21直線的傾斜角與斜率

2．1直線的傾斜角與斜率【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一：直線的傾斜角平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時(shí)所轉(zhuǎn)的最小正角記為，則叫做直線的傾斜角．規(guī)定：當(dāng)直線和軸平行或重合時(shí)，直線傾斜角為，所以，傾斜角的范圍是．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1．要清楚定義中含有的三個(gè)條件①直線向上方向；②軸正向；③小于的角．2．從運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)來看，直線的傾斜角是由軸按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時(shí)所成的角．3．傾斜角的范圍是．當(dāng)時(shí)，直線與x軸平行或與x軸重合．4．直線的傾斜角描述了直線的傾斜程度，每一條直線都有唯一的傾斜角和它對應(yīng)．5．已知直線的傾斜角不能確定直線的位置，但是，直線上的一點(diǎn)和這條直線的傾斜角可以唯一確定直線的位置．知識(shí)點(diǎn)二：直線的斜率1．定義：傾斜角不是的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率，常用表示，即．知識(shí)點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí)，，；（2）直線與x軸垂直時(shí)，，k不存在．由此可知，一條直線的傾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在．2．直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率小于零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．知識(shí)點(diǎn)三：斜率公式已知點(diǎn)、，且與軸不垂直，過兩點(diǎn)、的直線的斜率公式．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1．對于上面的斜率公式要注意下面五點(diǎn)：（1）當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角，直線與軸垂直；（2）與、的順序無關(guān)，即，和，在公式中的前后次序可以同時(shí)交換，但分子與分母不能交換；（3）斜率可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求得；（4）當(dāng)時(shí)，斜率，直線的傾斜角，直線與軸平行或重合；（5）求直線的傾斜角可以由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率而得到．2．斜率公式的用途：由公式可解決下列類型的問題：（1）由、點(diǎn)的坐標(biāo)求的值；（2）已知及中的三個(gè)量可求第四個(gè)量；（3）已知及、的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）可求；（4）證明三點(diǎn)共線．知識(shí)點(diǎn)四：兩直線平行的條件設(shè)兩條不重合的直線的斜率分別為．若，則與的傾斜角與相等．由，可得，即．因此，若，則．反之，若，則．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1．公式成立的前提條件是①兩條直線的斜率存在分別為；②不重合；2．當(dāng)兩條直線的斜率都不存在且不重合時(shí)，的傾斜角都是，則．知識(shí)點(diǎn)五：兩直線垂直的條件設(shè)兩條直線的斜率分別為．若，則．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1．公式成立的前提條件是兩條直線的斜率都存在；2．當(dāng)一條垂直直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0時(shí)，兩條直線也垂直．【題型歸納目錄】題型一：直線的傾斜角與斜率定義題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系題型三：已知兩點(diǎn)求斜率、已知斜率求參數(shù)題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍題型五：直線平行題型六：直線垂直題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用【典型例題】題型一：直線的傾斜角與斜率定義例1．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列四個(gè)命題中，錯(cuò)誤的有（

）A．若直線的傾斜角為，則B．直線的傾斜角的取值范圍為C．若一條直線的傾斜角為，則此直線的斜率為D．若一條直線的斜率為，則此直線的傾斜角為【答案】ACD【解析】因?yàn)橹本€的傾斜角的取值范圍是，即，所以，當(dāng)時(shí)直線的斜率，故A、C均錯(cuò)誤；B正確；對于D：若直線的斜率，此時(shí)直線的傾斜角為，故D錯(cuò)誤；故選：ACD例2．（2022·重慶南開中學(xué)高一期末）過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角是（

）A．45 B．60° C．120° D．135°【答案】D【解析】由已知直線的斜率為，，所以傾斜角．故選：D例3．（2022·四川資陽·高一期末）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】直線的斜率為，所以傾斜角．故選：D．例4．（2022·江蘇·高二）下列命題中正確的是（

