第13講 同角基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊(cè)）

第13講同角基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式【人教A版2019】模塊一模塊一同角基本關(guān)系式1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系基本關(guān)系式語言描述平方關(guān)系同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1.商數(shù)關(guān)系同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.(2)基本關(guān)系式的變形公式2．正余弦互化、弦切互化以及“和”“積”轉(zhuǎn)換的解題技巧(1)利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.(2)形如等類型可進(jìn)行弦化切.【題型1同角基本關(guān)系式的應(yīng)用】【例1.1】（24-25高三上·黑龍江雞西·期中）已知α是第四象限角，若cosα=15，則tanA．24 B．?24 C．2【例1.2】（24-25高一上·河北衡水·期中）已知sinα=35，且α是第二象限角，則tanA．?34 B．?43 C．【變式1.1】（24-25高三上·上?！るA段練習(xí)）已知θ是三角形的內(nèi)角，若sinθ?cosθ=15A．75 B．?15 C．?【變式1.2】（23-24高一下·山東濰坊·期末）已知2sinα=cosα，則A．4 B．?4 C．?3 D．3【題型2弦切互化】【例2.1】（23-24高一下·上?！て谥校┮阎潦堑谌笙藿牵瑃anα=512，則cosA．513 B．C．1213 D．?1213【例2.2】（23-24高一上·河南商丘·期末）已知tanα=4A．45 B．67 C．8【變式2.1】（23-24高一下·江西上饒·期末）已知sinα+cosα=35A．?25 B．52 C．?【變式2.2】（23-24高一下·山西·階段練習(xí)）已知2sinθ=cosθ，則A．?15 B．15 C．4【題型3三角函數(shù)式的化簡、求值】【例3.1】（24-25高三上·黑龍江佳木斯·階段練習(xí)）（1）已知tanα=23（2）若sinα?cosα=【例3.2】（24-25高一上·全國·課堂例題）化簡：(1)1+2sin(2)sin2【變式3.1】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）已知2cos(1)tanα(2)2sin【變式3.2】（23-24高一下·上?！て谥校┮阎猻inθ+(1)tanθ(2)求sin2【題型4三角函數(shù)恒等式的證明——同角三角函數(shù)基本關(guān)系】【例4.1】（23-24高一·上海·課堂例題）證明下列恒等式：(1)sin2(2)21?【例4.2】（23-24高一下·全國·課后作業(yè)）求證：(1)sin2(2)已知tanα=13【變式4.1】（23-24高一·江蘇·課后作業(yè)）求證：（1）1+tan（2）sin4（3）tan2【變式4.2】（23-24高一·全國·隨堂練習(xí)）求證：(1)sin4(2)sin4(3)cosα模塊模塊二誘導(dǎo)公式1．誘導(dǎo)公式(1)誘導(dǎo)公式公式一二三四五六七八角正弦余弦正切余切口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限.函數(shù)名改變，符號(hào)看象限.(2)誘導(dǎo)公式的作用誘導(dǎo)公式作用公式一將任意角轉(zhuǎn)化為0～2π的角求值公式二將0～2π的角轉(zhuǎn)化為0~π的角求值公式三將負(fù)角轉(zhuǎn)化為正角求值公式四將π2～π的角轉(zhuǎn)化為0～π公式五實(shí)現(xiàn)正弦與余弦、正切與余切的相互轉(zhuǎn)化公式六實(shí)現(xiàn)正弦與余弦、正切與余切的相互轉(zhuǎn)化2．誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.【題型5三角函數(shù)的化簡、求值——誘導(dǎo)公式】【例5.1】（24-25高三上·山西晉城·階段練習(xí)）若tanα=?2，cosβ=2?1A．22?1 B．?1 C．1?2【例5.2】（24-25高三上·湖南邵陽·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊在x軸的非負(fù)半軸上，終邊經(jīng)過點(diǎn)P3,4,則sinα?A．?45 B．?35 C．【變式5.1】（24-25高一上·全國·課堂例題）化簡：(1)cos?α(2)sin1400°+α【變式5.2】（23-24高一上·山東淄博·期末）已知α角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P(?4,3).(1)求sinα,(2)求f(α)=cos【題型6三角函數(shù)恒等式的證明——誘導(dǎo)公式】【例6.1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）證明：tan(2【例6.2】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）求證：tan2π?α【變式6.1】（24-25高一·全國·課后作業(yè)）求證:2sin【變式6.2】（23-24高一上·全國·課后作業(yè)）（1）求證：tan(2π?α)（2）設(shè)tan(α+8π7【題型7同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】【例7.1】（24-25高三上·北京·階段練習(xí)）已知sinπ2+α=35，α∈3π2,2π，則sinπ+α=【例7.2】（23-24高一下·遼寧葫蘆島·期末）已知α角的始邊與x軸非負(fù)半軸重合，P?2,3是α角終邊上一點(diǎn)，則tan?πA．?4712 B．4712 C．31【變式7.1】（24-25高三上·福建寧德·階段練習(xí)）如圖，以O(shè)x為始邊作角α與β0<β<π2<α<π，它們的終邊分別與單位圓相交于點(diǎn)P,Q

(1)求2cos(2)若OP⊥OQ，求P的坐標(biāo).【變式7.2】（23-24高一下·江西萍鄉(xiāng)·期中）在①sinαcosα=?已知角α∈3(1)求tanα(2)求sin3一、單選題1．（23-24高一下·北京延慶·期末）若tanα=?34，cosα<0，則A．45 B．?45 C．32．（24-25高三上·湖南常德·階段練習(xí)）求值：sin300°+tan600°=A．32 B．?32 C．33．（2024高三·北京·專題練習(xí)）若α是第二象限角，且tanα=?12，則cosA．32 B．?32 C．54．（24-25高三上·四川·階段練習(xí)）已知α∈0,π，且1+sinα1?A．23 B．13 C．?14 5．（23-24高一下·遼寧沈陽·期末）已知P?9,8為角α終邊上一點(diǎn)，則5sinα?2A．?6122 B．?2 C．22616．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）已知sin(?π?α)=35，且αA．?45 C．13 D．7．（2024高三·北京·專題練習(xí)）已知角α以O(shè)x為始邊，它的終邊與單位圓O相交于點(diǎn)P(?45,A．?45 B．45 C．?8．（2024高二下·浙江·學(xué)業(yè)考試）《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)著作，在《方田》章節(jié)中給出了“弦”和“矢”的定義，“弦”指圓弧所對(duì)的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，記圓心角∠AOB=2α，若“弦”為23，“矢”為1時(shí)，則12sinα?cosA．1 B．3 C．33 D．二、多選題9．（23-24高一上·河南洛陽·階段練習(xí)）已知角α和β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則（

）A．sinα=?sinβC．sinπ2+α10．（24-25高一上·全國·課后作業(yè)）（多選）下列計(jì)算或化簡結(jié)果正確的有（

）A．若sinθcosB．若tanx=1C．若sinα=2D．若α為第一象限角，則cos11．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習(xí)）已知0<x<π，sinx+cosx=A．sinxcosx=?C．sinx?cosx=?三、填空題12．（23-24高一上·安徽·期末）已知tanα=34，則2sin13．（24-25高三上·江蘇常州·開學(xué)考試）若tanα=2，則sinπ2?α14．（24-25高三上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知角θ的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P1,3，則2cosπ?θ四、解答題15．（24-25高二上·遼寧沈陽·開學(xué)考試）計(jì)算(1)tan(?31(3)cos16．（23-24高一下·山西忻州·開學(xué)考試）（1）角α的終邊上有一點(diǎn)P(