數(shù)學學案：課堂導學待定系數(shù)法

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式【例1】根據(jù)下列條件求二次函數(shù)解析式.(1)該二次函數(shù)的圖象過(0，1）、(1,—3)、(-1，3)三點；（2)該二次函數(shù)的圖象過點(1,4)，且與x軸的交點為（—1，0)和（3,0）;(3)該二次函數(shù)的圖象頂點為（1，4),與x軸交于（-1，0)點。思路分析：(1）已知二次函數(shù)圖象上的三點坐標,可設一般式.(2）已知二次函數(shù)的圖象與x軸的交點，可設零點式.(3)已知二次函數(shù)圖象的頂點，可設頂點式。解：(1）設二次函數(shù)的解析式為y=ax2+bx+c，則解之，得a=—1,b=-3，c=1，即所求二次函數(shù)為y=—x2-3x+1.(2）設二次函數(shù)的解析式為y=a(x+1)（x-3)。又∵圖象過點(1，4），∴4=a2×(-2）a=-1,即所求二次函數(shù)解析式為y=-x2+2x+3。(3）設所求二次函數(shù)為y=a（x-1）2+4.又∵圖象過（-1，0)，∴0=a(—1-1)2+4a=—1，即所求二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3.二、待定系數(shù)法求一般函數(shù)的解析式【例2】f(x）=ax2+a2x+2b-a3,當x∈（-2,6）時，f（x)>0；當x∈（—∞，-2）∪(6,+∞)時，f（x）<0。求a、b及f(x)。思路分析:二次函數(shù)的零點是函數(shù)值大于0和小于0的分界點。先根據(jù)題目條件,把二次函數(shù)的零點求出來。解:當a=0時，顯然不符合題設條件，故a≠0，于是可由題設條件畫出f(x)的草圖，如右圖所示.由圖知x=-2和x=6是方程ax2+a2x+2b—a3=0的兩根，且a〈0，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系，得解之,得∴f（x）=—4x2+16x+48。溫馨提示注意二次函數(shù)與二次不等式之間的關系。三、用待定系數(shù)法解帶參變量的函數(shù)問題【例3】已知a、b為常數(shù)，若f(x）=x2+4x+3,f(ax+b）=x2+10x+24，則5a-b=_____。思路分析：利用待定系數(shù)法及代數(shù)恒等式性質，求出f（ax+b），再根據(jù)恒等式性質建立a、b的方程求解.解：∵f（x）=x2+4x+3，∴f（ax+b)=（ax+b)2+4(ax+b)+3=a2x2+（2ab+4a)x+b2+4b+3.又f(ax+b)=x2+10x+24，∴解之,得或∴5a—b=2。答案：2各個擊破類題演練1設二次函數(shù)f（x)滿足f（x+2）=f（2—x）,且f(x）=0的兩實數(shù)根平方和為10，圖象過點(0，3),求f(x）的解析式。解析:設f(x)=ax2+bx+c（a≠0）,由f(x+2）=f（2-x）知該函數(shù)的圖象關于直線x=2對稱.∴=2,即b=—4a.①又圖象過點（0，3)，∴c=3。②又x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=()2=10.∴b2-2ac=10a2。③解①②③，得a=1，b=-4，c=3,故f（x)=x2—4x+3.變式提升1若f{f［f（x)］}=27x+26,求一次函數(shù)f(x）的解析式.解析：設f（x）=ax+b,f[f(x)］=a2x+ab+b,f{f［f（x）］}=a(a2x+ab+b)+b=a3x+a2b+ab+b，∴解之,得a=3,b=2，則f(x）=3x+2.類題演練2二次不等式ax2+bx+2>0的解集是（-,)，則a+b的值是（）A.10B.—10C。14解析：令f（x）=ax2+bx+2。由題意-、是f(x）=0的兩根，∴解之，得∴a+b=-14.答案：D變式提升2設函數(shù)f(x）=若f(—4)=f（0)，f（—2）=2,則關于x的方程f（x)=x的解的個數(shù)為（)A.1B.2解析:由題意,得b=4，c=6.當x〈0時,有x2+4x+6=x,方程無解；當x>0時,x=2。答案：A類題演練3若函數(shù)f（x)=的圖象的對稱中心為（3,1）,則實數(shù)a的值為_______.思路分析：反比例函數(shù)圖象的對稱中心是原點,可利用坐標軸或圖象的平移求出f(x）的對稱中心.解：f(x)=1+,∴y—1=?！嘀行募礊?1-a，1).∴令1—a=3a=—2.答案:-2變式提升3函