06三角函數(shù)與解三角形綜合

06三角函數(shù)與解三角形綜合一、單選題1．若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用弦化切可求得的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值.【詳解】因?yàn)?，解得，所以?故選：A.2．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】切化弦，結(jié)合得出，然后根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，即，所以，故選：D．3．在中，“是鈍角三角形”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】注意三角形內(nèi)角和是，然后討論哪個(gè)角是鈍角即可.【詳解】若是鈍角三角形，或?yàn)殁g角時(shí)，，滿足條件，為鈍角時(shí)，，由于則，滿足條件，所以是充分條件.時(shí)，當(dāng)時(shí)，或?yàn)殁g角，為鈍角三角形.當(dāng)時(shí)，或，無解，當(dāng)時(shí)，為鈍角，為鈍角三角形，所以是必要條件.故選：A.4．已知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，然后根據(jù)條件給出的區(qū)間建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由，得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，令，則函數(shù)其中一個(gè)的單調(diào)遞減區(qū)間為：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則滿足，得，所以的取值范圍是.故選：D.5．記函數(shù)的最小正周期為T．若，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由最小正周期可得，再由即可得，即可求得.【詳解】根據(jù)最小正周期，可得，解得；又，即是函數(shù)的一條對稱軸，所以，解得.又，當(dāng)時(shí)，.故選：C6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小正周期是B．在上單調(diào)遞增C．是函數(shù)的一個(gè)對稱中心D．先將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的，再將所得的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象【答案】D【分析】化簡函數(shù)解析式，結(jié)合對稱性求出參數(shù)，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求最小正周期判斷A，驗(yàn)證單調(diào)性判斷B，驗(yàn)證是否為其對稱中心判斷C，由圖象變換得解析式，判斷D．【詳解】，因?yàn)榈膱D象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，故，所以所以，所以，所以．因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，故滿足條件，所以函數(shù)的最小正周期是，故A錯(cuò)誤；由時(shí)，可得，所以函數(shù)先增后減，故B錯(cuò)誤；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，故不是函數(shù)的對稱中心，C錯(cuò)誤；先將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來的，可得的圖象；再將所得的函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象，，D正確．故選：D.7．已知函數(shù)，若恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】D【分析】根據(jù)恒成立，可得，再結(jié)合，求得，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合整體思想即可得解.【詳解】因?yàn)楹愠闪?，所以，即，所以或，所以或，?dāng)時(shí)，，則，與題意矛盾，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以，所以，令，得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為（）.故選：D.8．已知函數(shù)，若存在，，，且，使，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由范圍可求出整體的范圍，結(jié)合的圖象，根據(jù)對稱性即可求出的值.【詳解】解：令，因?yàn)?，，，所以，，，，因?yàn)?，結(jié)合的圖象（如圖所示），得到，或，,因?yàn)?，所以，，則解得，此時(shí)，，，滿足題意，或解得，不符合題意舍去.故選：.9．在中，內(nèi)角，，所對應(yīng)的邊分別為，，，且，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義及兩角差的正切公式，結(jié)合基本不等式即可求解【詳解】過點(diǎn)作的垂線，垂足為，如圖所示因?yàn)?，所?設(shè)，則，，所以．當(dāng)時(shí)等號成立．當(dāng)時(shí)，的最大值是.故選：D.10．已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，且在上單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得及，繼而可得，計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】化簡，在時(shí)，，該區(qū)間上有零點(diǎn)，故，又時(shí)單調(diào)，則，即，故故選：C二、多選題11．已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為B．的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱C．在上單調(diào)遞減D．