數(shù)學學案：課堂導學第一講一平面直角坐標系

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂導學三點剖析一、建立平面直角坐標系解決問題我們已經(jīng)熟悉了平面直角坐標系,借此工具，討論軌跡非常方便.請看例1。【例1】兩個定點的距離為6，點M到這兩個定點的距離的平方和為26,求點M的軌跡。解：如圖。以AB所在直線為x軸,以AB中點為原點,建立平面直角坐標系，則A（-3,0),B(3，0），設(shè)動點P（x,y），由已知得|PA｜2+｜PB｜2=26，即x2+y2=4.這即是點M的軌跡方程，是以AB的中點為圓心，2為半徑的圓.溫馨提示由此可見，建立適當?shù)淖鴺讼?一些看似困難的問題就很容易解決了。各個擊破類題演練1已知A為定點，線段BC在定直線l上滑動，|BC|=4，點A到l的距離為3.求△ABC外心的軌跡方程。解：以l為x軸,過A與l垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系,則A為（0,3)，設(shè)△ABC的外心為P(x,y)。因為P是BC的中垂線上的點,故B，C坐標分別為（x—2,0），（x+2,0).因P在線段AB的中垂線上,故|PA|=|PB｜，即，即x2-6y+5=0.變式提升1證明三角形的三條高線交于一點.證明:如圖，△ABC，則AD,BE，CO分別是△ABC的三條高，取邊AB所在的直線為x軸，CO所在的直線為y軸,建立坐標系.設(shè)BE交AD于點H（x,y)，A（-a,0，),B(b，0）,C（0，c),則=(x-b，y),=（x+a，y),=（-b,c），=(a，c）?！摺汀?0,即a(x—b)+cy=0，①∵⊥·=0,故（-b）(x+a）+cy=0,②①-②得（a+b)x=0?！遖+b≠0,∴x=0.∴H在AB的高線上，即△ABC三條高線交于一點。二、坐標變換問題【例2】在同一平面直角坐標系中，求下列方程所對應的圖形經(jīng)過伸縮變換后的圖形。①y2=2x；②y=3sin2x。解：由伸縮變換得y′。(*）①將（*)代入y2=2x,得(y′）2=2·（2x′）.∴y′2=64x′.∴經(jīng)過伸縮變換后拋物線y2=2x變成了拋物線y′2=64x′。②將(＊)代入y=3sin2x，得y′=3sin2·（2x′），∴y′=12sin4x′.∴經(jīng)過伸縮變換后,曲線y=3sin2x變成了曲線y′=12sin4x′。類題演練2將曲線C按伸縮變換公式變換后的曲線方程為x′2+y′2=1,則曲線C的方程為（)A。=1B.=1C.4x2+9y2=36D。4x2+9y2=1解析:將代入方程x′2+y′2=1，得4x2+9y2=1。故選D。答案：D變式提升2已知f1(x）=cosx，f2(x）=cosωx（ω>0）,f2(x）的圖象可以看作是把f1（x)的圖象在其所在的坐標系中的橫坐標壓縮到原來的倍(縱坐標不變)而得到的，則ω為(）A.B。2C。3解析:f1（x）=cosx→f2（x）=cos3x.∴ω=3，選C.答案：C三、利用直角坐標系解決應用題【例3】某河上有拋物線型拱橋,當水面距拱頂5m時,水面寬8m，一木船寬4m,高2m,載貨后木船露在水面上的部分高為m，問水面漲到與拋物線拱頂相距多少米時，木船開始不能通航？解：以水平面與拱的截面的交線為x軸,以該交線的中點為原點建立平面直角坐標系,如圖。由題意,點A（-4,0），B（4，0)，C（0，5）.則可設(shè)拋物線為y=ax2+c.∴把A，C代入得16a+c=0且c=5.∴a=?！鄖=x2+5。當船沿拱的中心方向通過時,D為（—2，0)，代入得y=·4+5=，即拱到水平面的高為m。又船高2m，∴水面上漲的余地為-2=，若保證船通過，則水平面漲到與拱頂相距m時，船開始不能通航，其中=5-.類題演練3某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知,從2月1日起的300天內(nèi),西紅柿市場售價與上市時間的關(guān)系用圖(1）的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關(guān)系用圖(2)的拋物線表示.(1)寫出圖(1)表示的市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系式P=f（t);寫出圖（2）表示的種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t）.（2)認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？（注:市場售價和種植成本的單位：元/102千克,時間單位：天）解：(1)由題圖（1）可得市場售價與時間的函數(shù)關(guān)系為f（t)=由題圖(2）可得種植成本與時間的函數(shù)關(guān)系為g(t)=（t-150）2+100,0≤t≤300.(2)設(shè)t時刻的純收益為h(t)，則由題意得h(t）=f(t）—g(t)，即h(t)=，當0≤t≤200時,配方整理得h(t)=（t-50)2+100，所以當t=50時，h（t）取得區(qū)間［0,200］上的最大值100;當200<t≤300時,配方整理得h(t）=(t-350）2+100.所以當t=