河北省淶水波峰中學2024年高三下學期第二次月考（5月）數(shù)學試題

河北省淶水波峰中學2024年高三下學期第二次月考（5月）數(shù)學試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，正方體的棱長為1，動點在線段上，、分別是、的中點，則下列結(jié)論中錯誤的是（）A．， B．存在點，使得平面平面C．平面 D．三棱錐的體積為定值2．已知函數(shù)，則（）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減C．函數(shù)圖像關于對稱 D．函數(shù)圖像關于對稱3．已知，則（）A． B． C． D．24．復數(shù)滿足為虛數(shù)單位)，則的虛部為（）A． B． C． D．5．已知命題：任意，都有；命題：，則有．則下列命題為真命題的是（）A． B． C． D．6．已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則（）A． B．C． D．7．設復數(shù)滿足，在復平面內(nèi)對應的點為，則不可能為（）A． B． C． D．8．已知等比數(shù)列滿足，，等差數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，則（）A．36 B．72 C． D．9．正四棱錐的五個頂點在同一個球面上，它的底面邊長為，側(cè)棱長為，則它的外接球的表面積為（）A． B． C． D．10．是虛數(shù)單位，復數(shù)在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知集合，定義集合，則等于（）A． B．C． D．12．設，則，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．《九章算術》中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價各幾何？”.其意思是“若干個人合買一頭豬，若每人出100，則會剩下100；若每人出90，則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少？”.設分別為人數(shù)、豬價，則___，___.14．邊長為2的正方形經(jīng)裁剪后留下如圖所示的實線圍成的部分，將所留部分折成一個正四棱錐.當該棱錐的體積取得最大值時，其底面棱長為________.15．設數(shù)列的前n項和為，且，若，則______________.16．設,滿足約束條件,若目標函數(shù)的最大值為,則的最小值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，為棱的中點，為棱上任意一點，且不與點、點重合．．（1）求證：平面平面；（2）是否存在點使得平面與平面所成的角的余弦值為？若存在，求出點的位置；若不存在，請說明理由．18．（12分）在平面直角坐標系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為（φ為參數(shù)），在以O為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C2是圓心為（2，），半徑為1的圓．（1）求曲線C1的普通方程和C2的直角坐標方程；（2）設M為曲線C1上的點，N為曲線C2上的點，求|MN|的取值范圍．19．（12分）我們稱n（）元有序?qū)崝?shù)組（，，…，）為n維向量，為該向量的范數(shù).已知n維向量，其中，，2，…，n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個數(shù)為，這個向量的范數(shù)之和為.（1）求和的值；（2）當n為偶數(shù)時，求，（用n表示）.20．（12分）底面為菱形的直四棱柱，被一平面截取后得到如圖所示的幾何體.若，.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.21．（12分）設函數(shù)，直線與函數(shù)圖象相鄰兩交點的距離為.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在中，角所對的邊分別是，若點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，且，求面積的最大值.22．（10分）如圖（1）五邊形中，,將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點為線段的中點，且平面.（1）求證：平面平面；（2）若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，判斷D.【詳解】在A中，因為分別是中點，所以，故A正確；在B中，由于直線與平面有交點，所以不存在點，使得平面平面，故B錯誤；在C中，由平面幾何得，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出，結(jié)合線面垂直的判定定理得出平面，故C正確；在D中，三棱錐以三角形為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐的體積為定值，故D正確；故選：B【點睛】本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.2、C【解析】

依題意可得，即函數(shù)圖像關于對稱，再求出函數(shù)的導函數(shù)，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】解：由，，所以函數(shù)圖像關于對稱，又，在上不單調(diào).故正確的只有C，故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的對稱性的判定，利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎題.3、B【解析】

結(jié)合求得的值，由此化簡所求表達式，求得表達式的值.【詳解】由，以及，解得..故選：B【點睛】本小題主要考查利用同角三角函數(shù)的基本關系式化簡求值，考查二倍角公式，屬于中檔題.4、C【解析】

，分子分母同乘以分母的共軛復數(shù)即可.【詳解】由已知，，故的虛部為.故選：C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查學生的基本運算能力，是一道基礎題.5、B【解析】

先分別判斷命題真假，再由復合命題的真假性，即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題；命題是假命題，比如當,或時，則不成立.則，，均為假.故選:B【點睛】本題考查復合命題的真假性，判斷簡單命題的真假是解題的關鍵，屬于基礎題.6、C【解析】

當時，最多一個零點；當時，，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得．【詳解】當時，，得；最多一個零點；當時，，，當，即時，，在，上遞增，最多一個零點．不合題意；當，即時，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個零點；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點，在，上有2個零點，如圖：且，解得，，．故選．【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.7、D【解析】

依題意，設，由，得，再一一驗證.【詳解】設，因為，所以，經(jīng)驗證不滿足，故選：D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的概念、復數(shù)的幾何意義，還考查了推理論證能力，屬于基礎題.8、A【解析】

根據(jù)是與的等比中項，可求得，再利用等差數(shù)列求和公式即可得到.【詳解】等比數(shù)列滿足，，所以，又，所以，由等差數(shù)列的性質(zhì)可得.故選：A【點睛】本題主要考查的是等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學生的計算能力，是中檔題.9、C【解析】

如圖所示，在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，計算長度，設球半徑為，則，解得，得到答案.【詳解】如圖所示：在平面的投影為正方形的中心，故球心在上，，故，，設球半徑為，則，解得，故.故選：.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.10、D【解析】

求出復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標，即可得出結(jié)論.【詳解】復數(shù)在復平面上對應的點的坐標為，該點位于第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)對應的點的位置的判斷，屬于基礎題.11、C【解析】