的值域?yàn)椤敬鸢浮緽D【分析】A選項(xiàng)，驗(yàn)證是否成立；B選項(xiàng)，驗(yàn)證是否成立，并結(jié)合函數(shù)定義域判斷；C選項(xiàng)，利用倍角公式將函數(shù)變型，結(jié)合正切函數(shù)單調(diào)性判斷；D選項(xiàng)，求出真數(shù)部分的范圍，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷.【詳解】A選項(xiàng)，由于，故不是的最小正周期，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，即，對于函數(shù)，應(yīng)有，求得，，，故函數(shù)的定義域?yàn)?，結(jié)合定義域和可知的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，，時(shí)，，故，此時(shí)，根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性在上遞增，則由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，在上遞增，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于，，故函數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，，D選項(xiàng)正確.故選：BD12．已知角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】點(diǎn)代入單位圓的方程求出點(diǎn)可得，再由弦化切可得答案.【詳解】角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故選：AC.13．已知是定義在閉區(qū)間上的偶函數(shù)，且在y軸右側(cè)的圖象是函數(shù)圖象的一部分(如圖所示)，則（

）A．的定義域?yàn)锽．當(dāng)時(shí)，取得最大值C．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為D．當(dāng)時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)和【答案】BCD【分析】先利用待定系數(shù)法求出，再根據(jù)原點(diǎn)右側(cè)的第二個(gè)零點(diǎn)為，即可判斷A；求出的值即可判斷B；求出當(dāng)時(shí)的減區(qū)間，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)即可判斷C；求出當(dāng)時(shí)的零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)為偶函數(shù)即可判斷D.【詳解】由圖得，且位于增區(qū)間上，所以，又因?yàn)?，所以，，則，得，所以，所以，由圖可知，原點(diǎn)右側(cè)的第二個(gè)零點(diǎn)為，所以的定義域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)闉樽畲笾?，則當(dāng)時(shí)，取得最大值，故B正確；當(dāng)時(shí)，令，則，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，的減區(qū)間為，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C正確；當(dāng)時(shí)，，令，得或，則或，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，有且只有兩個(gè)零點(diǎn)和，故D正確.故選：BCD.14．已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為πB．函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱C．函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增D．若，則【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)的最小正周期公式判斷A選項(xiàng)，求的對稱中心判斷B選項(xiàng)，特殊值法判斷C選項(xiàng)，求函數(shù)值域判斷D選項(xiàng).【詳解】的最小正周期為,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;的對稱中心，令,,對稱中心為，當(dāng)是對稱中心,B選項(xiàng)正確;,函數(shù)在定義域上不是單調(diào)遞增,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;當(dāng),則,可得,D選項(xiàng)正確;.故選：BD.15．已知，則下列說法正確的是（

）A．是周期函數(shù) B．有對稱軸C．有對稱中心 D．在上單調(diào)遞增【答案】ACD【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義判斷判斷A，證明，由此判斷C，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷D，結(jié)合單調(diào)性和周期的性質(zhì)作出函數(shù)在上的圖象，由此判斷B.【詳解】因?yàn)?，所以，所以函?shù)為周期函數(shù)，A正確；因?yàn)樗?，所以函?shù)為奇函數(shù)，故函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以為函數(shù)的中心對稱，C正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，D正確；由可得，當(dāng)時(shí)，由，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，由，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，作出函數(shù)在的大致圖象可得：結(jié)合函數(shù)是一個(gè)周期為的函數(shù)可得函數(shù)沒有對稱軸，B錯(cuò)誤.故選：ACD.三、填空題16．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，，則的最小值為_____________.【答案】8【分析】先由正弦定理，結(jié)合，得到，再結(jié)合“1”的代換，利用基本不等式求解.