角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理 (公開課)

角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理(公開課)角平分線的性質(zhì)定理(第一課時)一、自覺思考1、激發(fā)好奇心學(xué)問，學(xué)問，首先學(xué)“問”！對于角平分線，你已經(jīng)知道了什么？你還想知道什么？我們應(yīng)該從哪些方面來研究

“角平分線的性質(zhì)定理”2、復(fù)習(xí)舊知1、角平分線的概念2、點(diǎn)到直線距離一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。從直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。（角度打五折）1、做一做：大家來猜想一下有什么樣的結(jié)論成立？角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等角平分線的性質(zhì)定理二、探究導(dǎo)學(xué)證明：已知:如圖,OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分別是D,E.求證:PD=PE.DPEAOBC12定理應(yīng)用所具備的條件：（1）角的平分線（2）點(diǎn)在該平分線上（3）垂直距離定理的作用（兩組等量轉(zhuǎn)化的秘密通道）：（角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等）推理的理由有三個，必須寫完全，不能少了任何一個。2、定理解讀文字語言：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等幾何語言：一組角相等轉(zhuǎn)化成一組線段相等題設(shè)：一個點(diǎn)在一個角的平分線上結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等∵OP平分∠AOB(或∠1=∠2)

且PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PEDPEAOBC12(1)∵AD平分∠BAC（已知）

∴DB=DC(

角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等

)×判斷：深入理解定理(2)∵DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

×(3)∵AD平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）不必再證全等√∴DB=DC(

角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等

)∴DB=DC(

角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等

)三、定理應(yīng)用1、如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上的一個動點(diǎn)，若PA=2，則（1）P到OM距離是多少？（2）PQ的最小值為多少？

2、如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于點(diǎn)D，AB=10，S△ABD=15，則CD的長為多少？3、如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E。求證：△DBE的周長等于線段AB的長。ABCDE3、如圖，直線a，b，c表示三條互相交叉的公路。現(xiàn)在要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）處。△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，滿足這個條件的點(diǎn)有1個?！鰽BC兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，滿足這個條件的點(diǎn)有3個。綜上，到三條公路的距離相等的點(diǎn)有4個。3、如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，∠B+∠D=180°，求證：BC=CD（1）首先想角平分線定理，一條角平分線用一次，兩條用兩次，三