北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

北京市房山區(qū)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1.已知集合，則（）A. B. C. D.2.下列函數(shù)值中，在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)的是（）A. B. C. D.3.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以O(shè)x為始邊，終邊與單位圓交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.4.已知向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則（）A.4 B. C. D.5.不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.6.的零點(diǎn)一定位于以下的區(qū)間為（）A. B. C. D.7.若且，則與的夾角是（）A. B. C. D.8.我國(guó)油紙傘的制作工藝巧妙.如圖（1），傘不管是張開(kāi)還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動(dòng).如圖（2），傘完全收攏時(shí)，傘圈已滑動(dòng)到的位置，且A、B、三點(diǎn)共線，為的中點(diǎn)，當(dāng)傘從完全張開(kāi)到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離為24cm，則當(dāng)傘完全張開(kāi)時(shí)，的余弦值是（）A. B. C. D.9.已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則函數(shù)的圖象為（）A. B. C. D.10.若可以作為一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“穩(wěn)定函數(shù)”.已知函數(shù)是區(qū)間上的“穩(wěn)定函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.二、填空題11.函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___________.12.已知，則的值為_(kāi)___________.13.已知向量.若存在實(shí)數(shù)，使得與的方向相同，則的一個(gè)取值為_(kāi)______.14.函數(shù)的最小正周期為_(kāi)___________；若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值為_(kāi)___________.14.已知函數(shù)其中且.給出下列四個(gè)結(jié)論：①若，則函數(shù)的零點(diǎn)是0；②若函數(shù)無(wú)最小值，則的取值范圍為；③若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；④若關(guān)于的方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為，且的取值范圍為.其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________.三、解答題16.已知函數(shù).（1）求的值（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值.17.已知四棱錐中，底面ABCD是正方形，是正三角形，平面分別是的中點(diǎn).（1）求證：平面ABCD；（2）求平面EFG與平面ABCD夾角的大?。?8.某商家為了促銷，規(guī)定每位消費(fèi)者均可免費(fèi)參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，活動(dòng)規(guī)則如下：在一不透明紙箱中有8張相同的卡片，其中4張卡片上印有“幸”字，另外4張卡片上印有“運(yùn)”字.消費(fèi)者從該紙箱中不放回地隨機(jī)抽取4張卡片，若抽到的4張卡片上都印有同一個(gè)字，則獲得一張10元代金券；若抽到的4張卡片中恰有3張卡片上印有同一個(gè)字，則獲得一張5元代金券；若抽到的4張卡片是其他情況，則不獲得任何獎(jiǎng)勵(lì).（1）求某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的4張卡片上都印有“幸”字的概率；（2）記隨機(jī)變量X為某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得代金券的金額數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；（3）該商家規(guī)定，消費(fèi)者若想再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，則每抽獎(jiǎng)一次需支付3元.若你是消費(fèi)者，是否愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)？請(qǐng)說(shuō)明理由.19.在中，.（1）求；（2）在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，并求的面積.條件①：；條件②：BC邊上中線的長(zhǎng)為；條件③：.注：如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.20.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）當(dāng)時(shí)，求證：；21.已知函數(shù).（I）求證：1是函數(shù)的極值點(diǎn)；（II）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求證：.

參考答案一、單選題1.【答案】C【詳解】，又則故選C2.【答案】D【詳解】由一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增；由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增；由冪函數(shù)的性質(zhì)可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增；結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故選：D.3.【答案】C【詳解】依題意得，又因?yàn)?，所以?故選：C.4.【答案】C【詳解】由圖形可知：，.故選：C.5.【答案】A【詳解】不等式，則是成立的一個(gè)充分不必要條件.故選：A6.【答案】B【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間.故選：B.7.【答案】B【詳解】解：設(shè)與的夾角是且，..故選：B.8.【答案】A【詳解】依題意分析可知，當(dāng)傘完全張開(kāi)時(shí)，，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，，當(dāng)傘完全收攏時(shí)，，所以，，在中，，所以，.故選：A.9.【答案】B【詳解】因，則，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，的最小值為1，則，函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，只有B選項(xiàng)滿足.故選：B10.【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，又，由“穩(wěn)定函數(shù)”定義可知：，即，解得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.二、填空題11.【答案】【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12.【答案】-3【詳解】因?yàn)?，所?故答案為：-3.13.【答案】（答案不唯一，小于1的實(shí)數(shù)均可）【詳解】與方向相同，，由得：存在實(shí)數(shù)，使得與方向相同.故答案為：0（答案不唯一，小于1的實(shí)數(shù)均可）.14.【答案】 【詳解】，故，當(dāng)時(shí)，，故，解得.故答案為：.15.【答案】①④【詳解】對(duì)于①：當(dāng)時(shí)，顯然，當(dāng)時(shí)，無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由可得，所以的零點(diǎn)是0.故（1）正確；對(duì)于②：當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)圖如下：當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)圖如下：當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)圖如下：當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)圖如下：由圖可知，若無(wú)最小值，則或.故②錯(cuò)誤；對(duì)于③：由圖可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間和上單調(diào)遞增.故③錯(cuò)誤；對(duì)于④：由圖可知，只有當(dāng)且即時(shí)，方程才有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.不妨設(shè)三個(gè)根由小到大依次為，顯然.由得，故，且，所以，故，從而.故④正確.故答案為：①④.三、解答題16【詳解】（1）函數(shù)化簡(jiǎn)可得，（2），，所以即時(shí)，即時(shí)，取最小值-2；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值1.17.【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD所以，平面平面ABCD又是正三角形，O為AD中點(diǎn)所以又平面平面平面PAD所以，平面ABCD（2）連接OF，因?yàn)镋、F、G、O分別是PC、PD、BC、AD的中點(diǎn)所以，所以E、F、G、O四點(diǎn)共面因?yàn)槠矫鍼AD，所以平面PAD又平面平面PAD所以平面EFG與平面ABCD夾角的平面角為又是正三角形，所以18.【詳解】（1）解：記“某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的4張卡片上都印有‘幸’字”為事件A，則，所以某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的4張卡片上都印有“幸”字的概率為；（2）解：依題意隨機(jī)變量的所有可能取值為0、5、10；則，，，所以的分布列為：0510所以（3）解：記隨機(jī)變量為消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中的收益，則，所以，所以我不愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)；19.【詳解】（1）因?yàn)?，在中，由正弦定理，可得：，又因?yàn)?，所?（2）選擇條件①；由以及余弦定理得，該方程無(wú)解，故此時(shí)三角形不存在，故不能選擇條件①選擇條件②設(shè)BC邊上的中線為AD，則，在中，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，所以的面積為.選擇條件③方法1：由題設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，所以，所以，由余弦定理可得：，整理得，解得或（舍），因?yàn)椋?，所以的面積為.方法2：由題設(shè)，因?yàn)椋?，因?yàn)椋栽谥?，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以的面積為.方法3：因?yàn)榍宜曰?，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋约?，所以為等腰三角形，設(shè)AC邊上的高為BD，則，由勾股定理，所以的面積為.20.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，令，即，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；因此在處取得極大值，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，在處取得極大值，且極大值為1；（2）要證，即證，因此設(shè)，則，令，則，因?yàn)?，所以，因此單調(diào)遞減，且，所以時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；即時(shí)