）．A．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為B．若直線的斜率為，則此直線的傾斜角為C．平行于x軸的直線的傾斜角為D．若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為【答案】D【解析】對于A，當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在，故A不正確；對于B，當(dāng)時(shí)，斜率為，傾斜角為，故B不正確；對于C，平行于x軸的直線的傾斜角為，故C不正確；對于D，若直線的斜率不存在，則此直線的傾斜角為是正確的.故選：D例5．（2022·江蘇·高二）下列命題中，錯(cuò)誤的是______．（填序號(hào)）①若直線的傾斜角為，則；②若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大；③若直線的傾斜角為，則直線的斜率為．【答案】①②③【解析】對于①中，根據(jù)直線傾斜角的概念，可得直線的傾斜角為，則，所以①錯(cuò)誤；對于②中，當(dāng)傾斜角，直線的傾斜角越大，則直線的斜率越大，且；當(dāng)傾斜角，直線的傾斜角越大，則直線的斜率越大，但，所以②錯(cuò)誤；對于③中，根據(jù)直線斜率的概念，可得當(dāng)且時(shí)，直線的斜率為，所以③錯(cuò)誤.故答案為：①②③.【方法技巧與總結(jié)】（1）傾斜角的概念中含有三個(gè)條件：①直線向上的方向；②x軸的正方向；③小于平角的正角．（2）傾斜角是一個(gè)幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對于x軸正方向的傾斜程度．（3）平面直角坐標(biāo)系中每一條直線都有一個(gè)確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等．（4）確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素是：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可．題型二：斜率與傾斜角的變化關(guān)系例6．（2022·上海市建平中學(xué)高一期末）設(shè)直線、的斜率分別為、，傾斜角分別為、，若，則|___．【答案】【解析】由，且，即，若，則，而，故，即；同理，可得.綜上，|.故答案為：例7．（2022·全國·高二專題練習(xí)）直線經(jīng)過點(diǎn)，，，則直線傾斜角的取值范圍是_____.【答案】【解析】直線經(jīng)過點(diǎn)，，，，，設(shè)直線的傾斜角為，則，得，故答案為：.例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由斜率的定義可知，.故選：A．例9．（2022·湖南·長沙一中高一期末）直線的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，可得，所以的取值范圍為故選：D例10．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線l經(jīng)過、（）兩點(diǎn)，求直線l的傾斜角的取值范圍.【解析】∵直線l過，兩點(diǎn)，∴直線l的斜率為，設(shè)直線l的傾斜角為，則，且，解得或∴直線l的傾斜角的取值范圍是.例11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求經(jīng)過（其中）、兩點(diǎn)的直線的傾斜角的取值范圍．【解析】由題意，當(dāng)時(shí)，傾斜角，當(dāng)時(shí)，，即傾斜角為銳角；綜上得：．例12．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，，．(1)求直線AB，BC，AC的斜率和傾斜角；(2)若D為的AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，求直線CD的傾斜角的取值范圍．【解析】（1）由斜率公式，得，，，因?yàn)樾甭实扔趦A斜角的正切值，且傾斜角的范圍是，所以直線AB的傾斜角為0，直線BC的傾斜角為，直線AC的傾斜角為．（2）如圖，當(dāng)直線CD繞點(diǎn)C由CA逆時(shí)針轉(zhuǎn)到CB時(shí)，直線CD與線段AB恒有交點(diǎn)，即D在線段AB上，此時(shí)由增大到，所以的取值范圍為，即直線CD的傾斜角的取值范圍為．【方法技巧與總結(jié)】由斜率的定義可知，當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率大于零；當(dāng)在范圍內(nèi)時(shí)，直線的斜率小于零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率為零；當(dāng)時(shí)，直線的斜率不存在．直線的斜率與直線的傾斜角（除外）為一一對應(yīng)關(guān)系，且在和范圍內(nèi)分別與傾斜角的變化方向一致，即傾斜角越大則斜率越大，反之亦然．因此若需在或范圍內(nèi)比較傾斜角的大小只需比較斜率的大小即可，反之亦然．題型三：已知兩點(diǎn)求斜率、已知斜率求參數(shù)例13．（多選題）（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）（多選）若經(jīng)過和的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的值可能為（

