14)式中m為任意整數(shù)。2.單邊z變換

若，則(6-15)(6-16)【例6-4】求矩形序列GN(n)的z變換。

解因為

Gn(n)=U(n)-U(n-N),由z線性及移位特性，得【例6-5】求序列的z變換。解因為，由移位特性,再由線性性質(zhì)，得6.2.3尺度變換特性若

，則(6-17)式中a為任意常數(shù)。【例6-6】用尺度變換特性求anU(n)的z變換。解因為由尺度變換特性6.2.4時間翻轉(zhuǎn)特性

若，則(6-18)6.2.5

z域微分(時域線性加權(quán))若，R1<|z|<R2,則(6-19)【例6-7】求uU(n)的z變換。解因為由z域微分性質(zhì)，可得(6-20)6.2.6卷積定理

1.時域卷積定理

若則(6-21)收斂域至少為兩函數(shù)收斂域的重疊部分，有可能會擴大?！纠?-8】計算卷積U(n)*U(n+1)。解因為由移位特性(注意，本例中U(n+1)為非因果信號，故不能用單邊變換求解)。則由卷積定理可得從而2.z域卷積定理(序列相乘)若則(6-22)式中,C是F1(λ)與收斂域公共部分內(nèi)逆時針方向的圍線。這里對收斂域及積分圍線的選取限制較嚴(yán)，從而限制了它的應(yīng)用，不再贅述。6.3逆z變換

與拉氏變換類似，用z變換分析離散系統(tǒng)時，往往需要從變換函數(shù)F(z)確定對應(yīng)的時間序列，即求F(z)的逆z變換。求逆z變換的方法有留數(shù)法、冪級數(shù)展開法(長除法)和部分分式展開法。下面我們只討論用部分分式展開法求有理函數(shù)的逆變換。設(shè)F(z)可以表示為(6-23)因為z變換的基本形式是，在利用部分分式展開的時候，通常先將展開，然后每個分式乘以z，這樣，對于一階極點，F(xiàn)(z)便可以展開為形式。另外，對于單邊變換(或因果序列)，它的收斂域為|z|>R,為保證在z=∞處收斂，其分母多項式的階次不低于分子多項式的階次，即滿足N≥M。只有雙邊變換才可能出現(xiàn)M>N。下面以N≥M為例說明部分分式展開法，此時為真分式。如果只含一階極點，則可以展開為即(6-24)其中Ak可用下式計算(6-25)展開式中的每一項的逆變換是以下兩種情形之一：(6-26)或(6-27)根據(jù)F(z)收斂域與各極點位置的關(guān)系選擇采用式(6-26)還是式(6-27)。如果F(z)的收斂域落在特定極點的外側(cè)，則關(guān)于該極點的展開項的逆變換為因果序列，由式(6-26)得到；如果F(z)的收斂域落在特定極點的內(nèi)側(cè)，則關(guān)于該極點的展開項的逆變換是反因果序列，由式(6-27)得到。這樣逐個考察各極點，就可得到完整的逆z變換。如果中含有高階極點，比如F(z)除含有K個一階極點外，在z=zi處還含有一個r階極點，此時F(z)應(yīng)展開為(6-28)式中Ak仍按式(6-25)計算，而Bj由下式計算：(6-29)【例6-9】已知，求F(z)可能的收斂域及相應(yīng)的序列f(n)。解F(z)的兩個極點是z1=1和z2=0.5,故其可能的收斂域為|z|<0.5,0.5<|z|<1或|z|>1。先將F(z)展開為其中所以

(1)若收斂域為|z|<0.5,則兩個極點均在收斂域的外側(cè)，因此這兩項的逆變換是反因果序列，由式(6-27)得

(2)若收斂域為0.5<|z|<1,則收斂域在極點z2=0.5的外側(cè)，相應(yīng)的逆變換是因果序列，由式(6-26)得

而極點z1=1在收斂域外側(cè)，因此相應(yīng)的逆變換是反因果序列。于是

(3)若收斂域為|z|>1,則收斂域在所有極點的外側(cè)，因此各展開項的逆變換均為因果序列，所以f(n)=2U(n)-(0.5)nU(n)=[2-(0.5)n]U(n)【例6-10】已知，|z|>1，

