綜合能力提升卷（考試范圍第二十六~二十八章）

【高效培優(yōu)】2021—2022學(xué)年人教版九年級數(shù)學(xué)下冊輕松沖刺學(xué)神考霸必刷卷【第三次月考】綜合能力提升卷（考試范圍：第二十六章~二十八章考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：120分）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________本卷試題共三大題，共25小題，單選10題，填空8題，解答7題，限時(shí)120分鐘，滿分120分，本卷題型精選核心常考重難易錯(cuò)典題，具備舉一反三之效，覆蓋面積廣，可充分考查學(xué)生雙基綜合能力！選擇題：本題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2021·全國·九年級期末）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用待定系數(shù)法即可得．【詳解】解：設(shè)這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為，由題意，將點(diǎn)代入得：，則這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題關(guān)鍵．2．（2021·安徽宿松·九年級期末）若且，則的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將用表示出來，得到，再將求出的結(jié)果與聯(lián)立求出的值，最后把所求的代入所求的代數(shù)式即可求解．【詳解】解：，，，，解，得，，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，解一元一次方程，求代數(shù)式的值，由比例系數(shù)表示是解題的關(guān)鍵．3．（2021·北京·九年級期末）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝12，sinA＝，則BC等于（）A． B．4 C．36 D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦的定義列式計(jì)算即可．【詳解】解：在△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∴＝，解得BC＝4，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)正弦的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵.4．（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)三模）如果反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則下列各點(diǎn)可能在此圖像上的是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，求出反比例函數(shù)解析式，只要各點(diǎn)坐標(biāo)乘積等于比例系數(shù)即為函數(shù)圖象上的點(diǎn)．【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，

∴，

則函數(shù)解析式為．因?yàn)?，，，．所以點(diǎn)，，不在的圖象上，點(diǎn)在的圖象上．

故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．5．（2021·遼寧朝陽·中考真題）如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，在OAB中，AO＝AB＝5，OB＝6，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y＝（k≠0）圖象上，則k的值（）A．﹣12 B．﹣15 C．﹣20 D．﹣30【答案】A【分析】過A點(diǎn)作AC⊥OB，利用等腰三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可解決問題．【詳解】解：過A點(diǎn)作AC⊥OB，∵AO＝AB，AC⊥OB，OB＝6，∴OC＝BC＝3，在Rt△AOC中，OA＝5，∵AC＝，∴A（﹣3，4），把A（﹣3，4）代入y＝，可得k＝﹣12故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．6．（2021·全國·九年級單元測試）函數(shù)與在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由反比例函數(shù)的圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與二次函數(shù)的圖象相比較看是否一致．【詳解】解：A、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得k＜0，則k＞0，拋物線開口方向向上、拋物線與y軸的交點(diǎn)為y軸的負(fù)半軸上；本圖象與k的取值相矛盾，故A錯(cuò)誤；B、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，本圖象符合題意，故B正確；C、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故C錯(cuò)誤．D、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得k＞0，則k＜0，拋物線開口方向向下、拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸上，本圖象與k的取值相矛盾，故D錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)及反比例函數(shù)和圖象，解決此類問題步驟一般為：（1）先根據(jù)圖象的特點(diǎn)判斷k取值是否矛盾；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與y軸的交點(diǎn)是否符合要求．7．（2021·全國·九年級單元測試）如圖，已知，分別是，上的點(diǎn)，且，，，，那么等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【解析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式即可解題.【詳解】解：∵，∴,∵，，∴∵,∴BC=6,故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理,屬于簡單題,熟悉概念是解題關(guān)鍵.8．（2021·湖南湘潭·九年級期末）如圖，河堤橫斷面迎水坡的坡比是，堤高，則坡面的長度是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用坡比的定義得出AC的長，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．【詳解】解：∵河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是，∴，∴，解得：AC＝，故AB＝＝＝8（m），故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確掌握坡比的定義是解題關(guān)鍵．9．（2021·四川綿陽·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，將四邊形向左平移個(gè)單位后，點(diǎn)恰好和原點(diǎn)重合，則的值是（）A．11.4 B．11.6 C．12.4 D．12.6【答案】A【分析】由題意可得，的值就是線段的長度，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，根據(jù)勾股定理求得的長度，再根據(jù)三角形相似求得，矩形的性質(zhì)得到，即可求解．【詳解】解：由題意可得，的值就是線段的長度，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，如下圖：∵，∴，由勾股定理得∵∴，又∵∴∴∴，即解得，∵∴∴∴，即解得由題意可知四邊形為矩形，∴故選A【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，圖形的平移，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2021·山東濟(jì)寧·中考真題）在一次夏令營活動(dòng)中，小霞同學(xué)從營地點(diǎn)出發(fā)，要到距離點(diǎn)的地去，先沿北偏東方向到達(dá)地，然后再沿北偏西方向走了到達(dá)目的地,此時(shí)小霞在營地的（）A．北偏東方向上 B．北偏東方向上C．北偏東方向上 D．北偏西方向上【答案】C【詳解】根據(jù)方位角的概念及已知轉(zhuǎn)向的角度結(jié)合三角函數(shù)的知識求解．解：A點(diǎn)沿北偏東70°的方向走到B，則∠BAD=70°，B點(diǎn)沿北偏西20°的方向走到C，則∠EBC=20°，又∵∠BAF=90°∠DAB=90°70°=20°，∴∠1=90°20°=70°，∴∠ABC=180°∠1∠CBE=180°70°20°=90°．∵AC=1000m，BC=500m，∴sin∠CAB=500÷1000=1/2，∴∠CAB=30°，∴∠DAC=∠BAD∠CAB=40°．故小霞在營地A的北偏東40°方向上．故選C．二、填空題：本題共8個(gè)小題，每題3分，共24分。11．（2021·全國·九年級單元測試）點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖像上.若，則的范圍是_________________.【答案】1＜a＜1【分析】反比例函數(shù)中k＞0，則同一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，由于y1＜y2，而a1必小于a+1，則說明兩點(diǎn)應(yīng)該在不同的象限，得到a1＜0＜a+1，從而得到a的取值范圍．【詳解】解：∵在反比例函數(shù)y=中，k＞0，