）A．2 B．0 C．1 D．2【答案】BCD【解析】由題意得，即，所以，故選：BCD．例14．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知直線過兩點(diǎn)且傾斜角為，則的值為_____.【答案】【解析】因直線的傾斜角為，則其斜率，又由，，則的斜率，則有．故答案為：.例15．（2022·江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知點(diǎn)，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以.故選：A.例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線過點(diǎn)，其傾斜角為，現(xiàn)將直線繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C．2 D．2【答案】B【解析】由題，，直線的傾斜角為，故故選：B例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線與軸?軸分別交于兩點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)，則的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，則，解得：，，，.故選：D.例18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若三點(diǎn)共線，則a的值為_________．【答案】【解析】由三點(diǎn)共線故故答案為：.例19．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若??三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m的值為___________.【答案】【解析】由題設(shè)，，則，可得.故答案為：例20．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)B，若，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________．【答案】或【解析】設(shè)或，∴或，∴或，∴或，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為或．故答案為：或．例21．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，在坐標(biāo)軸上有一點(diǎn)，若直線的斜率，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】若在軸上，則可設(shè)，，解得：，；若在軸上，則可設(shè)，，解得：，；綜上所述：點(diǎn)的坐標(biāo)為或.例22．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）（1）設(shè)坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)??，若直線AC的斜率是直線BC的斜率的3倍，求實(shí)數(shù)m的值；（2）已知直線的斜率為，直線的傾斜角是直線傾斜角的2倍，求直線的斜率.【解析】（1）由，即，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意，故m的值是1或2；（2）設(shè)直線的傾斜角為，則直線的傾斜角為.由已知，，則直線的斜率為.例23．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)，，且直線PQ的斜率為1，求實(shí)數(shù)m的值．【解析】由題意，直線PQ的斜率解得：【方法技巧與總結(jié)】由于直線上任意兩點(diǎn)的斜率都相等，因此A，B，C三點(diǎn)共線A，B，C中任意兩點(diǎn)的斜率相等（如）．斜率是反映直線相對于x軸正方向的傾斜程度的，直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即在同一直線上任意不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等．這正是利用斜率可證三點(diǎn)共線的原因．題型四：直線與線段相交關(guān)系求斜率范圍例24．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）若點(diǎn)在一次函數(shù)的圖像上，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是______．【答案】【解析】如圖，函數(shù)，表示線段其中，，的幾何意義為線段上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)連線的斜率的倍，，，的取值范圍是；故答案為：例25．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知過點(diǎn)的直線l與以點(diǎn)，為端點(diǎn)的線段AB相交，則直線l的斜率的取值范圍為___________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)，依題意，．因?yàn)橹本€與線段有交點(diǎn)，由圖可知直線的斜率的取值范圍是．故答案為：．例26．（2022·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)的直線與以、為端點(diǎn)的線段有交點(diǎn)，求直線的傾斜角的取值范圍．【答案】【解析】如圖所示，因?yàn)?，，，可得，，要使得直線與以、為端點(diǎn)的線段有交點(diǎn)，設(shè)直線的傾斜角為，其中，則滿足或，解得或，即直線的傾斜角的取值范圍.故答案為：.例27．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）已知，，若直線與線段AB沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】直線過點(diǎn)，畫出圖象如下圖所示，，，由于直線與線段AB沒有公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線與線段有公共點(diǎn)，不符合題意，當(dāng)時(shí)，直線的斜率為，根據(jù)圖象可知的取值范圍是，所以的取值范圍是.故選：A例28．（2022·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，若直線l過點(diǎn)，且與線段相交，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A．或 B．C． D．【答案】A【解析】直線的斜率，直線的斜率，因?yàn)橹本€l過點(diǎn)，且與線段相交，結(jié)合圖象可得直線的斜率的取值范圍是或．故選：A．例29．（2022·全國·高二）設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段AB相交，則直線的斜率k的取值范圍是（）A．或 B．C． D．以上都不對【答案】A【解析】如圖所示，直線PB，PA的斜率分別為，結(jié)合圖形可知或故選：A例30．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，若直線過點(diǎn)且與線段相交，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】直線過點(diǎn)且斜率為，與連接兩點(diǎn)，的線段有公共點(diǎn)，由圖，可知，，當(dāng)時(shí)，直線與線段有交點(diǎn)．故選：B．例31．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，點(diǎn)是線段（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】[1，2]【解析】設(shè)，則可以看成過點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)的直線的斜率.當(dāng)點(diǎn)在線段上由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線的斜率由增大到，如圖所示.又，，所以，即的取值范圍是[1，2].故答案為：[1，2]例32．（2022·全國·高二專題練習(xí)）在線段上運(yùn)動(dòng)，已知，則的取值范圍是_______.【答案】【解析】表示線段上的點(diǎn)與連線的斜率，因?yàn)樗杂蓤D可知的取值范圍是．故答案為：例33．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）若點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】由題設(shè)，表示上對應(yīng)點(diǎn)與所成直線的斜率范圍，如圖，，則，，故的取值范圍是.故答案為：【方法技巧與總結(jié)】直線的傾斜角是從“形”的角度刻畫直線的傾斜程度，而直線的斜率及斜率公式則從“數(shù)”的角度刻畫直線的傾斜程度，把二者緊密地結(jié)合在一起就是數(shù)形結(jié)合．利用它可以較為簡便地解決一些綜合問題，如過定點(diǎn)的直線與已知線段是否有公共點(diǎn)的問題，可先作出草圖，再結(jié)合圖形考慮．一般地，若已知，，，過點(diǎn)作垂直于軸的直線，過點(diǎn)的任一直線的斜率為，則當(dāng)與線段不相交時(shí)，夾在與之間；當(dāng)與線段相交時(shí)，在與的兩邊．題型五：直線平行例34．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）根據(jù)下列給定的條件，判斷直線與直線是否平行．(1)的傾斜角為60°，經(jīng)過點(diǎn)，；(2)平行于y軸，經(jīng)過點(diǎn)，．【解析】（1）由題意，知直線的斜率，直線的斜率，所以，所以或與重合．（2）由題意，知是y軸所在的直線，所以．例35．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（

