第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式全章綜合測(cè)試卷（秋季講義）（人教A版2019必修第一冊(cè)）（含答案解析）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式全章綜合測(cè)試卷參考答案與試題解析第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．（5分）（23-24高二下·黑龍江哈爾濱·期末）已知實(shí)數(shù)a>b>1，c∈R，下列關(guān)系正確的是（

A．a(chǎn)c2>bC．a(chǎn)b<2a【解題思路】取特值說(shuō)明判斷A；作差比較大小判斷BC；利用不等式性質(zhì)推理判斷D.【解答過(guò)程】對(duì)于A，取c=0，得ac對(duì)于B，ba?2b對(duì)于C，ab?2a對(duì)于D，a+1?故選：D.2．（5分）（23-24高二下·天津紅橋·期末）已知a>0,b>0，且1a+2b=1A．2 B．2C．322 【解題思路】由1a+2b=1得a=bb?2【解答過(guò)程】因?yàn)閍>0,b>0且1a+2b=1，所以1所以a?1=bb?2?1=所以2a?1當(dāng)且僅當(dāng)b?2=1b?2即b=3時(shí)，等號(hào)成立，所以2a?1故選：A.3．（5分）（23-24高一上·河南洛陽(yáng)·期末）今年某地因天氣干旱導(dǎo)致白菜價(jià)格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價(jià)格分別為a元/斤、b元/斤a≠b，王大媽每周購(gòu)買10元的白菜，李阿姨每周購(gòu)買8斤白菜，王大媽和李阿姨兩周買白菜的平均價(jià)格分別記為m1，m2，則m1與mA．m1=mC．m1<【解題思路】由題意可知m1=2ab【解答過(guò)程】由題意可得，a>0，b>0，a≠b，m1=20∵m∴m故選：C．4．（5分）（2024高二下·安徽·學(xué)業(yè)考試）若不等式ax2?4x+a?3<0對(duì)所有實(shí)數(shù)x恒成立，則aA．?∞,?1∪C．?∞,?1∪【解題思路】分a=0和a≠0兩種情況討論，a≠0時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)圖象得到a的取值范圍.【解答過(guò)程】a=0時(shí)，原不等式化為4x?3<0，解得x<34，不對(duì)所有的a≠0時(shí)，原不等式為一元二次不等式，要對(duì)所有實(shí)數(shù)x恒成立，則二次函數(shù)y=ax2?4x+a?3從而a<0Δ=?4所以，a的取值范圍為?∞故選：B.5．（5分）（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知a∈Z，關(guān)于x的一元二次不等式x2?8x+a≤0的解集中有且僅有3個(gè)整數(shù)，則aA．13 B．14 C．15 D．16【解題思路】設(shè)方程x2?8x+a=0的兩根為x1，x2，由題有2≤x1?x2<4，后由韋達(dá)定理可得由題有2≤x1?x2則Δ=64?4a>04≤64?4a<16?12<a≤15故選：D.6．（5分）（23-24高一上·河北保定·期末）關(guān)于二次函數(shù)y=x2?kx+k?1(k≠0)A．函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)B．若函數(shù)圖象與x軸正半軸交于不同的兩點(diǎn)，則k>0C．不論k為何值，若將函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位，則圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)D．當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大，則【解題思路】根據(jù)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)二次方程的判別式判斷A，由根與系數(shù)的關(guān)系判斷B，由圖象的平移判斷C，根據(jù)對(duì)稱軸判斷D.【解答過(guò)程】∵Δ=(?k)2?4(k?1)=若函數(shù)圖象與x軸正半軸交于不同的兩點(diǎn)，則由根與系數(shù)的關(guān)系知k>0k?1>0Δ>0，解得k>1若將函數(shù)圖象向左平移1個(gè)單位，可得到y(tǒng)=(x+1)2?k(x+1)+k?1，令x=0當(dāng)x≥1時(shí)，y隨x的增大而增大，即函數(shù)圖象的對(duì)稱軸x=k2故選：C.7．（5分）（23-24高二下·山西臨汾·期末）已知a>b>0，1a?b+1a+b=4，且5a?4b≥mA．?∞,52 B．?∞,2【解題思路】先利用“1”的代換求得5a?4b的最小值，再由5a?4bmin【解答過(guò)程】解：設(shè)5a?4b=sa?b則s+t=5s?t=4，解得s=92t==1≥1當(dāng)且僅當(dāng)a+b2a?b=所以5a?4b的最小值為2，又因?yàn)閷?duì)a>b>0，1a?b+1所以m≤2，故選：B.8．