增分專題四空間幾何體截面問題

增分專題四空間幾何體截面問題一、單選題1．如圖，在正方體中，AB=2，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)A，E，F(xiàn)作該正方體的截面，則該截面不可能是（）A．平行四邊形 B．等腰梯形C．五邊形 D．六邊形【答案】D【分析】對分類討論，分別畫出所對應(yīng)的截面圖形，即可判斷；【詳解】解：當(dāng)，即F與重合時(shí)，如圖1，取的中點(diǎn)，截面為矩形；當(dāng)時(shí)，如圖2，截面為平行四邊形AEGF；當(dāng)時(shí)，如圖3，截面為五邊形AEGHF，當(dāng)，即F與重合時(shí)，如圖4，截面為等腰梯形AEGF．故選：D2．如圖所示，一個(gè)棱長為的正四面體，沿棱的四等分點(diǎn)作平行于底面的截面，截去四個(gè)全等的棱長為的正四面體，得到截角四面體，則該截角四面體的體積為（）A．4 B． C．5 D．【答案】D【分析】先計(jì)算出棱長為的正四面體的體積，然后計(jì)算出棱長為的正四面體的體積，由此可求截角四面體的體積.【詳解】如圖所示正四面體的棱長為，所以，所以，所以此正四面體的體積為，同理可計(jì)算出棱長為的正四面體的體積為，所以截角四面體的體積為：，故選：D.3．已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，若過直線的平面截圓錐所得的截面是面積為8的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)圓錐的母線長為，根據(jù)題意求得，進(jìn)而求得圓錐的點(diǎn)半徑為，結(jié)合圓錐的側(cè)面積公式,即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，則，得，即母線長為4，設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，即圓錐底面圓的半徑為，所以圓錐的側(cè)面積為.故選:D.4．如圖，在棱長為2的正方休中，，，分別為，，，的中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平而截正方休所得的截面面積為（）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意畫出截面，得到截面為正六邊形，從而可求出截面的面積【詳解】如圖，分別取的中點(diǎn)，的中點(diǎn),的中點(diǎn)，連接，因?yàn)樵搸缀误w為正方體，所以∥,∥,∥,且所以，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為正六邊形，所以該正六邊形的面積為.故選：D5．一個(gè)三棱錐的各棱長均相等，其內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切球，即球與三棱錐的各面均相切（球在三棱錐的內(nèi)部，且球與三棱錐的各面只有一個(gè)交點(diǎn)），過一條側(cè)棱和對邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，該三棱錐為正四面體，內(nèi)切球與各面相切于各個(gè)面的中心，即可判斷出選項(xiàng)B正確．【詳解】如圖所示：因?yàn)槿忮F的各棱長均相等，所以該三棱錐為正四面體，內(nèi)切球與各面相切于各個(gè)面的中心，即可知過一條側(cè)棱和對邊的中點(diǎn)作三棱錐的截面，所得截面圖形是．故選：B．6．已知正四面體的棱長為2，，，分別為，，的中點(diǎn)，則正四面體的外接球被平面所截的截面面積是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先將正四面體放入相應(yīng)的正方體中，根據(jù)題意可得球心在上，所以正四面體的外接球被平面所截的截面即大圓，進(jìn)而可得其面積.【詳解】將正四面體放入正方體中，如圖所示，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，分別為左右側(cè)面的中心，所以正方體的外接球即正四面體的外接球球心為線段的中點(diǎn)，所以正四面體的外接球被平面所截的截面即為大圓.因?yàn)檎拿骟w的棱長為2，所以正方體的棱長為，所外接球半徑，所以大圓面積為：.故選：C.7．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，M，N為線段BC，CC1上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A1，M，N的平面截該正方體的截面記為S，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（）①當(dāng)BM＝0且0＜CN＜1時(shí)，S為等腰梯形；②當(dāng)M，N分別為BC，CC1的中點(diǎn)時(shí)，幾何體A1D1MN的體積為；③當(dāng)M為BC中點(diǎn)且CN＝時(shí)，S與C1D1的交點(diǎn)為R，滿足C1R＝；④當(dāng)M為BC中點(diǎn)且0≤CN≤1時(shí)，S為五邊形．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】利用空間直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，作輔助線，以及錐體的體積公式進(jìn)行計(jì)算，對選項(xiàng)逐一分析，利用命題真假進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：對于①，如圖所示當(dāng)且時(shí)，由面面平行的性質(zhì)定理可得，交線，且，所以截面S為等腰梯形，①正確；對于②，如圖所示面，面故幾何體的體積等于幾何體的體積又幾何體的體積等于所以幾何體的體積為，②正確；對于③，如圖所示當(dāng)時(shí)，延長交與點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)，，，③錯(cuò)誤；對于④，如圖所示當(dāng)，即點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)截面S為四邊形，不是五邊形，④錯(cuò)誤；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，錐體體積的計(jì)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬中檔題．