）條件A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要【答案】D【解析】充分性：直線與平行，但是和都沒有斜率，即當(dāng)和都垂直于軸時(shí)，與仍然平行，但是，此時(shí)不滿足直線與的斜率相等，故充分性不成立；必要性：直線與的斜率相等，則直線與平行或重合，故必要性不成立；綜上，“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的既非充分又非必要條件.故選：D例36．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）直線和直線平行，則直線和直線的位置關(guān)系是（

）A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交【答案】B【解析】因?yàn)橹本€和直線平行，所以，故直線為，與直線平行故選：B例37．（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）已知直線，．若，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】由題意得，，解得.經(jīng)驗(yàn)證符合題意.故選：D.例38．（2022·四川自貢·高一期末（文））若直線與直線平行，則（

）A．或0 B． C．1或0 D．1【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，兩直線分別為，，此時(shí)兩直線垂直，不平行，不合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，綜上，，故選：D例39．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題①若，則斜率；

②若斜率，則；③若，則傾斜角；④若傾斜角，則；其中正確命題的個(gè)數(shù)是______．【答案】【解析】因?yàn)榕c為兩條不重合的直線，且它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，.①由于斜率都存在，若，則，此命題正確；②因?yàn)閮芍本€的斜率相等即斜率，得到傾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命題正確；③因?yàn)椋鶕?jù)兩直線平行，得到，此命題正確；④因?yàn)閮芍本€的傾斜角，根據(jù)同位角相等，得到，此命題正確；所以正確的命題個(gè)數(shù)是4．故答案為：．例40．（2022·湖南·炎陵縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知直線l1：x＋my－2m－2＝0，直線l2：mx＋y－1－m＝0，當(dāng)時(shí)，m＝_________【答案】1【解析】因?yàn)?，且斜率一定存在，所以，即，又因?yàn)?，為兩條不同的直線，所以，所以故答案為：1例41．（2022·貴州遵義·高三開學(xué)考試（文））直線：，：，若，則________．【答案】2【解析】由題設(shè)，，則，所以或，當(dāng)，：，：重合，不合題設(shè)；當(dāng)，：，：平行，滿足題設(shè)；故.故答案為：2【方法技巧與總結(jié)】判定兩條不重合的直線是否平行的依據(jù)是：當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時(shí)，只需看它們的斜率是否相等即可，反過來，兩條直線平行，則隱含著這兩條直線的斜率相等（當(dāng)這兩條直線均不與x軸垂直時(shí)）．判定兩條直線是否平行，只要研究兩條直線的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情況，以及兩條直線是否重合．題型六：直線垂直例42．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）判斷下列各組直線是否垂直，并說明理由：(1)，；(2)，；(3)，．【解析】(1)設(shè)兩條直線，的斜率分別為，，則，，因?yàn)椋裕?2)設(shè)兩條直線，的斜率分別為，，則，，因?yàn)?，所以?3)由兩個(gè)方程，可知軸，軸，所以．例43．（2022·湖北十堰·高二階段練習(xí)）關(guān)于直線：，：，若，則__________.【答案】【解析】若，則，解得.故答案為：.例44．（2022·全國·高二專題練習(xí)）若直線與直線垂直，直線的斜率為，則直線的傾斜角為______．【答案】【解析】設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)橹本€與直線垂直，直線的斜率為，則，因?yàn)?，因此?故答案為：.例45．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）若直線l1與l2的斜率k1、k2是關(guān)于k的方程的兩根，若l1⊥l2，則b=_____．【答案】【解析】因?yàn)樾甭蔾1、k2是關(guān)于k的方程的兩根，所以，因?yàn)閘1⊥l2，所以，即，故答案為：例46．（2022·四川資陽·高一期末）已知直線與互相垂直，則（