求f(n)。解因為由式(6-25)和式(6-26)可得展開式所以因為|z|>1,所以f(n)=6δ(n)+2δ(n-1)+8U(n)-13(0.5)nU(n)6.4利用MATLAB計算z變換和逆z變換

MATLAB中可以利用函數(shù)ztrans和iztrans分別計算符號函數(shù)的z變換和逆z變換，所得結(jié)果也是符號函數(shù)，而非數(shù)值結(jié)果。其一般調(diào)用形式為

F=ztrans(f)

f=iztrans(F)其中，f和F分別是時間序列和z變換的數(shù)學(xué)表示式。

【例6-11】

(1)用MATLAB求函數(shù)的z變換；(2)用MATLAB求的z逆變換。解程序代碼如下：

%programch6-11

clear;

formatrat;

%近似有理數(shù)的表示

symsanzpi;

%syms定義符號變量

f=a.^n.*cos(pi*n/3);

Fz=ztrans(f,n,z);

Fz=simple(Fz),

%約分，該命令試圖找出符號表達式Fz的代數(shù)上的簡單形式，

F=z./(z+1)/(z+2);

fn=iztrans(F),程序運行結(jié)果為如果z變換可以用如下的有理分式表示求F(z)的逆變換時，可以將F(z)展開為部分分式之和，然后再取其逆變換。用residuez可以實現(xiàn)部分分式展開。其一般的調(diào)用方式為

［r,p,k］=residuez(nam,den)其中，r是各部分分式分子系數(shù)向量，p為極點向量，k表示分子多項式除以分母多項式所得的商多項式。若F(z)為z-1

的真分式，則k為零?！纠?-12】用MATLAB計算的部分分式展開。解程序代碼如下：

%programch6-12

a=poly(［-1-1-2-3］);

b=［23］;［r,p,k］=residuez(b,a),程序運行結(jié)果為

r=6.7500

-4.0000

-0.2500

-0.5000

p=-3.0000

-2.0000

-1.0000

-1.0000

k=［］于是F(z)的部分分式展開為【例6-13】用MATLAB實現(xiàn)【例6-3】。解求解代碼如下：

%programch6-13

clear;

formatrat;

%近似有理數(shù)的表示

symsw0nzpi;

%syms定義符號變量f1=cos(w0*n);F1=ztrans(f1,n,z);

f2=sin(w0*n);F2=ztrans(f2,n,z);F1=simple(F1);F2=simple(F2);運行結(jié)果如下：F1=(z-cos(w0))*z/(1+z^2-2*z*cos(w0))F2=z*sin(w0)/(1+z^2-2*z*cos(w0))【例6-14】用MATLAB實現(xiàn)【例6-6】。解求解代碼如下：

%programch6-14

clear;

formatrat;

%近似有理數(shù)的表示

symsanzpi;%syms定義符號變量

f=a.^n;

F=ztrans(f,n,z);

Fn=simple(F)運行結(jié)果如下：

Fn=-z/(-z+a)

【例6-15】用MATLAB實現(xiàn)【例6-7】。解求解代碼如下：

%programch6-15

clear;

formatrat;%近似有理數(shù)的表示

symsnzpi;%syms定義符號變量

f=n;

F=ztrans(f,n,z);

Fn=simple(F),運行結(jié)果如下：Fn=z/(z-1)^2

【例6-16】已知，|z|>1,求f(n)。解求解代碼如下：

%programch6-16

clear;

a=［1-1.50.5］;

b=［100］;［r,p,k］=residuez(b,a)

%z變換的部分分式展開

運行結(jié)果如下：r=2

-1p=1

1/2k=0由運行結(jié)果可知,F(s)的部分分式展開式為。由此可得：?！纠?-17】已知，|z|>1,求f(n)。解求解代碼如下：

%programch6-17

clear;

symsz;