根據(jù)定義，求出，即可求出結(jié)論.【詳解】因為集合，所以，則，所以.故選:C.【點睛】本題考查集合的新定義運算，理解新定義是解題的關鍵，屬于基礎題.12、A【解析】

根據(jù)換底公式可得，再化簡，比較的大小，即得答案.【詳解】，，.，顯然.,即，，即.綜上，.故選：.【點睛】本題考查換底公式和對數(shù)的運算，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、10900【解析】

由題意列出方程組，求解即可.【詳解】由題意可得，解得.故答案為10900【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來求解即可，屬于基礎題型.14、【解析】

根據(jù)題意，建立棱錐體積的函數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的最大值即可.【詳解】設底面邊長為，則斜高為，即此四棱錐的高為，所以此四棱錐體積為，令，令，易知函數(shù)在時取得最大值.故此時底面棱長.故答案為：.【點睛】本題考查棱錐體積的求解，涉及利用導數(shù)研究體積最大值的問題，屬綜合中檔題.15、9【解析】

用換中的n，得，作差可得，從而數(shù)列是等比數(shù)列，再由即可得到答案.【詳解】由，得，兩式相減，得，即；又，解得，所以數(shù)列為首項為-3、公比為3的等比數(shù)列，所以.故答案為：9.【點睛】本題考查已知與的關系求數(shù)列通項的問題，要注意n的范圍，考查學生運算求解能力，是一道中檔題.16、【解析】

先根據(jù)條件畫出可行域,設,再利用幾何意義求最值,將最大值轉(zhuǎn)化為軸上的截距,只需求出直線,過可行域內(nèi)的點時取得最大值,從而得到一個關于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可．【詳解】解：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直線過直線與直線的交點時,目標函數(shù)取得最大,即,即,而．故答案為．【點睛】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用、簡單的線性規(guī)劃,以及利用幾何意義求最值,屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）存在，為中點【解析】

（1）證明面，即證明平面平面；（2）以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系．利用向量方法得，解得，所以為中點．【詳解】（1）由于為中點，．又，故，所以為直角三角形且，即．又因為面，面面，面面，故面，又面，所以面面．（2）由（1）知面，又四邊形為矩形，則兩兩垂直．以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向，建立空間直角坐標系．則，設，則，設平面的法向量為，則有，令，則，則平面的一個法向量為，同理可得平面的一個法向量為，設平面與平面所成角為，則由題意可得，解得，所以點為中點．【點睛】本題主要考查空間幾何位置關系的證明，考查空間二面角的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.18、（1）C1：y2＝1，C2：x2+（y﹣2）2＝1；（2）[0，1]【解析】

（Ⅰ）消去參數(shù)φ可得C1的直角坐標方程，易得曲線C2的圓心的直角坐標為（0，2），可得C2的直角坐標方程；（Ⅱ）設M（3cosφ，sinφ），由三角函數(shù)和二次函數(shù)可得|MC2|的取值范圍，結(jié)合圓的知識可得答案．【詳解】（1）消去參數(shù)φ可得C1的普通方程為y2＝1，∵曲線C2是圓心為（2，），半徑為1的圓，曲線C2的圓心的直角坐標為（0，2），∴C2的直角坐標方程為x2+（y﹣2）2＝1；（2）設M（3cosφ，sinφ），則|MC2|，∵﹣1≤sinφ≤1，∴1≤|MC2|，由題意結(jié)合圖象可得|MN|的最小值為1﹣1＝0，最大值為1，∴|MN|的取值范圍為[0，1]．【點睛】本題考查橢圓的參數(shù)方程，涉及圓的知識和極坐標方程，屬中檔題．19、（1），.（2），【解析】

（1）利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對都寫出來，再做和；（2）用組合數(shù)表示和，再由公式或?qū)⒔M合數(shù)進行化簡，得出最終結(jié)果.【詳解】解：（1）范數(shù)為奇數(shù)的二元有序?qū)崝?shù)對有：，，，，它們的范數(shù)依次為1，1，1，1，故，.（2）當n為偶數(shù)時，在向量的n個坐標中，要使得范數(shù)為奇數(shù)，則0的個數(shù)一定是奇數(shù)，所以可按照含0個數(shù)為：1，3，…，進行討論：的n個坐標中含1個0，其余坐標為1或，共有個，每個的范數(shù)為；的n個坐標中含3個0，其余坐標為1或，共有個，每個的范數(shù)為；的n個坐標中含個0，其余坐標為1或，共有個，每個的范數(shù)為1；所以，.因為，①，②得，，所以.解法1：因為，所以..解法2：得，.又因為，所以.【點睛】本題考查了數(shù)列和組合，是一道較難的綜合題.20、（1）見解析；（2）【解析】

（1）先由線面垂直的判定定理證明平面，再證明線線垂直即可；（2）建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量與平面的一個法向量，再利用向量數(shù)量積運算即可.【詳解】（1）證明：連接，由平行且相等，可知四邊形為平行四邊形，所以.由題意易知，，所以，，因為，所以平面，又平面，所以.（2）設，，由已知可得：平面平面，所以，同理可得：，所以四邊形為平行四邊形，所以為的中點，為的中點，所以平行且相等，從而平面，又，所以，，兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標系，，，由平面幾何知識，得.則，，，，所以，，.設平面的法向量為，由，可得，令，則，，所以.同理，平面的一個法向量為.設平面與平面所成角為，則，所以.【點睛】本題考查了線面垂直的判定定理及二面角的平面角的求法，重點考查了空間向量的應用，屬中檔題.21、（Ⅰ）3；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)函數(shù)，利用和差公式和倍角公式，化簡即可求得；(Ⅱ)由(Ⅰ)知函數(shù)，根據(jù)點是函數(shù)圖象的一個對稱中心，代入可