∴在同一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，

∵a1＜a+1，y1＜y2

∴這兩個(gè)點(diǎn)不會在同一象限，

∴a1＜0＜a+1，解得1＜a＜1

故答案為：1＜a＜1．【點(diǎn)睛】本題考察了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟悉反比例函數(shù)的增減性，當(dāng)k＞0，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減?。划?dāng)k＜0，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．12．（2021·天津·九年級期末）反比例函數(shù)(x<0)圖象上的點(diǎn)的函數(shù)值y隨x增大而_____(填“增大”或“減小”)．【答案】增大【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)進(jìn)而判斷函數(shù)的增減性，即可求得答案【詳解】解：反比例函數(shù)(x<0)圖象上的點(diǎn)的函數(shù)值y隨x增大而增大故答案為：增大【點(diǎn)睛】本題考查了判斷反比例函數(shù)的增減性，理解“時(shí)，反比例函數(shù)圖象在每個(gè)象限內(nèi)是y隨x增大而增大”是解題的關(guān)鍵．13．（2021·上海普陀·九年級期末）已知在中，，，，那么_____________.【答案】6【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求解．【詳解】解：∵cotB=，

∴AC==3BC=6．

故答案是：6．【點(diǎn)睛】此題考查銳角三角函數(shù)的定義及運(yùn)用，解題關(guān)鍵在于掌握在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，余切為鄰邊比對邊．14．（2021·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)二模）如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)和點(diǎn)F．則不等式的解集是___________．【答案】＜或【分析】把點(diǎn)分別代入兩函數(shù)解析式，分別求出一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式，求出直線和雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用數(shù)形結(jié)合思想解題．【詳解】解：由題意得：，，解得：，，∴一次函數(shù)解析式為：，反比例函數(shù)解析式為：，聯(lián)立：，解得：，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為：，由題意得：當(dāng)＜或時(shí)，，故答案為：＜或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，能夠求出函數(shù)的解析式和點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用．15．（2021·黑龍江前進(jìn)·九年級期末）如圖，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P為CD邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)DP＝______時(shí)，△ADP與△BCP相似．【答案】2或5或8【分析】分兩種情況：△ADP∽△PCB及△ADP∽△BCP，再由相似三角形的性質(zhì)即可求得DP的值．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形∴BC=AD=4，CD=AB=10當(dāng)△ADP∽△PCB時(shí)，，即∴DP(10?DP)=16即解得：DP=2或DP=8當(dāng)△ADP∽△BCP時(shí)，∴DP=PC∵DP+PC=10∴DP=5綜上所述，當(dāng)DP的長為2或5或8時(shí)，△ADP與△BCP相似．故答案為：2或5或8【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用，特別注意這里有兩種情況，不要忽略任意一種情形．16．（2021·廣西·臺州市書生中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)，若，，則的長為__．【答案】7【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，結(jié)合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性質(zhì)可求出DF的長，進(jìn)而可得出CF的長，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性質(zhì)可求出CE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=AD=CD=6，∴DP=ADAP=2，∠BCD=∠ECF=90°∵BP⊥PE，∴∠BPE=90°，∴∠APB+∠DPF=90°．∵∠APB+∠ABP=90°，∴∠ABP=∠DPF．又∵∠A=∠D，∴△APB∽△DFP，∴，即，∴∴∵∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，∴△PFD∽△EFC，，即∴CE=7．故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解題的關(guān)鍵．17．（2021·河北河間·九年級期末）2021年10月21日，河間市詩經(jīng)國際馬拉松比賽拉開帷幕，電視臺動(dòng)用無人機(jī)航拍技術(shù)全程錄像．如圖，是無人機(jī)觀測AB兩選手在某水平公路奔跑的情況，觀測選手A處的俯角為，選手B處的俯角為45o．