2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第七章隨機變量及其分布7.5正態(tài)分布教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE7.5正態(tài)分布新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求1.通過誤差模型,了解聽從正態(tài)分布的隨機變量.通過詳細實例、借助頻率分布直方圖的幾何直觀,了解正態(tài)分布的特征.2.了解正態(tài)分布的均值、標(biāo)準(zhǔn)差、方差及其含義.1.了解正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概念.(數(shù)學(xué)抽象)2.了解概率密度函數(shù),理解正態(tài)曲線的性質(zhì).(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)3.會利用正態(tài)曲線的性質(zhì)解決簡潔的求概率或面積問題.(邏輯推理、數(shù)學(xué)運算)4.會求正態(tài)分布在給定區(qū)間的概率,能利用正態(tài)分布學(xué)問解決實際問題.(數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算)必備學(xué)問·素養(yǎng)奠基1.正態(tài)分布(1)正態(tài)密度函數(shù),刻畫隨機誤差的函數(shù)f(x)=QUOTE,x∈R,其中μ∈R,σ>0為參數(shù).對隨意的x∈R,f(x)>0,它的圖象在x軸的上方,x軸和曲線之間的區(qū)域為面積1,我們稱f(x)為正態(tài)密度函數(shù).(2)正態(tài)密度曲線:正態(tài)密度函數(shù)的圖象為正態(tài)密度曲線,簡稱正態(tài)曲線.(3)正態(tài)分布:①定義:若隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x),則稱隨機變量X聽從正態(tài)分布;②記作:X～N(μ,σ2);③特例:當(dāng)μ=0,σ=1時,稱隨機變量X聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若X～N(μ,σ2),怎樣表示上圖中陰影A,B的面積?提示:陰影A的面積P(X≤x);陰影B的面積P(a≤X≤b).2.正態(tài)曲線的特點(1)曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對稱;(2)曲線在x=μ處達到峰值QUOTE;(3)當(dāng)QUOTE無限增大時,曲線無限接近于x軸.μ,σ取值不同對正態(tài)曲線有何影響?提示:當(dāng)參數(shù)σ取固定值時,正態(tài)曲線的位置由μ確定,且隨著μ的改變而沿x軸平移;當(dāng)μ取定值時,當(dāng)σ較小時,峰值高,曲線“瘦小”,表示隨機變量x的分布比較集中,當(dāng)σ較大時,峰值低,曲線“矮胖”,表示隨機變量x分布比較分散.3.X～N(μ,σ2)在區(qū)間[μ-kσ,μ+kσ]上的概率(1)概率:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973(2)3σ原則:通常認為聽從正態(tài)分布N(μ,σ2)的隨機變量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)正態(tài)曲線是一條鐘形曲線.()(2)正態(tài)曲線在x軸的上方,并且關(guān)于直線x=σ對稱.()(3)ΦQUOTE=0.8413.()提示:(1)√.由正態(tài)分布曲線的形態(tài)可知該說法正確.(2)×.正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱.(3)×.ΦQUOTE=PQUOTE=0.5+0.3413+0.1359=0.9772.2.設(shè)X～N(10,0.64),則D(X)等于()A.0.8 B.0.64 C.0.642 D.6.4【解析】選B.因為X～N(10,0.64),所以D(X)=0.64.3.已知正態(tài)總體落在區(qū)間(0.2,+∞)上的概率是0.5,那么相應(yīng)的正態(tài)曲線f(x)在x=________時,達到最高點.