（5分）（23-24高二下·江蘇常州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為?A．a(chǎn)>0 B．不等式bx+c>0的解集是{x∣x<?6}C．a(chǎn)+b+c>0 D．不等式cx2【解題思路】由題意可知，?2和3是方程ax2+bx+c=0的兩根，且a>0，故A正確；再結(jié)合韋達(dá)定理可得b=?a,c=?6a,代入選項(xiàng)B和D，解不等式即可判斷;當(dāng)x=1時(shí)，有【解答過(guò)程】由題意可知?2和3是方程ax2+bx+c=0∴?2+3=?ba,∴b=?a,c=?6a,a>0，即選項(xiàng)A正確；不等式bx+c>0等價(jià)于ax+6∴x<?6，即選項(xiàng)B正確；∵不等式ax2+bx+c>0∴當(dāng)x=1時(shí)，有a+b+c<0，即選項(xiàng)C錯(cuò)誤；∵不等式cx2?bx+a<0等價(jià)于a∴x<?13或x>1故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）（24-25高一上·云南文山·階段練習(xí)）下列命題是真命題的為（

）A．若a>b>0>c>d，則ab>cdB．若ac2C．若a>b>0且c<0，則cD．若a>b且1a>【解題思路】由已知條件結(jié)合不等式的性質(zhì)，判斷結(jié)論是否正確.【解答過(guò)程】對(duì)于A項(xiàng)，取a=2，b=1，c=?3，d=?4，則ab=2，cd=12，所以ab<cd，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若ac2>bc2對(duì)于C選項(xiàng)，若a>b>0，則a2>b又因?yàn)閏<0，由不等式的性質(zhì)可得ca對(duì)于D選項(xiàng)，若a>b且1a>1b，則故選：BCD．10．（6分）（23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知x,y為正實(shí)數(shù)，x+y=2，則（A．xy的最大值為1B．yx+C．x2x+1D．(x2【解題思路】運(yùn)用xy≤x+y22可判斷A項(xiàng)；由yx+2y【解答過(guò)程】對(duì)選項(xiàng)A，xy≤x+y22對(duì)選項(xiàng)B，yx+2對(duì)選項(xiàng)C，x2x+1+令s=x+1，t=y+2則s+t=5，所以15當(dāng)且僅當(dāng)t=2s，即s=53，所以x2x+1+對(duì)選項(xiàng)D，x2當(dāng)且僅當(dāng)xy=1故選：AB.11．（6分）（23-24高一下·山東淄博·期中）若關(guān)于x的不等式ax2?bx+c>0的解集為M=A．不等式ax2B．4a+2b+c<0C．不等式bxax?b≤2D．設(shè)x的不等式ax2?bx+c+1>0的解集為【解題思路】先利用題給條件求得a,b,c三者正負(fù)號(hào)和三者間的關(guān)系，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A和選項(xiàng)B；化簡(jiǎn)不等式bxax?b≤2的解集，判斷選項(xiàng)C；設(shè)f(x)=ax【解答過(guò)程】關(guān)于x的不等式ax2則a<0,且關(guān)于x的方程ax2?bx+c=0則a<0a+b+c=0則不等式ax2+bx+c>0為a4a+2b+c=4a+2a?2a=4a<0，所以A、B都正確；不等式bxax?b≤2可化為axax?a所以解集為xx<1，或x≥2設(shè)f(x)=ax2?bx+c則函數(shù)f(x)的圖象向上平移一個(gè)單位得g(x)的圖象，如圖，

所以不等式ax2?bx+c+1>0的解集為N故選：ABD.第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．（5分）（24-25高三上·福建寧德·開(kāi)學(xué)考試）已知?1<x?y<4,2<x+y<3，則3x+y的取值范圍是3,10.【解題思路】先設(shè)出3x+y=mx+y+nx?y【解答過(guò)程】設(shè)3x+y=mx+y所以m+n=3m?n=1，解得m=2,n=1所以3x+y=2x+y又2<x+y<3，所以4<2x+y又?1<x?y<4,所以上述兩不等式相加可得3<2x+y即3<3x+y<10，所以3x+y的取值范圍是3,10，故答案為：3,10.13．（5分）（23-24高一下·遼寧·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式組?x2+4x+5<02x2+5x<?【解題思路】解一元二次不等式并對(duì)參數(shù)k的取值進(jìn)行分類討論，再由解集中存在整數(shù)解且只有一個(gè)整數(shù)解即可求得k的取值范圍為?6,2∪【解答過(guò)程】由x2?4x?5=x?5x+1>0所以2x2+2k+5x+5k=2x+5x+k<0的解集與{x∣x<?1或x>5}的交集中存在整數(shù)解，且只有一個(gè)整數(shù)解.當(dāng)k<5當(dāng)k=52時(shí)，2x當(dāng)k>52時(shí)，2x2+2k+5x+5k<0綜上，k的取值范圍為?6,2∪故答案為：?6,2∪14．