8．已知正方體棱長為4，P是中點(diǎn)，過點(diǎn)作平面滿足平面，則平面與正方體的截面周長為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出平面為平面，再根據(jù)正方體的棱長為4，即可得答案；【詳解】取AD的中點(diǎn)M，AB的中點(diǎn)N，連結(jié)PD，則平面PCD，CP，又MN面，PCMNPC面，即平面為面，，截面的周長為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查空間中平面的作法、線面垂直判定定理與性質(zhì)定理的運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力.二、多選題9．如圖，在正方體中，，為棱的中點(diǎn)，為棱上的一動點(diǎn)，過點(diǎn)，，作該正方體的截面，則該截面可能是（）A．平行四邊形 B．等腰梯形 C．五邊形 D．六邊形【答案】ABC【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，當(dāng)，截面為矩形；當(dāng)時(shí)，截面為平行四邊形；當(dāng)時(shí)，截面為五邊形；當(dāng)，截面為等腰梯形，即可求解.【詳解】當(dāng)，即與重合時(shí)，如圖1，取的中點(diǎn)，截面為矩形；當(dāng)時(shí)，如圖2，截面為平行四邊形；當(dāng)時(shí)，如圖3，截面為五邊形；當(dāng)，即與重合時(shí)，如圖4，截面為等腰梯形.故選：ABC.10．如圖，棱長為的正四面體形狀的木塊，點(diǎn)是的中心．勞動課上需過點(diǎn)將該木塊鋸開，并使得截面平行于棱和，則下列關(guān)于截面的說法中正確的是（）A．截面不是平行四邊形B．截面是矩形C．截面的面積為D．截面與側(cè)面的交線平行于側(cè)面【答案】BCD【分析】過點(diǎn)構(gòu)建四邊形，通過相關(guān)直線間的平行關(guān)系進(jìn)一步證明為平行四邊形，找對應(yīng)線之間的垂直證明截面為矩形，從而計(jì)算截面面積【詳解】解：如圖所示，在正四面體中，4個(gè)面均為正三角形，由于點(diǎn)為的中心，所以位于的中線的外，分別取的三等分點(diǎn)，則∥，∥，∥，∥，所以∥，∥，所以截面為平行四邊形，所以A錯(cuò)誤，延長交于，連接，由于為的中心，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以平面，所以，因?yàn)椤?，∥，所以，所以截面為矩形，所以B正確，因?yàn)?，所以，所以C正確，對于D，截面平面，∥，平面，平面，所以∥平面，所以D正確，故選：BCD11．(多選題)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是三角形，這個(gè)幾何體不可能是（）A．圓柱 B．圓臺 C．球體 D．棱臺【答案】ABC【分析】判斷出圓柱的截面圖形，即可求解.【詳解】圓柱、圓臺和球體無論怎樣截，截面可能是曲面，也可能是矩形(圓柱)，不可能截出三角形.只有棱臺可以截出三角形.故選：ABC.12．如圖，已知正方體的棱長為2，設(shè)點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，則過點(diǎn)的平面與正方體的截面形狀可能為（）A．三角形 B．矩形C．五邊形 D．六邊形【答案】BCD【分析】在正方體的內(nèi)部，由平面的延展性，截面不可能的三角形；取的中點(diǎn)，連接，此時(shí)過的平面即為平面；取，，連接，此時(shí)過的平面即為五邊形；分別取的中點(diǎn)，連接，此時(shí)過的平面即為六邊形，【詳解】在正方體的內(nèi)部，由平面的延展性，截面不可能的三角形，故A錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，又，所以四邊形是矩形，此時(shí)過的平面即為平面，B正確；取，，連接，分別取的中點(diǎn)，取，連接、，可得，，所以在同一平面內(nèi)，在同一平面內(nèi)，又過的平面只有一個(gè)，所以是五邊形，此時(shí)過的平面即為五邊形，故C正確；分別取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)，交于一點(diǎn)，所以的中點(diǎn)在平面內(nèi)，即也在平面內(nèi)，所以是六邊形，此時(shí)過的平面即為六邊形，故D正確.故選：BCD.三、填空題13．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與AC平行，且過正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面是___．【答案】平面A1C1D，平面A1C1B【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，得出與AC平行，且過正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面是平面A1C1D，平面A1C1B．【詳解】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，與AC平行，且過正方體三個(gè)頂點(diǎn)的截面是平面A1C1D，平面A1C1B．∵AA1∥CC1，AA1=CC1，∴四邊形ACC1A1是平行四邊形；∴AC∥A1C1，又AC平面A1C1D，A1C1平面A1C1D，∴AC∥平面A1C1D；同理AC∥平面A1C1B．