）A． B． C．1 D．1或【答案】C【解析】因?yàn)橹本€與互相垂直，所以，解得.故選：C例47．（2022·全國·高二專題練習(xí)）以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是（

）．A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】B【解析】由題意，同理，，，，三角形是直角三角形．故選：B．【方法技巧與總結(jié)】利用直線平行與垂直的條件解題，主要利用其斜率的關(guān)系，當(dāng)然，在解題時(shí)要特別注意斜率不存在的情況，以及分類討論的思想．題型七：直線平行、垂直在幾何問題的應(yīng)用例48．（2022·全國·高二專題練習(xí)）用坐標(biāo)法證明：菱形的對角線互相垂直.【解析】以AB為x軸，過A作AB的垂線為y軸，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)各點(diǎn)坐標(biāo)分別為因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以由，所以，菱形的對角線互相垂直.例49．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知，A，B，C，D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).【解析】由題，，所以kAC=2，，kBC=－3，設(shè)D的坐標(biāo)為（x，y），分以下三種情況：①當(dāng)BC為對角線時(shí)，有kCD=kAB，kBD=kAC，所以，，，得x=7，y=5，即②當(dāng)AC為對角線時(shí)，有kCD=kAB，kAD=kBC，所以，，得x=－1，y=9，即③當(dāng)AB為對角線時(shí)，有kBD=kAC，kAD=kBC所以，得x=3，y=－3，即所以D的坐標(biāo)為或或.例50．（2022·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)按逆時(shí)針順序依次是，，，，其中，試判斷四邊形的形狀，并給出證明．【解析】四邊形是矩形．證明如下：邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，所以，，所以，，所以四邊形是平行四邊形．又，所以，所以四邊形是矩形．又，，令，即，無解，所以與不垂直，故四邊形是矩形．例51．（2022·全國·高二專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，其中且.試判斷四邊形的形狀.【解析】由斜率公式，得，，，，，.∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形.又，∴.又，∴與不垂直，∴四邊形為矩形.例52．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知，，.（1）若，，，可以構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）在（1）的條件下，判斷，，，構(gòu)成的平行四邊形是否為菱形.【解析】（1）由題意得，，，設(shè).若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.若四邊形是平行四邊形，則，，即，解得，即.綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，6）或（7，2）或（3，2）.（2）若的坐標(biāo)為（1，6），因?yàn)?，，所以，所以，所以平行四邊形為菱?若的坐標(biāo)為（7，2），因?yàn)椋?，所以，所以平行四邊形不是菱?若的坐標(biāo)為（3，2），因?yàn)?，直線的斜率不存在，所以平行四邊形不是菱形.因此，平行四邊形為菱形,平行四邊形,不是菱形.例53．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)，，，是否存在點(diǎn)A，使四邊形ABCD為直角梯形？若存在，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】設(shè)點(diǎn)．若，則，解得，點(diǎn)．若，則，解得，點(diǎn)【方法技巧與總結(jié)】解決此類問題的關(guān)鍵是充分利用幾何圖形的幾何性質(zhì)，并用解析幾何中的相關(guān)知識(shí)解決．【同步練習(xí)】一、單選題1．已知點(diǎn)，則直線的傾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)，所以，設(shè)直線的傾斜角為，則，所以.故選：A.2．若圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2【答案】D【解析】直線l1的傾斜角α1是鈍角，故k1＜0.直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，因此k1＜k3＜k2.故選:D.3．若直線與直線平行，則（