（5分）（2024·江西·一模）已知正數(shù)x，y滿足x+y=6，若不等式a≤x2x+1+y2y+2【解題思路】將x2x+1+y2【解答過(guò)程】因?yàn)閤+y=6，所以t==x+1+1所以t=3+=329+所以x2x+1+故實(shí)數(shù)a的取值范圍是?∞故答案為：(?∞,4].四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及驗(yàn)算步驟。15．（13分）（24-25高一上·上?！ふn堂例題）比較下列各組中兩式的大?。?1)已知a>b>0，試比較a2+b(2)已知x<1，比較x3?1與【解題思路】（1）（2）利用作差法比較大小即得.【解答過(guò)程】（1）依題意，a2+b2a2?b2?a+ba?b所以a2（2）依題意，x=x3由x<1，得x?1<0，而x?122所以x316．（15分）（23-24高一上·安徽馬鞍山·期中）已知a>0,b>0,a+b=1，求證:(1)1a(2)1+1【解題思路】（1）作“1”代換，根據(jù)基本不等式求解；（2）作“1”代換，根據(jù)基本不等式求解.【解答過(guò)程】（1）∵a>0,b>0,a+b=1，∴1當(dāng)且僅當(dāng)ba=a（2）∵a>0,b>0,a+b=1，∴1+1a當(dāng)且僅當(dāng)3ba=4a17．（15分）（24-25高二上·陜西西安·開(kāi)學(xué)考試）已知二次函數(shù)fx(1)若不等式fx>0的解集為x0<x<3，解關(guān)于x(2)若a>0且b=?a?1，c=1，解關(guān)于x的不等式fx【解題思路】（1）由已知得b=?3a,c=0,a<0，代入所求不等式得?3ax2+3ax+6a<0(a<0)從而求得解集；（2）由已知fx<0【解答過(guò)程】（1）∵ax2+bx+c>0∴a<0,0+3=?b∴b=?3a,c=0,a<0，∴bx則x2?x?2<0，即∴所求不等式的解集為x?1<x<2（2）由b=?a?1，c=1，得f(x)=ax則f(x)<0，即ax又a>0，則不等式可化為x?1當(dāng)0<a<1時(shí)，不等式的解集為x1<x<當(dāng)a=1時(shí)，不等式的解集為?；當(dāng)a>1時(shí)，不等式的解集為x118．（17分）（23-24高一上·陜西渭南·期末）某學(xué)校要建造一個(gè)長(zhǎng)方體形的體育館，其地面面積為240m2，體育館高5m(1)當(dāng)前墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該校的體育館建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為12000+500a+1152x+a元(a>0)【解題思路】（1）根據(jù)題意求出報(bào)價(jià)的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式即可得解；（2）根據(jù)題意可知5001200x+3x+24000>12000+500a+1152x+a對(duì)任意的x>0【解答過(guò)程】（1）因?yàn)轶w育館前墻長(zhǎng)為x米，地面面積為240m所以體育館的左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度均為240x米(x>0)設(shè)甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為y元，所以y=240因?yàn)閥≥1500×2400當(dāng)且僅當(dāng)400x=x，即所以當(dāng)前墻的長(zhǎng)度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元；（2）根據(jù)題意可知5001200x+3x即3x2+24x+48>a所以a<3(x+4)2因?yàn)閍>0，(x+4)2當(dāng)且僅當(dāng)x+1=9x+1，即所以0<a<36，故當(dāng)0<a<36時(shí)，無(wú)論前墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功．19．（17分）（23-24高一上·山東濰坊·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的不等式2x?1>m(x(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使不等式對(duì)任意x∈R恒成立，并說(shuō)明理由；(2)若不等式對(duì)于m∈?2,2恒成立，求實(shí)數(shù)x(3)若不等式對(duì)x∈[2,+∞)有解，求【解題思路】將2x?1>m(x2?1)（1）討論m=0和m≠0時(shí)的情況；（2）f(m)=(x2?1)m?(2x?1)（3）討論當(dāng)m=0時(shí)，當(dāng)m<0時(shí)，當(dāng)m>0時(shí)，如何對(duì)x∈[2,+∞)有解，其中m<0，【解答過(guò)程】（1）原不等式等價(jià)于mx當(dāng)m=0時(shí)，?2x+1<0，即x>1當(dāng)m≠0時(shí)，若不等式對(duì)于任意實(shí)數(shù)x恒成立，則m<0且Δ=4?4m(1?m)<0綜上，不存在實(shí)數(shù)m，使不