專題08函數(shù)的基本性質(zhì)（知識(shí)精講）（原卷版）

專題八函數(shù)的基本性質(zhì)知識(shí)精講一知識(shí)結(jié)構(gòu)圖內(nèi)容考點(diǎn)關(guān)注點(diǎn)函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性相對(duì)于區(qū)間而言利用單調(diào)性解不等式函數(shù)的定義域函數(shù)的奇偶性定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱奇偶性、單調(diào)性的綜合運(yùn)用單調(diào)性的不同二.學(xué)法指導(dǎo)1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解；(2)利用函數(shù)的圖象．2.利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟1取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2.2作差變形：作差fx1－fx2，并通過因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子.3定號(hào)：確定fx1－fx2的符號(hào).4結(jié)論：根據(jù)fx1－fx2的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性.3．函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上是減(增)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè)．4.判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法(1)定義法：(2)圖象法：5.利用奇偶性求參數(shù)的常見類型及策略1定義域含參數(shù)：奇、偶函數(shù)fx的定義域?yàn)閇a，b]，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用a＋b＝0求參數(shù).2解析式含參數(shù)：根據(jù)f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比較系數(shù)即可求解.6.利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法1“求誰設(shè)誰”，既在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè).2要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.3利用fx的奇偶性寫出－fx或f－x，從而解出fx.7、解有關(guān)奇函數(shù)fx的不等式fa＋fb<0，先將fa＋fb<0變形為fa<－fb＝f－b，再利用fx的單調(diào)性去掉“f”，化為關(guān)于a，b的不等式.另外，要特別注意函數(shù)的定義域.,由于偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性相反，所以我們要利用偶函數(shù)的性質(zhì)fx＝f|x|＝f－|x|將fgx中的gx全部化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用單調(diào)性去掉符號(hào)f，使不等式得解.三.知識(shí)點(diǎn)貫通知識(shí)點(diǎn)1函數(shù)的單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．例1.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)．(1)f(x)＝－eq\f(1,x)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明1.增函數(shù)與減函數(shù)的定義條件一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I：如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)結(jié)論那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖示例題2：試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f(x)＝eq\f(2x,x－1)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．知識(shí)點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用1.?x1，x2∈D，f(x)在D上遞增，則f(x1)<f(x2)?x1<x2.?x1，x2∈D，f(x)在D上遞增，則f(x1)<f(x2)?x1>x2.例題3.(1)若函數(shù)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在區(qū)間(－∞，3]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(2)已知函數(shù)y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為________．知識(shí)點(diǎn)四利用函數(shù)的單調(diào)性求最值(值域)1.函數(shù)最大值與最小值的定義最大值最小值條件設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：?x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M是函數(shù)y＝f(x)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)例題4．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(2)求該函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的最大值和最小值．知識(shí)點(diǎn)五函數(shù)奇偶性的判斷1.函數(shù)的奇偶性的定義奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I結(jié)論f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)圖象特點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱例題5.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,0，x＝0，,x＋1，x>0.))知識(shí)點(diǎn)六奇偶性應(yīng)用1.奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。2.函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)=f(x);函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)=f(x)。例題6.（1）若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1,2a]，則a＝________，b＝________；(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，則f(3)＝________.知識(shí)點(diǎn)七函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合問題1.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在y軸兩側(cè)的單調(diào)性相同；2.偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，在y軸兩側(cè)的單調(diào)性不相同。例題7函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是增函數(shù)，f(3)<f(2a＋1)，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)>1 B．a(chǎn)<－2C．a(chǎn)>1或a<－2 D．－1<a<2五易錯(cuò)點(diǎn)分析易錯(cuò)一由單調(diào)性比較大小，忽略函數(shù)的定義域例題8.已知函