故答案為：平面A1C1D，平面A1C1B．14．用一個(gè)平面去截幾何體，如果截面是三角形，那么這個(gè)幾何體可能是下面哪幾種：________（填序號）．①棱柱；②棱錐；③棱臺；④圓柱；⑤圓錐；⑥圓臺；⑦球．【答案】①②③⑤【分析】根據(jù)棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征，即可判斷.【詳解】無論是棱柱，還是棱錐，或者棱臺，總存在過一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱，在這三條棱上各取一個(gè)靠近頂點(diǎn)的點(diǎn)，經(jīng)過這三點(diǎn)的截而便為三角形.用軸截而去截圓錐，則截面是三角形.另外，對于圓柱，圓臺，球，無論怎樣去截這些幾何體，其截面均不可能為三角形故答案為：①②③⑤.15．正方體為棱長為2，動點(diǎn)，分別在棱，上，過點(diǎn)，，的平面截該正方體所得的截面記為，設(shè)，，其中，，下列命題正確的是_____．（寫出所有正確命題的編號）①當(dāng)時(shí)，為矩形，其面積最大為4；②當(dāng)時(shí)，的面積為；③當(dāng)，時(shí)，設(shè)與棱的交點(diǎn)為，則；④當(dāng)時(shí)，以為頂點(diǎn)，為底面的棱錐的體積為定值．【答案】②③④【分析】由題意可知當(dāng)，變化時(shí)，為不同的圖形，故可根據(jù)題意逐一判斷即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，此時(shí)為矩形，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，的面積最大，．故①錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，為的中位線，，，，為等腰梯形的面積，過作于，，，，，，，故②正確；由圖可設(shè)與交于點(diǎn)，可得，，，則，，故③正確；當(dāng)時(shí)，以為定點(diǎn)，為底面的棱錐為，，故④正確；故答案為：②③④．16．已知正方體的棱長為2，每條棱所在直線與平面所成的角相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為__________.【答案】【分析】利用正方體的線面關(guān)系，判斷平面所在的位置，然后求得截面面積的最大值即可.【詳解】在正方體中，共有3組互相平行的棱，每條棱與平面所成的角都相等，如圖所示的正六邊形對應(yīng)的截面面積最大.此時(shí)正六邊形的邊長為，其面積為故答案為：四、解答題17．已知正方體的棱長為2，若，分別是的中點(diǎn)，作出過，，三點(diǎn)的截面.【答案】圖象見解析【詳解】18．如圖所示，正四棱錐的所有棱長都等于a，過不相鄰的兩條棱作截面，求截面的面積.【答案】【分析】根據(jù)正四棱錐的性質(zhì)求解截面的面積即可.【詳解】根據(jù)正棱錐的性質(zhì)，知底面是正方形，故.在等腰中，，又∵，∴，∴，即.19．如圖所示，在長方體ABCD－A′B′C′D′中，用截面截下一個(gè)棱錐C－A′DD′，求棱錐C－A′DD′的體積與剩余部分的體積之比.【答案】．【分析】設(shè)出長方體的三條棱長，求出棱錐C－A′DD′和長方體的體積后可得比值．【詳解】設(shè)，則長方體體積為，，所以棱錐體積為，所以．20．已知正三棱柱的所有棱長都是1（1）畫經(jīng)過ABC三點(diǎn)的截面（2）過棱BC作和底面成二面角的截面，求此截面面積.【答案】（1）見解析

（2）【分析】（1）連接AB與交于點(diǎn)P，連接AC與交于點(diǎn)Q，再連接PQ即可；（2）取BC的中點(diǎn)E，連接AE，EF，得到是截面與底面所成的角，由，得到截面不與棱相交，與平面相交于，得到截面為梯形求解.（1）如圖所示；連接AB與交于點(diǎn)P，連接AC與交于點(diǎn)Q，然后連接PQ與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N，所以經(jīng)過ABC三點(diǎn)的截面是ABMN；（2）如圖所示：取BC的中點(diǎn)E，連接AE，EF，則，所以是截面與底面所成的角，即，因?yàn)?，所以，所以截面不與棱相交，與平面相交于，因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，所以，所以截面為梯形，又，，所以，因?yàn)?，所以，所以截面的面積為.21．用一個(gè)平面截正方體，截面的形狀會是什么樣的？請你給出截面圖形的分類原則，找到截得這些形狀截面的方法，畫出這些截面的示意圖．例如，可以按照截面圖形的邊數(shù)進(jìn)行分類：（1）如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形？為什么？（2）如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？為什么？（3）能否截出正五邊形？為什么？（4）是否存在正六邊形的截面？為什么？（5）有沒有可能截出邊數(shù)超過6的多邊形？為什么？【答案】（1）三類，見解析（2）五類，見解析（3）不能，見解析（4）存在，見解析（5）不能，見解析.【分析】（1）根據(jù)題意作出截面，并分類即可；（2）根據(jù)題意，作出截面，并分類即可；（3）假設(shè)可以截出，反證法說明即可；（4）過六條棱個(gè)中點(diǎn)的截面即為正六邊形.（5）結(jié)合正方體最多只有6個(gè)平面說明即可.（1）解：如果截面是三角形，則可以是銳角三角形，等腰三角形，等邊三角形，不能出現(xiàn)直角三角形和鈍角三角形，如圖是截面情況.（2）解：若截面是四邊形，可以是梯形，平行四邊形，菱形，正方形，矩形等，其中梯形可以為等腰梯形，其中梯形：過相對兩個(gè)平面上平行且不等長的線的截面所截得圖形；平行四邊形：過正方體的一條體對角線，且不過正方體的棱及棱的中點(diǎn)的截面所截得圖形