2024高考數(shù)學二輪專題復習備考訓練13直線圓橢圓-小題備考含解析

PAGE備考訓練13直線、圓、橢圓——小題備考一、單項選擇題1．“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件2．[2024·山東萊蕪一中模擬]由直線y＝x＋1上的一點向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長的最小值為()A．1B．2eq\r(2)C.eq\r(7)D．33．[2024·山東青島二中模擬]已知直線l：x－eq\r(3)y－a＝0與圓C：(x－3)2＋(y＋eq\r(3))2＝4交于點M，N，點P在圓C上，且∠MPN＝eq\f(π,3)，則實數(shù)a的值等于()A．2或10B．4或8C．6±2eq\r(2)D．6±2eq\r(3)4．已知⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a>0)相交于A，B兩點，若兩圓在A點處的切線相互垂直，且|AB|＝4，則⊙O1的方程為()A．(x－4)2＋y2＝20B．(x－4)2＋y2＝50C．(x－5)2＋y2＝20D．(x－5)2＋y2＝505．[2024·山東煙臺診斷測試]已知圓C：(x－3)2＋(y－4)2＝1與圓M關于x軸對稱，Q為圓M上的動點，當Q到直線y＝x＋2的距離最小時，Q的橫坐標為()A．2－eq\f(\r(2),2)B．2±eq\f(\r(2),2)C．3－eq\f(\r(2),2)D．3±eq\f(\r(2),2)6．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq\f(2,3)，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為12，則C的方程為()A.eq\f(x2,3)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝17．[2024·山東濟寧模擬]已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)左焦點為F，右頂點為A，點B在橢圓上，且BF⊥x軸，直線AB交y軸于點P，若eq\f(|AP|,|PB|)＝3，則橢圓的離心率是()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)8．[2024·山東泰安一中模擬]已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，右頂點為A，上頂點為B，以線段F1A為直徑的圓交線段F1B的延長線于點P，若F2B∥AP，則該橢圓的離心率是()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(2),2)二、多項選擇題9．實數(shù)x，y滿意x2＋y2＋2x＝0，則下列關于eq\f(y,x－1)的推斷正確的是()A.eq\f(y,x－1)的最大值為eq\r(3)B.eq\f(y,x－1)的最小值為－eq\r(3)C.eq\f(y,x－1)的最大值為eq\f(\r(3),3)D.eq\f(y,x－1)的最小值為－eq\f(\r(3),3)10．[2024·山東德州質量檢測]已知點A是直線l：x＋y－eq\r(2)＝0上肯定點，點P、Q是圓x2＋y2＝1上的動點，若∠PAQ的最大值為90°，則點A的坐標可以是()A．(0，eq\r(2))B．(1，eq\r(2)－1)C．(eq\r(2)，0)D．(eq\r(2)－1,1)11．定義點P(x0，y0)到直線l：ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)的有向距離為d＝eq\f(ax0＋by0＋c,\r(a2＋b2)).已知點P1，P2到直線l的有向距離分別是d1，d2.以下命題不正確的是()A．若d1＝d2＝1，則直線P1P2與直線l平行B．若d1＝1，d2＝－1，則直線P1P2與直線l垂直C．若d1＋d2＝0，則直線P1P2與直線l垂直D．若d1·d2≤0，則直線P1P2與直線l相交12．[2024·山東濰坊模擬]已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，拋物線y2＝4cx(c2＝a2－b2，c>0)與橢圓C在第一象限的交點為P，若cos∠PF1F2＝eq\f(4,5)，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(5)－1,2)B.eq\f(3－\r(2),2)C.eq\f(4－\r(7),9)D.eq\f(4＋\r(7),9)三、填空題13．[2024·山東煙臺一中模擬]已知直線l：mx－y＝1，若直線l與直線x＋m(m－1)y＝2垂直，則m的值為________；動直線l：mx－y＝1被圓C：x2－2x＋y2－8＝0截得的最短弦長為________．14．若直線3x＋4y＋12＝0與兩坐標軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則△AOB的內切圓的標準方程為________________．15．若F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的兩個焦點，A為橢圓上一點，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為________．16．[2024·山東淄博試驗中學模擬]已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A，B兩點，直線AF2與橢圓的另一個交點為C，若eq\o(AC,\s\up6(→))＝3eq\o(F2C,\s\up6(→))，則橢圓的離心率為________．備考訓練13直線、圓、橢圓——小題備考1．解析：因為兩直線平行，所以斜率相等，即－eq\f(2,a)＝－eq\f(b,2)，可得ab＝4，又當a＝1，b＝4時，滿意ab＝4，但是兩直線重合，故選C.答案：C2．解析：切線長的最小值是當直線y＝x＋1上的點與圓心距離最小時取得，圓心(3,0)到直線的距離為d＝eq\f(|3－0＋1|,\r(2))＝2eq\r(2)，圓的半徑為1，故切線長的最小值為eq\r(d2－r2)＝eq\r(8－1)＝eq\r(7).答案：C3．解析：由∠MPN＝eq\f(π,3)可得∠MCN＝2∠MPN＝eq\f(2π,3).在△MCN中，CM＝CN＝2，∠CMN＝∠CNM＝eq\f(π,6)，可得點C(3，－eq\r(3))到直線MN，即直線l：x－eq\r(3)y－a＝0的距離為2sineq\f(π,6)＝1.