%syms定義符號變量

F=(z^3+2*z^2+1)/z/(z-1)/(z-0.5);

fn=iztrans(F)運行結(jié)果如下：fn=2*charfcn[1](n)+6*charfcn[0](n)+8-13*(1/2)^n即6.5離散系統(tǒng)的z域分析

6.5.1差分方程的變換解

LTI離散系統(tǒng)是用常子數(shù)線性差分方程描述的，如果系統(tǒng)是因果的，并且輸入為因果信號，那么可以用單邊z變換來求解差分方程。與應(yīng)用拉氏變換解微分方程相似，此時可以將差分方程變換為z變換函數(shù)的代數(shù)方程，并且利用單邊z變換的移位特性可以將系統(tǒng)的初始條件包含在代數(shù)方程中，從而能夠方便地求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)及全響應(yīng)。

6.5.2系統(tǒng)函數(shù)

因為yf(n)=f(n)*h(n)其中某離散系統(tǒng)的激勵為f(n),單位樣值響應(yīng)為h(n),零狀態(tài)響應(yīng)為yf(n)。而根據(jù)卷積定理，兩邊取z變換，有(6-30)因此系統(tǒng)函數(shù)H(z)是系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)的z變換，即(6-31)或于是，根據(jù)式(6-31),可以利用z變換方法方便地求解系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)。進一步地，求出激勵的z變換，然后由式(6-30)求出Yf(z),再對Yf(z)取逆z變換即可得到y(tǒng)f(n)?！纠?-18】因果離散系統(tǒng)的差分方程為y(n)-2y(n-1)=f(n),激勵f(n)=3nU(n),y(0)=2,求響應(yīng)y(n)。解方法一差分方程變換解。對微分方程兩邊取z變換得Y(z)-2z-1[Y(z)+y(-1)z1]=F(z)(1-2z-1)Y(z)=2y(-1)+F(z)

解出即將y(0)=2代入差分方程得y(0)-2y(-1)=f(0)而所以將Yx(z),Yf(z)進行逆z變換就得出yx(n)和yf(n)為得出y(n)=yx(n)+yf(n)=[3(3)n-2n]U(n)方法二先求出零輸入響應(yīng)yx(n),再利用系統(tǒng)函數(shù)求出yf(n)。

(1)求yx(n)。求yx(n)可以用z變換法，也可以用時域法，下面用這兩種方法分別求出yx(n)。①z變換法。將差分方程寫為齊次差分方程，即y(n)-2y(n-1)=0兩邊取z變換得Yx(z)-2z-1[Yx(z)+yx(-1)z］=0整理得而由前知所以則②時域法。由差分方程知，特征值λ=2,則

yx(n)=C2n,

n≥0

將代入上式得C=1所以yx(n)=2n,

n≥0(2)求yf(n)。由差分方程y(n)-2y(n-1)=f(n)可得h(n)-2h(n-1)=δ(n)兩邊取z變換得H(z)-2z-1H(z)=1

由式(6-30)得得出yf(n)=[-2(2)n+3(3)n]U(n)綜上可得y(n)=yx(n)+yf(n)=[3(3)n-2n]U(n)6.5.3離散系統(tǒng)因果性、穩(wěn)定性與H(z)的關(guān)系在第5章已經(jīng)知道，一個離散LTI系統(tǒng)是因果系統(tǒng)的充分必要條件是h(n)=0,

n<0或h(n)=h(n)U(n)即h(n)為因果序列。由于因果序列z變換的收斂域是|z|>R,因此，如果系統(tǒng)函數(shù)的收斂域具有|z|>R的形式，則該系統(tǒng)是因果的；否則，系統(tǒng)是非因果的。這樣系統(tǒng)因果性的充分必要條件可以用H(z)表示，即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域為|z|>R,R為某非負實數(shù)類似地，可以用系統(tǒng)函數(shù)來研究穩(wěn)定性問題。已經(jīng)知道離散系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是上式表明，在單位圓|z|=1上是收斂的，根據(jù)收斂域的定義，單位圓在的收斂域內(nèi)。因此，系統(tǒng)為穩(wěn)定的充要條件可以表示為：系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域包含單位圓。如果系統(tǒng)是因果的，那么穩(wěn)定性的條件是H(z)的收斂域是包含單位圓在內(nèi)的某個圓的外部，由于收斂域中不能含有極點，故H(z)的所有極點均應(yīng)在單位圓內(nèi)。因此，因果系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：H(z)的所有極點均在單位圓內(nèi)。6.5.4離散系統(tǒng)z域分析的MATLAB實現(xiàn)【例6-19】一離散系統(tǒng)的差分方程為y(n)-by(n-1)=f(n),求激勵f(n)=anU(n),y(-1)=0,求響應(yīng)y(n)。解程序代碼如下：