【解析】由正態(tài)曲線關(guān)于直線x=μ對稱和在區(qū)間(0.2,+∞)上的概率為0.5,得μ=0.2.答案:0.2關(guān)鍵實力·素養(yǎng)形成類型一利用正態(tài)曲線求面積或概率【典例】設(shè)隨機變量X～N(2,9),若P(X>c+1)=P(X<c-1).(1)求c的值;(2)求曲線與x軸在區(qū)間QUOTE內(nèi)所圍的面積;(3)求P(-4≤X≤8)的值.【思維·引】利用正態(tài)曲線的對稱性與在特別區(qū)間的面積(概率)求解.【解析】由X～N(2,9)可知,μ=2,σ=3.(1)正態(tài)曲線關(guān)于直線x=2對稱(如圖所示).因為P(X>c+1)=P(X<c-1),故有2-(c-1)=(c+1)-2,所以c=2.(2)依據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,所求面積為區(qū)間QUOTE對應(yīng)的面積的2倍,即約為0.6827.(3)P(-4≤X≤8)=P(2-2×3≤X≤2+2×3)=P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.【內(nèi)化·悟】利用正態(tài)曲線求概率須要弄清哪些問題?提示:(1)μ,σ的取值;(2)畫出正態(tài)曲線.【類題·通】利用正態(tài)分布求概率的兩個方法1.對稱法:由于正態(tài)曲線是關(guān)于直線x=μ對稱的,且概率的和為1,故關(guān)于直線x=μ對稱的區(qū)間上概率相等.如:(1)P(X<a)=1-P(X≥a);(2)P(X<μ-a)=P(X>μ+a).2.“3σ”法:利用X落在區(qū)間[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]內(nèi)的概率分別是0.6827,0.9545,0.9973求解.【習(xí)練·破】1.正態(tài)曲線與x軸在區(qū)間QUOTE內(nèi)所圍的面積為()A.0.5B.0.3413C.0.15865D.0.0215【解析】選C.依據(jù)正態(tài)曲線的對稱性,所求區(qū)間的面積約為QUOTE=0.15865.2.已知隨機變量X～N(2,σ2),若P(X<a)=0.32,則P(a≤X≤4-a)=________.

【解析】由正態(tài)分布圖像的對稱性可得:P(a≤X≤4-a)=1-2P(X<a)=0.36.答案:0.36類型二實際問題中的正態(tài)分布角度1求給定區(qū)間的概率【典例】數(shù)學(xué)考試試卷滿分是150分,設(shè)在一次考試中,某班學(xué)生的分數(shù)X近似聽從正態(tài)分布,且均值為110,標(biāo)準(zhǔn)差為20.求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中分數(shù)在90分以上的概率.【思維·引】將P(X≥90)轉(zhuǎn)化為P(X≥μ-σ),然后利用對稱性及概率和為1,得到2P(X≤μ-σ)+0.6827=1,進而求出P(X≥90)的值.【解析】由題意可知,分數(shù)X～N(110,202),μ=110,σ=20,P(X≥90)=P(X≥110-20)=P(X≥μ-σ),因為P(X≤μ-σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(X≥μ+σ)=2P(X≤μ-σ)+0.6827=1,所以P(X≤μ-σ)=0.15865,所以P(X≥90)=1-P(X≤μ-σ)=1-0.15865=0.84135.【素養(yǎng)·探】★本例考查實際問題中利用正態(tài)分布求概率,同時考查直觀想象與數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).本例條件不變,若這個班的學(xué)生共54人,求這個班在這次數(shù)學(xué)考試中130分以上的人數(shù).【解析】因為P(X≥130)=P(X≥110+20)=P(X≥μ+σ),所以P(X≤μ-σ)+P(μ-σ≤X≤μ+σ)+P(X≥μ+σ)=0.6827+2P(X≥μ+σ)=1,所以P(X≥μ+σ)=0.15865,即P(X≥130)=0.15865.所以54×0.15865≈9(人),即130分以上的人數(shù)約為9人.角度2實際應(yīng)用問題【典例】某設(shè)備在正常運行時,產(chǎn)品的質(zhì)量聽從正態(tài)分布,其參數(shù)為μ=1000g,σ2=1,為了檢驗設(shè)備運行是否正常,質(zhì)量檢驗員須要隨機地抽取產(chǎn)品,測量其質(zhì)量.當(dāng)檢驗員隨機地抽取一個產(chǎn)品,測得其質(zhì)量為1007g時,他馬上要求停止生產(chǎn),檢查設(shè)備.他的確定是否有道理呢?【思維·引】求出概率,通過概率值說明緣由.【解析】假如設(shè)備正常運行,產(chǎn)品質(zhì)量聽從正態(tài)分布N(μ,σ2),依據(jù)3σ原則可知,產(chǎn)品質(zhì)量在μ-3σ=1000-3=997g和μ+3σ=1000+3=1003g之間的概率為0.9973,而質(zhì)量超出這個范圍的概率只有0.003,這是一個幾乎不行能出現(xiàn)的事務(wù).但是檢驗員隨機抽取的產(chǎn)品為1007g,這說明設(shè)備的運行有可能不正常,因此檢驗員的確定是有道理的.【類題·通】解答正態(tài)分布的實際應(yīng)用題的關(guān)注點(1)方法:轉(zhuǎn)化法,把一般的區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ區(qū)間,由特別區(qū)間的概率值求出.