所以eq\f(|3－\r(3)×－\r(3)－a|,\r(1＋3))＝1，解得a＝4或8.故選B.答案：B4．解析：依題意，得O(0,0)，⊙O半徑為R＝eq\r(5)，O1(a,0)，⊙O1半徑為r.兩圓在A點處的切線相互垂直，則兩切線必過兩圓的圓心，如圖，OA⊥O1A，OO1⊥OC＝eq\r(OA2－AC2)＝1，所以由直角三角形射影定理得OA2＝OC·OO1，即5＝1×OO1，所以OO1＝5，即eq\r(a－02＋0－02)＝5，得a＝5，所以O1C＝4，r＝AO1＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，所以，圓O1的方程為(x－5)2＋y2＝20，故選C.答案：C5．解析：圓M的方程為(x－3)2＋(y＋4)2＝1，過M(3，－4)且與直線y＝x＋2垂直的直線方程為y＝－x－1，代入(x－3)2＋(y＋4)2＝1，得x＝3±eq\f(\r(2),2)，故當Q到直線y＝x＋2的距離最小時，Q的橫坐標為3－eq\f(\r(2),2)，故選C.答案：C6．解析：由橢圓的定義，知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，所以△AF1B的周長為|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，所以a＝3.因為橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(2,3)，所以c＝2，所以b2＝a2－c2＝5，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.故選D.答案：D7．解析：因為BF⊥x軸，所以OP∥BF，因為|AP|:|PB|＝3:1，所以eq\f(|AO|,|OF|)＝eq\f(|AP|,|PB|)＝3，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,3).則橢圓的離心率e＝eq\f(1,3).故選D.答案：D8．解析：因為點P在以線段F1A為直徑的圓上，所以AP⊥PF1又因為F2B∥AP，所以F2B⊥BF1，又因為|F2B|＝|BF1|，所以△F1F2因為|OB|＝b，|OF2|＝c，所以b＝c，|F2B|2＝c2＋b2＝a2＝2c2，所以該橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).故選D.答案：D9．解析：由x2＋y2＋2x＝0得(x＋1)2＋y2＝1，表示以(－1,0)為圓心、1為半徑的圓，eq\f(y,x－1)表示圓上的點(x，y)與點(1,0)連線的斜率，易知，eq\f(y,x－1)最大值為eq\f(\r(3),3)，最小值為－eq\f(\r(3),3)，故選C、D.答案：CD10．解析：如圖所示：原點到直線l的距離為d＝eq\f(\r(2),\r(12＋12))＝1，則直線l與圓x2＋y2＝1相切，由圖可知，當AP、AQ均為圓x2＋y2＝1的切線時，∠PAQ取得最大值，連接OP、OQ，由于∠PAQ的最大值為90°，且∠APO＝∠AQO＝90°，|OP|＝|OQ|＝1，則四邊形APOQ為正方形，所以|OA|＝eq\r(2)|OP|＝eq\r(2)，設A(t，eq\r(2)－t)．由兩點間的距離公式得|OA|＝eq\r(t2＋\r(2)－t2)＝eq\r(2)，整理得2t2－2eq\r(2)t＝0，解得t＝0或eq\r(2)，因此，點A的坐標為(0，eq\r(2))或(eq\r(2)，0)．故選AC.答案：AC11．解析：對于A，若d1＝d2＝1，則ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝eq\r(a2＋b2)，直線P1P2與直線l平行，正確；對于B，點P1，P2在直線l的兩側且到直線l的距離相等，P1P未必與l垂直，錯誤；對于C，若d1＝d2＝0，即ax1＋by1＋c＝ax2＋by2＋c＝0，則點P1，P2都在直線l上，所以此時直線P1P2與直線l重合，錯誤；對于D，若d1·d2≤0，即(ax1＋by1＋c)(ax2＋by2＋c)≤0，所以點P1，P2分別位于直線l的兩側或在直線l上，所以直線P1P2與直線l相交或重合，錯誤，故選BCD.答案：BCD12.解析：作拋物線的準線l，則直線l過點F1，過點P作PE垂直于直線l，垂足為E，由拋物線的定義知|PE|＝|PF2|，易知，PE∥x軸，則∠EPF1＝∠PF1F2，所以cos∠PF1F2＝cos∠EPF1＝eq\f(|PE|,|PF1|)＝eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(4,5)，設|PF1|＝5t(t>0)，則|PF2|＝4t，由橢圓定義可知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝9t，在△PF1F2中，由余弦定理可得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|cos∠PF1F2，整理得|F1F2|2－8t|F1F2|＋9t2＝0，解得|F1F2|＝(4＋eq\r(7))t或|F1F2|＝(4－eq\r(7))t.當|F1F2|＝(4＋eq\r(7))t時，離心率e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(4＋\r(7),9)；當|F1F2|＝(4－eq\r(7))t時，離心率為e＝eq\f(2c,2a)＝eq\f(4－\r(7),9).綜上所述，橢圓C的離心率為eq\f(4－\r(7),9)或eq\f(4＋\r(7),9).答案：CD13．解析：因為直線mx－y＝1與直線x＋m(m－1)y＝2垂直，所以m×1＋(－1)×m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝2.動直線l：mx－y＝1過定點(0，－1)，圓C：x2－2x＋y2－8＝0化為(x－1)2＋y2＝9，圓心(1,0)到直線mx－y－1＝0的距離的最大值為eq\r(0－12＋－1－02)＝eq\r(2)，所以動直線l被圓C截得的最短弦長為2eq\r(9－\r(2)2)＝2eq\r(7).答案：0或22eq\r(7)14．解析：設內切圓的半徑為r，結合面積公式eq\f(1,2)·OA·r＋eq\f(1,2)·OB·r＋eq\f(1,2)·AB·r＝eq\f(1,2)×3×4，則r＝1.因而圓心坐標為(－1，－1)，圓的方程為(x＋1)2＋(y＋1)2＝1.答案：(x＋1)2＋(y＋1)2＝115．解析：由題意得a＝3，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(2)，∴|F1F2|＝2eq\r(2)，|AF