2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題3.1函數(shù)的概念及其表示知識(shí)點(diǎn)講解含解析

專題3.1函數(shù)的概念及其表示【考綱解讀與核心素養(yǎng)】1．了解函數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)潔的函數(shù)的定義域和值域.2．理解函數(shù)的三種表示法：解析法、圖象法和列表法.3．了解簡(jiǎn)潔的分段函數(shù)，會(huì)用分段函數(shù)解決簡(jiǎn)潔的問(wèn)題.4.本節(jié)涉及全部的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等.5．高考預(yù)料：（1）分段函數(shù)的應(yīng)用,要求不但要理解分段函數(shù)的概念，更要駕馭基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)．（2）函數(shù)的概念，常常與函數(shù)的圖象和性質(zhì)結(jié)合考查.6.備考重點(diǎn)：（1）理解函數(shù)的概念、函數(shù)的定義域、值域、函數(shù)的表示方法；（2）以分段函數(shù)為背景考查函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)問(wèn)題.【學(xué)問(wèn)清單】1．函數(shù)的概念函數(shù)兩個(gè)集合A，B設(shè)A，B是兩個(gè)非空數(shù)集對(duì)應(yīng)關(guān)系f：A→B假如依據(jù)某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的隨意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)2．函數(shù)的定義域、值域(1)在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.(2)假如兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一樣，則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù).3．分段函數(shù)(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個(gè)不同的式子來(lái)表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).(2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù).【典例剖析】高頻考點(diǎn)一函數(shù)的概念【典例1】（2024·洪洞縣第一中學(xué)高三期中（文））下面各組函數(shù)中是同一函數(shù)的是（）A．與B．與C．與D．與【答案】D【解析】因?yàn)檫x項(xiàng)A中，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，選項(xiàng)B中定義域不同，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，選項(xiàng)C中，定義域不同，選項(xiàng)D中定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，故選D.【典例2】在下列圖形中，表示y是x的函數(shù)關(guān)系的是________．【答案】①②【解析】由函數(shù)定義可知，自變量對(duì)應(yīng)唯一的值，所以③④錯(cuò)誤，①②正確．【規(guī)律方法】函數(shù)的三要素中，若定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，則值域肯定相同．因此推斷兩個(gè)函數(shù)是否相同，只需推斷定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系是否分別相同．【變式探究】1.，則與表示同一函數(shù)的是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C【解析】A中:;B中:;C中：，，；D中：,因此選C.2.（2025屆江西省檢測(cè)考試（二））設(shè)，，函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的圖象可以是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因?yàn)槎x域?yàn)椋陨崛;因?yàn)橹涤驗(yàn)?，所以舍去D;因?yàn)閷?duì)于定義域內(nèi)每一個(gè)x有且只有一個(gè)y值，所以去掉C；選B.【易混辨析】1.推斷兩個(gè)函數(shù)是否為相同函數(shù)，留意把握兩點(diǎn)，一看定義域是否相等，二看對(duì)應(yīng)法則是否相同．2.從圖象看，直線x=a與圖象最多有一個(gè)交點(diǎn).高頻考點(diǎn)二：求函數(shù)的定義域【典例3】（2024·江蘇高考真題）函數(shù)的定義域是_____.【答案】.【解析】由已知得,即解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?【典例4】（2024·河南省鄭州一中高二期中（文））已知函數(shù)定義域是，則的定義域是（）A．[0,] B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)定義域是所以所以，解得：故函數(shù)的定義域是[0,]故選：A【典例5】（2024·邵陽(yáng)市第十一中學(xué)高一期中）已知函數(shù)的定義域是,則函數(shù)的定義域是()A. B. C. D.無(wú)法確定【答案】C【解析】由已知，，即函數(shù)的定義域是，故選：C．【規(guī)律方法】1.已知函數(shù)的詳細(xì)解析式求定義域的方法(1)若f(x)是由一些基本初等函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算構(gòu)成的，則它的定義域?yàn)楦骰境醯群瘮?shù)的定義域的交集．(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：先由外層函數(shù)的定義域確定內(nèi)層函數(shù)的值域，從而確定對(duì)應(yīng)的內(nèi)層函數(shù)自變量的取值范圍，還須要確定內(nèi)層函數(shù)的定義域，兩者取交集即可．2．抽象函數(shù)的定義域的求法(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，則復(fù)合函數(shù)f(g(x))的定義域由a≤g(x)≤b求出．(2)若已知函數(shù)f(g(x))的定義域?yàn)閇a，b]，則f(x)的定義域?yàn)間(x)在x∈[a，b]時(shí)的值域．【變式探究】1.（2024·山東省章丘四中高三月考）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【答案】C【解析】故答案選C2．（2024·福建省福州第一中學(xué)高三）已知函數(shù)的定義域?yàn)閇0，2]，則的定義域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域是[0，2]，要使函數(shù)有意義,需使有意義且.所以解得故答案為C【特殊提示】求函數(shù)的定義域，往往要解不等式或不等式組，因此，要嫻熟駕馭一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢記不等式的性質(zhì)，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合思想，借助數(shù)軸解題.