(2)理論基礎(chǔ):①正態(tài)曲線的對稱性;②曲線與x軸之間的面積為1;③P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的概率值.【習(xí)練·破】1.紅外線自動測溫門能有效避開測溫者與被測溫者的近距離接觸,降低潛在的病毒感染風(fēng)險,為防控新冠肺炎,某廠生產(chǎn)的紅外線自動測溫門,其測量體溫誤差聽從正態(tài)分布N(0.1,0.32),從已經(jīng)生產(chǎn)出的測溫門中隨機取出一件,則其測量體溫誤差在區(qū)間(0.4,0.7]內(nèi)的概率為()(附:若隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(μ,σ).則P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)=0.6827,P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)=0.9545)A.0.3174B.0.2718C.0.1359D.0.0456【解析】選C.由紅外線自動測溫門測量體溫誤差聽從正態(tài)分布N(0.1,0.32),得μ=0.1,σ=0.3.所以測量體溫誤差在區(qū)間(0.4,0.7]內(nèi)的概率為:P(0.4<ξ≤0.7)=P(μ+σ<ξ≤μ+2σ)=QUOTE[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]=0.1359.2.某人從某城市的南郊乘公交車前往北區(qū)火車站,由于交通擁擠,所需時間X(單位:分)近似聽從正態(tài)分布X～N(50,102),求他在(30,60]分內(nèi)趕到火車站的概率.【解析】因為X～N(50,102),所以μ=50,σ=10.所以P(30<X≤60)=P(30<X≤50)+P(50<X≤60)=QUOTEP(μ-2σ<X≤μ+2σ)+QUOTEP(μ-σ<X≤μ+σ)≈QUOTE×0.9545+QUOTE×0.6827=0.8186.即他在(30,60]分內(nèi)趕到火車站的概率是0.8186.類型三標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布【典例】設(shè)隨機變量X～N(0,1),(1)求ΦQUOTE的值;(2)若ΦQUOTE=0.6628,求ΦQUOTE.【思維·引】弄清ΦQUOTE的含義,由正態(tài)曲線的對稱性求解.【解析】(1)因為X～N(0,1),所以ΦQUOTE=PQUOTE=QUOTE≈QUOTE=0.0135.(2)因為X～N(0,1)且ΦQUOTE=0.6628,所以由ΦQUOTE+ΦQUOTE=1得,ΦQUOTE=1-ΦQUOTE=1-0.6628=0.3372.【內(nèi)化·悟】聽從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題與正態(tài)分布的概率的求解方法相同嗎?提示:相同.【類題·通】求標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率問題的關(guān)注點(1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)曲線特點:關(guān)于y軸對稱,σ=1;(2)ΦQUOTE的含義:ΦQUOTE=PQUOTE;(3)解題思路:①當(dāng)a=±1,±2,±3時,利用P(μ-σ≤X≤μ+σ),P(μ-2σ≤X≤μ+2σ),P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)的概率值求解;②當(dāng)a為其他值時,可查表求解.【習(xí)練·破】設(shè)隨機變量X聽從正態(tài)分布N(0,1),已知ΦQUOTE=0.4286,求PQUOTE.【解析】由正態(tài)曲線的對稱性知,ΦQUOTE=PQUOTE=PQUOTE=0.4286,所以PQUOTE=PQUOTE=1-2PQUOTE=1-2×0.4286=0.1428.【加練·固】設(shè)隨機變量X～N(0,1),ΦQUOTE=0.5987,ΦQUOTE=0.6950,求:(1)ΦQUOTE;(2)PQUOTE.【解析】(1)ΦQUOTE=1-ΦQUOTE=1-0.5987=0.4013.(2)PQUOTE=PQUOTE-PQUOTE=ΦQUOTE-ΦQUOTE=0.6950-0.5987=0.0963.課堂檢測·素養(yǎng)達標(biāo)1.設(shè)兩個正態(tài)分布N(μ1,QUOTE)(σ1>0)和N(μ2,QUOTE)(σ2>0)的概率密度函數(shù)圖像如圖所示,則有()A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2【解析】選A.依據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì):對稱軸方程x=μ,σ表示正態(tài)曲線的形態(tài).由題圖可得選項A正確.2.已知隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(3,σ2),則P(ξ<3)等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.因為ξ～N(3,σ2),所以ξ=3為正態(tài)分布的對稱軸,所以P(ξ<3)=QUOTE.3.若隨機變量ξ聽從正態(tài)分布N(0,1),已知P(ξ<-1.9)=0.028,則P(ξ<1.9)=()A.0.028 B.0.056 C.0.9