【詳解】解：因?yàn)?，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，即的最小值為8.故答案為：817．已知為銳角，，，則______【答案】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角差的正弦公式求解即可.【詳解】因?yàn)闉殇J角，且，所以所以聯(lián)立，解得，，，故答案為:.18．函數(shù)的非負(fù)零點(diǎn)按照從小到大的順序分別記為，．，若，則的值可以是__________．（寫出符合條件的一個(gè)值即可）【答案】（答案不唯一）【分析】先計(jì)算出最小正周期，從而求出，整體法求出零點(diǎn)，得到答案.【詳解】由題意得，，∵，∴，，令，即，，對取特殊值即可，取，得；取，得（答案不唯一）．故答案為：19．已知，則的值為______________．【答案】/0.5【分析】根據(jù)和差公式的逆用得，采用換元法令，則，即，結(jié)合誘導(dǎo)公式與二倍角公式即可得答案.【詳解】已知，則，所以，令，則，即，所以.故答案為：.20．若，，則______.【答案】【分析】運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡后構(gòu)造函數(shù)，研究其奇偶性，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，依據(jù)奇偶性及單調(diào)性解方程即可.【詳解】由，得，，即，.設(shè)，定義域?yàn)?則所以是上的奇函數(shù)，又因?yàn)?，所以是上的單調(diào)增函數(shù).又因?yàn)?，，所以，所以，即，所?故答案為：.四、解答題21．在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知.(1)求角的大??；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式和誘導(dǎo)公式即可求解，（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】（1），又,所以,由于為三角形的內(nèi)角，所以,（2）由于，所以,故,由于為銳角三角形，所以且，故，則，故，故的取值范圍為22．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，.(1)若，求的值；(2)在下列條件中選擇一個(gè)，判斷是否存在，如果存在，求的最小值；如果不存在，說明理由.①的面積；②；③.【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）在中用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角化簡，再根據(jù)同角的平方關(guān)系，結(jié)合角的范圍即可得出結(jié)果；（2）選①，根據(jù)面積公式結(jié)合題中等式可建立關(guān)于的等式，根據(jù)等式求出的最小值以及最小值時(shí)的邊和角即可判斷是否存在；選②，將帶入題中等式可建立關(guān)于的等式，進(jìn)而求得的最小值以及最小值時(shí)的邊和角即可判斷是否存在；選③，根據(jù)可知為直角三角形且，互余，結(jié)合正弦定理代入題中等式進(jìn)行化簡可得，顯然不成立，可得結(jié)果.【詳解】（1）解：因?yàn)?，在中由正弦定理可得，代入可得：，又，所以或，又因?yàn)?，所以，故；?）選①，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以?dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)，，，所以存在.選②，因?yàn)?，，所?所以，因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，，，此時(shí)，，，所以存在.選③，因?yàn)镃為直角，所以A，B互余，且，由，在中由正弦定理代入可得：，化簡可知，等式矛盾，故這樣的不存在.23．已知銳角中，角，，所對的邊分別為，，，且.(1)若角，求角；(2)若，求的最大值【答案】(1)(2)最大值為【分析】（1）運(yùn)用兩角和差的正余弦公式進(jìn)行化簡即可；（2）根據(jù)（1）中結(jié)論運(yùn)用正弦定理得到，然后把表示為的函數(shù)，再利用降次公式化簡，結(jié)合內(nèi)角取值范圍及求解.【詳解】（1）由題意知.所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，由角，所?（2）由（1）知，所以，，因?yàn)?，所以，由正弦定理得：，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)闉殇J角三角形，且，則有，得，所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)時(shí)，取得最大值，所以的最大值為.24．在△ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，，，．(1)求；(2)若，求內(nèi)切圓的半徑．【答案】(1)(2)2【分析】（1）設(shè)，在利用余弦定理結(jié)合已知條件即可求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論得到，然后在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面積相等即可求解.【詳解】（1）設(shè)，∴，，在中，由正弦定理可得，在中，，又，所以，∴，∴，∴．（2）∵，∴，又易知為銳角，∴，∴，，∵，∴，∴中，，又，在中，由余弦定理可得，∴．設(shè)的內(nèi)切圓半徑為r，則，則.25．已知中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，．(1)求角C；(2)若點(diǎn)D在AB邊上，且滿足，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求CD的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可得，即可求出角C；（2）由余弦定理結(jié)合均值不等式可得，可求出當(dāng)?shù)拿娣e最大值時(shí)，再由余弦定理即可求出CD的長.【詳解】（1）依題意，，由正弦定理可得，∴，所以，則，因?yàn)?，化簡得．∵，∴．?）