另外，函數(shù)的定義域、值域都是集合，要用適當(dāng)?shù)谋硎痉椒右员磉_(dá)或依據(jù)題目的要求予以表達(dá)．高頻考點(diǎn)三：求函數(shù)的解析式【典例6】（2024·天津南開中學(xué)高一期中）設(shè)函數(shù)滿意，則的表達(dá)式為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)，則，所以，所以，故選C．【典例7】（2024·安徽省毛坦廠中學(xué)高三月考（理））已知二次函數(shù)，滿意，.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求在區(qū)間上的最大值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）5；（3）.【解析】（1）由，得，由，得，故，解得，所以.（2）由（1）得：，則的圖象的對(duì)稱軸方程為，又，，所以當(dāng)時(shí)在區(qū)間上取最大值為5.（3）由于函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，因?yàn)榈膱D象的對(duì)稱軸方程為，所以或，解得：或，因此的取值范圍為：.【規(guī)律方法】1.已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式．2.已知函數(shù)圖象，用待定系數(shù)法求解析式，假如圖象是分段的，要用分段函數(shù)表示．3.已知求，或已知求，用代入法、換元法或配湊法．4.若與或滿意某個(gè)等式，可構(gòu)造另一個(gè)等式，通過(guò)解方程組求解．5.應(yīng)用題求解析式可用待定系數(shù)法求解．【變式探究】1.（2025屆安徽省安慶市第一中學(xué)）已知單調(diào)函數(shù)，對(duì)隨意的都有，則()A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】設(shè)，則，且，令，則，解得，∴，∴．故選C．2．（2024·江蘇省高三專題練習(xí)）已知，，（），__________．【答案】【解析】高頻考點(diǎn)四：求函數(shù)的值域

【典例8】（2024·浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高一期中）函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢． B． C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)），的值域?yàn)?故選：.【典例9】（2024·甘肅省武威十八中高三期末（理））高斯是德國(guó)聞名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如：，，已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是__________【答案】【解析】依題意，由于，故，即的值域?yàn)?，所以函?shù)的值域是.故填：.【典例10】（2024·遼河油田其次高級(jí)中學(xué)高二月考）函數(shù)的值域是________________．【答案】【解析】函數(shù)，令則，則，.由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以當(dāng)即時(shí)取得最小值，最小值為，因而，故答案為：.【規(guī)律方法】函數(shù)值域的常見求法：(1)配方法配方法是求“二次函數(shù)型函數(shù)”值域的基本方法，形如F(x)＝a[f(x)]2＋bf(x)＋c(a≠0)的函數(shù)的值域問(wèn)題，均可運(yùn)用配方法．(2)數(shù)形結(jié)合法若函數(shù)的解析式的幾何意義較明顯，如距離、斜率等，可用數(shù)與形結(jié)合的方法．(3)基本不等式法：要留意條件“一正，二定，三相等”．（可見上一專題）(4)利用函數(shù)的單調(diào)性①單調(diào)函數(shù)的圖象是始終上升或始終下降的，因此若單調(diào)函數(shù)在端點(diǎn)處有定義，則該函數(shù)在端點(diǎn)處取最值，即若y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則y最?。絝(a)，y最大＝f(b)；若y＝f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則y最?。絝(b)，y最大＝f(a)．②形如y＝ax＋b＋eq\r(dx＋c)的函數(shù)，若ad＞0，則用單調(diào)性求值域；若ad＜0，則用換元法．③形如y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的函數(shù)，若不能用基本不等式，則可考慮用函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0)的單調(diào)減區(qū)間為(0，eq\r(k)]，單調(diào)增區(qū)間為[eq\r(k)，＋∞)．一般地，把函數(shù)y＝x＋eq\f(k,x)(k＞0，x＞0)叫做對(duì)勾函數(shù)，其圖象的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為(eq\r(k)，2eq\r(k))，至于x＜0的狀況，可依據(jù)函數(shù)的奇偶性解決．*(5)導(dǎo)數(shù)法利用導(dǎo)函數(shù)求出最值，從而確定值域．高頻考點(diǎn)五：分段函數(shù)及其應(yīng)用【典例11】（2024·永濟(jì)中學(xué)高一月考）已知，則為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】故選：A【典例12】（2025屆湖北省5月）設(shè)函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A.B.C.或D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以所以選B.【典例13】（2024年新課標(biāo)I卷文）設(shè)函數(shù)，則滿意的x的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】將函數(shù)的圖象畫出來(lái)，視察圖象可知會(huì)有，解得，所以滿意的x的取值范圍是，故選D.【典例14】（2024·上海高三）若函數(shù)（且）的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由于函數(shù)的值域是，故當(dāng)時(shí)，滿意，當(dāng)時(shí)，由，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.【總結(jié)提升】1.“分段求解”是處理分段函數(shù)問(wèn)題解的基本原則；2.數(shù)形結(jié)合往往是解答選擇、填空題的“捷徑”.【變式探究】1.（2024·遼寧省高三二模（理））設(shè)函數(shù)，則（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，則.故選：C.2.（2024·浙江省高三二模）已知函數(shù)若存在唯一的整數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C． D．或【答案】B【解析】如圖所示，畫出函數(shù)圖像，當(dāng)時(shí)，，即，故，即，即；當(dāng)時(shí)，易知不滿意；當(dāng)時(shí)，，即，故，即.綜上所述：或.故選：B.3.（2