）A．或0 B． C．1或0 D．1【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，兩直線分別為，，此時(shí)兩直線垂直，不平行，不合題意，當(dāng)時(shí)，因?yàn)橹本€與直線平行，所以，解得，綜上，，故選：D4．“”是“直線與直線垂直”的（

）A．充分必要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】直線與直線垂直,則，解得：或，所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件.故選：B.5．已知，，過點(diǎn)且斜率為的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)檫^點(diǎn)且斜率為的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，所以由圖可知，或，因?yàn)榛?，所以或，故選：D6．直線過點(diǎn)，其傾斜角為，現(xiàn)將直線繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C．2 D．2【答案】B【解析】由題，，直線的傾斜角為，故故選：B7．已知正的頂點(diǎn)，，頂點(diǎn)在第一象限，若點(diǎn)是內(nèi)部及其邊界上一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】正的頂點(diǎn)，且頂點(diǎn)在第一象限，故頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，可看作內(nèi)部及其邊界上一點(diǎn)與點(diǎn)的連線斜率，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，直線的斜率最大，故的最大值為故選：B.8．三名同學(xué)相約在暑期進(jìn)行了社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，同去某工廠加工同一種產(chǎn)品，他們在一天中的工作情況如圖所示，其中的橫、縱坐標(biāo)分別為第名同學(xué)上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)分別為第名同學(xué)下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，，記為第名同學(xué)在這一天平均每小時(shí)加工的產(chǎn)品個(gè)數(shù)，則中最大的（

）A． B． C． D．不能確定【答案】B【解析】設(shè),，根據(jù)題意可知表示第名同學(xué)早上的工作時(shí)間，表示第名同學(xué)早上的加工零件數(shù)；同理，表示第名同學(xué)下午的工作時(shí)間，表示第名同學(xué)下午的加工零件數(shù).所以，因此，可理解為線段中點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率（如圖）因此，由圖可以看出最大故選：B二、多選題9．下列命題中，是假命題的是（

）A．若直線的傾斜角越大，則直線的斜率就越大B．若直線的傾斜角為，則直線的斜率為C．若直線傾斜角，則斜率的取值范圍是D．若直線的斜率為，則直線的傾斜角為【答案】ABD【解析】A.若直線的傾斜角是銳角，則斜率大于零，若直線的傾斜角是鈍角，則斜率小于零，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.若直線的傾斜角為直角，則直線沒有斜率，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.若直線傾斜角，則斜率的取值范圍是，所以該選項(xiàng)正確；D.若直線的斜率為，則但是直線的傾斜角為不是，而是，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABD10．已知直線，其中，下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線與直線垂直B．若直線與直線平行，則C．直線的傾斜角一定大于D．當(dāng)時(shí)，直線在兩坐標(biāo)軸上的截距相等【答案】AC【解析】A：當(dāng)時(shí)，直線的方程為，可化為：，所以該直線的斜率為1，直線的斜率為，因?yàn)?，所以這兩條直線互相垂直，因此本選項(xiàng)說法正確；B：由直線與直線平行，可得或，因此本選項(xiàng)說法不正確；C：直線方程可化為：，設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以本選項(xiàng)說法正確；D：當(dāng)時(shí)，直線的方程為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不相等，因此本選項(xiàng)說法不正確，故選：AC11．已知點(diǎn)到直線的距離相等，則實(shí)數(shù)a的值可以為（

）A． B． C．1 D．2【答案】AB【解析】由點(diǎn)，可得的中點(diǎn)坐標(biāo)，且，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離相等，當(dāng)直線過點(diǎn)的中點(diǎn)，可得，解得；當(dāng)直線時(shí)，可得，即，綜上可得，實(shí)數(shù)的值為或，故選：AB.12．設(shè)集合，，且，則正實(shí)數(shù)a的取值可以為（

）A．4 B．1 C．2 D．【答案】BD【解析】∵，∴．將點(diǎn)代入