由余弦定理得，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．此時(shí)．若的面積取到最大，則，為等邊三角形，∴，由余弦定理得，∴．26．已知在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，．(1)若BC邊上的高等于，求；(2)若，求AB邊上的中線CD長度的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得（用表示），然后利用余弦定理求得.（2）先求得，利用向量法求以及基本不等式求得長度的最小值.【詳解】（1）過作，垂足為，則，，，在三角形中，由余弦定理得.（2），，兩邊平方得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以的最小值為.27．的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，．(1)求面積的最大值；(2)若，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，由同角的三角函數(shù)關(guān)系可得，利用余弦定理可得，結(jié)合三角形的面積公式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得，解得，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，則．故，即面積的最大值為．（2）由余弦定理，，，得，即．由，得，整理得，分解得，解得，故的周長為．28．中，角的對邊分別為，從下列三個(gè)條件中任選一個(gè)作為已知條件，并解答問題.①；②；③的面積為.(1)求角A的大小；(2)求的取值范圍.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)選擇條件見解析，(2)【分析】（1）選①②時(shí)，利用正弦定理邊化角，結(jié)合三角恒等變換即可求得答案；選③時(shí)，龍三角形面積公式結(jié)合余弦定理即可求得答案；（2）方法一：利用三角恒等變換化簡為只含有一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可得答案；方法二：利用余弦定理可得，再由正弦定理邊化角，可得，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）選擇①由正弦定理可得，，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，所以，即；選擇②，則，由正弦定理得，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，所以，即；選擇③由，可得，即，所以，由于，故.（2）方法一：因?yàn)?，所以，所以，所以，即的取值范圍為方法二：由余弦定理，，再由正弦定理，，因?yàn)?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立.又因?yàn)?，，所以，即的取值范圍?29．已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若.(1)求的值；(2)若的面積為，求周長的最大值.【答案】(1)(2)12【分析】（1）法一：設(shè)，，由正弦定理得到，利用積化和差公式得到，求出答案；法二：設(shè)，，由正弦定理得到，由三角恒等變換得到，求出答案；（2）由面積公式得到，由正弦定理結(jié)合三角恒等變換得到，結(jié)合的范圍，求出最值.【詳解】（1）法一：設(shè)，，在中，由正弦定理得，，，代入已知化簡得，又在中有：，即，∵，即，所以，所以.法二：設(shè)，，在中，由正弦定理得，，，代入已知化簡得，又在中有：，即，∵，即，所以，所以.（2）在中有，，即，由正弦定理得：，故，，，因在中，，，，所以，當(dāng)時(shí)，等號成立，周長取得最大值12.30．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角的大??；(2)若，且，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用余弦定理、正弦定理化簡已知條件，由此求得.（2）正弦定理求得，根據(jù)余弦定理、三角形的面積公式求得正確答案.【詳解】（1）依題意，，由余弦定理得，則，由正弦定理得，由于，則,所以為銳角，則.（2）由正弦定理得，，由余弦定理得①，由兩邊平方得，代入①得，即，解得（負(fù)根舍去），所以.31．在中，角，，的對邊分別為，，．點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，已知，，．(1)求b；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理，邊角互化后，再結(jié)合余弦定理，即可求解；（2）由條件可知，，再結(jié)合向量數(shù)量積公式，求，再根據(jù)三角形面積公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?由正弦定理得，由余弦定理得，所以，又因?yàn)?，所以；?）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，化簡得，解得：或（舍去），因?yàn)?，所?所以.32．平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì)．如圖所示，四邊形的頂點(diǎn)在同一平面上，已知．(1)當(dāng)長度變化時(shí)，是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若否，說明理由．(2)記與的面積分別為和，請求出的最大值．【答案】(1)為定值，定值為1(2)14【分析】（1）法一：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；法二：在中由余弦定理得，在中由余弦定理得，兩式相減可得答案；（2）由面積公式可得，令轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)配方求最值即可．【詳解】（1）法一：在中，由余弦定理，得，即①，同理，在中，，即②，①②得，所以當(dāng)長度變化時(shí)，為定值，定值為1；法二：在中，由余弦定理得，即，同理，在中，，所以，化簡得，即，所以當(dāng)長度變化時(shí)，為定值，定值為1；（2），令，所以，所以，即時(shí)，有最大值為14．33．已知分別為三個(gè)內(nèi)角