如果此時(shí)無人機(jī)鏡頭C處的高度CD＝20米，則AB兩選手的距離是_______米．【答案】【分析】在兩個(gè)直角三角形中，都是知道已知角和對邊，根據(jù)正切函數(shù)求出鄰邊后，相加求和即可；【詳解】解：由已知可得，，CD=20，∵于點(diǎn)D，∴在中，，，∴，在中，，，∴，∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解和計(jì)算是解題的關(guān)鍵．18．（2021·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的邊、分別在軸和軸上，，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，將沿直線折疊后得到，若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為_______．【答案】48【分析】過作于，交于，設(shè)，，，通過證得△△，得到，解方程組求得、的值，即可得到的坐標(biāo)，代入即可求得的值．【詳解】解：過作于，交于，，，，，，△△，，設(shè)，，，正方形的邊、分別在軸和軸上，，點(diǎn)是邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，，，，解得，，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，，故答案為48．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形相似的判定和性質(zhì)，求得的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．三、解答題：本題共7個(gè)小題，1923每題8分，2425每題13分，共66分。19．（2021·山東萊蕪·九年級期末）計(jì)算（1）；（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）先計(jì)算零指數(shù)冪，負(fù)指數(shù)冪，二次根式乘法，化去絕對值，再合并同類項(xiàng)即可；（2）先將特殊角三角函數(shù)值代入，然后計(jì)算乘法，乘法，再合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：（1），=，=；（2），=，=，=．【點(diǎn)睛】本題考查含特殊三角函數(shù)混合運(yùn)算，掌握特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪，負(fù)指數(shù)冪，二次根式乘法，絕對值化簡，合并同類項(xiàng)是解題關(guān)鍵．20．（2021·重慶·九年級期末）化簡求值：，其中a，b滿足【答案】，2【分析】先化簡分式，在根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值以及絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性求得的值，代入化簡結(jié)果計(jì)算即可【詳解】解：，原式【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值，特殊角的三角函數(shù)值以及絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．21．（2021·湖南湘潭·中考真題）如圖，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，軸，且交y軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)于點(diǎn)B，已知．（1）求直線的解析式；（2）求反比例函數(shù)的解析式；（3）點(diǎn)D為反比例函數(shù)上一動(dòng)點(diǎn)，連接交y軸于點(diǎn)E，當(dāng)E為中點(diǎn)時(shí)，求的面積．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先求解的坐標(biāo)，再把的坐標(biāo)代入正比例函數(shù)，解方程即可得到答案；（2）利用先求解的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解解析式即可；（3）設(shè)而為的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解的坐標(biāo)，再利用，計(jì)算即可得到答案.【詳解】解：（1）點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則設(shè)直線為：則所以直線為：（2）軸，．所以反比例函數(shù)為：（3）設(shè)而為的中點(diǎn)，【點(diǎn)睛】本題考查的利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式，圖形與坐標(biāo)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，熟練應(yīng)用以上知識解題是關(guān)鍵.22．（2021·廣東揭陽·九年級期末）如圖，四邊形中，平分，，為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．【分析】（1）先根據(jù)相似三角形的判定證出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（2）先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)平行線的判定即可得證；（3）先根據(jù)相似三角形的判定證出，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，由此即可得出答案．