%programch6-19

symsnabz

f=a^n;

F=ztrans(f);

H=1/(1-b*z^(-1));

Y=H*F;

y1=iztrans(Y);

y=simplify(y1);運行結(jié)果如下：

Y=(a^(1+n)-b^(1+n))/(a-b)即。【例6-20】條件同【例6-19】，改變初始條件為y(-1)=2,求系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)。解對差分方程兩邊取單邊z變換，得Y(z)-bz-1Y(z)-by(-1)=F(z)代入y(-1)=2得到程序代碼如下：%programch6-20symsnabzF=z/(z-a);Y=(F+2*b)/(1-b*z^(-1));即。y1=iztrans(Y);y=simplify(y1);運行結(jié)果如下：y=(a^(1+n)-b^(1+n)+2*b^(1+n)*a-2*b^(2+n))/(a-b)6.5.5利用MATLAB分析H(z)的零極點與系統(tǒng)特性系統(tǒng)函數(shù)的零點和極點可以通過MATLAB函數(shù)roots得到，也可借助函數(shù)tf2zp得到，它們的調(diào)用形式為

p=roots(s)［z,p,k］=tf2zp(b,a)其中,s為多項式系統(tǒng)向量，p為極點向量，z為零點向量，k的含義同6.3節(jié)。b,a分別為系統(tǒng)函數(shù)的分子，分母多項式系數(shù)。若要獲得系統(tǒng)函數(shù)的零極點圖，可以利用zplane函數(shù)，其調(diào)用形式為

zplane(b,a)b,a含義同上?！纠?-21】已知某因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為(1)畫出系統(tǒng)的零極點圖，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；(2)求系統(tǒng)的單位樣值響應(yīng)，畫出前40個樣點；(3)求系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，畫出0~2π之間的幅度響應(yīng)和相位響應(yīng)。解程序代碼如下：%programch6-21clear;b=［010-1］;a=［1-0.50.50.2］;

subplot(2,2,1);zplane(b,a);h=impz(b,a,40);subplot(2,2,2);stem(h);title(′Impulseresponse′);xlabel(′n′);w=0:0.01*pi:2*pi;H=freqz(b,a,w);subplot(2,2,3);plot(w/pi,abs(H));title(′Magnituderesponse′);xlabel(′Frequency＼omega(unit:＼pi)′);subplot(2,2,4);plot(w/pi,angle(H));title(′Phaseresponse′);xlabel(′Frequency＼omega(unit:＼pi)′);程序運行結(jié)果如圖6-2所示。可見該系統(tǒng)的全部極點都在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖6-2

【例6-21】運行結(jié)果【例6-22】某離散因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，試用MATLAB命令求該系統(tǒng)的零極點。解程序代碼如下：

%programch6-22

b=［1,0.32］;

a=［1,1,0.16］;［z,p,k］=tf2zp(b,a)運行結(jié)果如下：z=

-0.3200p=

-0.8000

-0.2000k=

1即零點為z=-0.32，極點為p1=-0.8和p2=-0.2。【例6-23】某離散因果系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，試用MATLAB命令繪出該系統(tǒng)的零極點圖，并判斷該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解程序代碼如下：

%programch6-23

b=［10-0.36］;

a=［1-1.520.68］;

zplane(b,a);

gridon

legend(′零點′,′極點′);

title(′零極點分布圖′);運行結(jié)果如圖6-3所示。可見該系統(tǒng)的全部極點都在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。圖6-3

【例6-23】運行結(jié)果6.5.