【詳解】解：證明：（1）平分，，在和中，，，，；（2），為的中點(diǎn)，，，由（1）已得：，，；（3），為的中點(diǎn)，，由（2）已證：，，，，即，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定等知識點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．23．（2021·湖北十堰·九年級期末）如圖，將一個(gè)邊長為4的正方形ABCD和一個(gè)長為4，寬為2的長方形CEFD拼在一起，構(gòu)成一個(gè)大的長方形ABEF，現(xiàn)將小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，旋轉(zhuǎn)角度為α．（1）當(dāng)點(diǎn)D′恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α的值；（2）小長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，△DCD′與△CBD′能否全等？若能，請求出旋轉(zhuǎn)角α的值；若不能，說明理由．【答案】（1）30°；（2）能，旋轉(zhuǎn)角a的值為135°或315°【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)利用三角函數(shù)即可求解；（2）由題意可得CB＝CD，CD＝CD′，因此只需要證明∠BCD′＝∠DCD′時(shí)，△BCD′≌△DCD′成立，由此可以進(jìn)行解答.【詳解】（1）解：∵長方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，∴CD′＝CD＝4，在Rt△CED′中，CD′＝4，CE＝2，∴∴∴（2）解：△DCD'與△CBD能全等，理由如下：∵四邊形ABCD為正方形，∴CB＝CD，∵CD＝CD′，∴△BCD′與△DCD′為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)∠BCD′＝∠DCD′時(shí)，△BCD′≌△DCD′，當(dāng)△BCD′與△DCD′為鈍角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角α＝（360°90°）＝135°，當(dāng)△BCD′與△DCD′為銳角三角形時(shí)，∠BCD′＝∠DCD′＝∠BCD＝45°則α＝360°﹣45°＝315°，即旋轉(zhuǎn)角α的值為135°或315°時(shí)，△BCD′與△DCD′全等．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)和三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解.24．（2021·天津南開·九年級期末）如圖，直線y1＝x+b交x軸于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)A(0，2)，與反比例函數(shù)的圖象交于C(1，m)，D(n，－1)，連接OC、OD．（1）求k的值；（2）求COD的面積；（3）根據(jù)圖象直接寫出y1＜y2時(shí)，x的取值范圍．【答案】（1）；（2）4；（3）或【分析】（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入中，即求出b的值，即可得出一次函數(shù)的表達(dá)式．再把C(1，m)、D(n，1)代入一次函數(shù)表達(dá)式，即求出C、D的坐標(biāo)，最后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入，求出k即可；（2）直接利用，即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方時(shí)，，再結(jié)合點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)和圖象即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)在直線上，∴，即，∴直線的解析式為．∵點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，∴，，解得：，，∴，，又∵在反比例函數(shù)上，∴，解得：．（2）∵，∴，∴．（3）要使，即反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方即可，即或時(shí)．【點(diǎn)睛】此題考查用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．25．（2021·安徽·安慶市第四中學(xué)二模）如圖（1），∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，點(diǎn)B是AM上一點(diǎn)，AB＝4，BG⊥AP于C點(diǎn)，交AN于點(diǎn)G，CD⊥AN，交AN于點(diǎn)D，連接BD交AP于點(diǎn)O，AF⊥BD于E，連接CE．（1）求證：∠BEC＝∠BAC；（2）請判斷CF與DF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）若∠MAN≠90°，如圖（2）試證明CF＝DF．【答案】（1）證明見詳解；（2）CF=DF；理由見詳解；（3）證明見詳解．【分析】（1）由BG⊥AP于C點(diǎn)，AF⊥BD于E，可得點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，由∠BEC、∠BAC是所對圓周角，可得∠BEC=∠BAC；（2）CF=DF；理由如下，由∠MAN＝90°，AP平分∠MAN，可得∠GAC=∠BAC=45°，由BG⊥AP于C點(diǎn)，可得∠GCA=∠BCA=90°，可證△ACG≌△ACB（ASA），可得AB=AG=4，CG=CB，∠AGC=∠ABC=45°，可求GD=DC=AD=AG=2，在Rt△DAB中，由勾股定理，由面積橋可得AF=，在Rt△AED中勾股定理，可得BE=，可證△DFE∽△BAE，可求即可；（3）由CD⊥AN，DE⊥AF，可證△DEF∽△ADF，可得，由∠A