專題14線性回歸直線與非線性回歸直線方程

專題14線性回歸直線與非線性回歸直線方程【考點預測】1、兩個變量線性相關(1)散點圖：將樣本中個數(shù)據(jù)點(i＝1,2，…，)描在平面直角坐標系中得到的圖形．(2)正相關與負相關①正相關：散點圖中的點散布在從左下角到右上角的區(qū)域．②負相關：散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域．2、回歸直線的方程(1)回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程：回歸直線對應的方程叫回歸直線的方程，簡稱回歸方程．(3)回歸方程的推導過程：①假設已經(jīng)得到兩個具有線性相關關系的變量的一組數(shù)據(jù),,．②設所求回歸方程為，其中是待定參數(shù)．③由最小二乘法得其中，是回歸方程的斜率，是截距．3、當經(jīng)驗回歸方程并非形如(）時，稱之為非線性經(jīng)驗回歸方程，當兩個變量不呈線性相關關系時，依據(jù)樣本點的分布選擇合適的曲線方程來模擬，常見的非線性經(jīng)驗回歸方程的轉換方式總結如下：曲線方程變換公式變換后的線性關系式建立非線性經(jīng)驗回歸模型的基本步驟（1）確定研究對象，明確哪個是解釋變量，哪個是響應變量；（2）由經(jīng)驗確定非線性經(jīng)驗回歸方程的模型；（3）通過變換（一般題目都有明顯的暗示如何換元，換元成什么變量），將非線性經(jīng)驗回歸模型轉化為線性經(jīng)驗回歸模型（特別注意：使用線性回歸方程的公式，注意代入變換后的變量）；（4）按照公式計算經(jīng)驗回歸方程中的參數(shù)，得到經(jīng)驗回歸方程；（5）消去新元，得到非線性經(jīng)驗回歸方程；（6）得出結果后分析殘差圖是否有異常．【典型例題】例1．（2023·安徽滁州·高二統(tǒng)考期末）下列命題中正確的為（

）散點圖可以直觀的判斷兩個變量是否具有線性相關關系；經(jīng)驗回歸直線就是散點圖中經(jīng)過樣本數(shù)據(jù)點最多的那條直線；線性相關系數(shù)的絕對值越接近于，表明兩個變量線性相關性越弱；同一組樣本數(shù)據(jù)中，決定系數(shù)越大的模型擬合效果越好A． B． C． D．【答案】C【解析】對于，散點圖可以直觀的判斷兩個變量是否具有線性相關關系，故正確；對于，回歸直線也可能不過任何一個點，故錯誤；對于，線性相關系數(shù)的絕對值越接近于，表明兩個變量線性相關性越強，故錯誤；對于，同一組樣本數(shù)據(jù)中，決定系數(shù)越大的模型擬合效果越好，故正確．故選：C．例2．（2023·黑龍江雙鴨山·高二雙鴨山一中校考期末）已知數(shù)據(jù)的三對觀測值為，用“最小二乘法”判斷下列直線的擬合程度，則效果最好的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當擬合直線為時，預報值與實際值的差的平方和，當擬合直線為時，預報值與實際值的差的平方和，當擬合直線為時，預報值與實際值的差的平方和，當擬合直線為時，預報值與實際值的差的平方和，故最小，即效果最好的是.故選：A.例3．（2023·山東青島·高二?？计谥校└鶕?jù)變量和的成對樣本數(shù)據(jù)，由一元線性回歸模型得到經(jīng)驗回歸模型，求得殘差圖.對于以下四幅殘差圖，滿足一元線性回歸模型中對隨機誤差假設的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)一元線性回歸模型中對隨機誤差的假定，殘差應是均值為、方差為的隨機變量的觀測值.對于A選項，殘差與有線性關系，故A錯誤；對于B選項，殘差的方差不是一個常數(shù)，隨著觀測時間變大而變小，故B錯；對于C選項，殘差與有非線性關系，故C錯；對于D選項，殘差比較均勻地分布在以取值為的橫軸為對稱軸的水平帶狀區(qū)域內，故D正確.故選：D.例4．（2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期中）有一散點圖如圖所示，在5個數(shù)據(jù)中去掉后，下列說法正確的是（

）A．相關系數(shù)r變小 B．殘差平方和變小C．變量x，y負相關 D．解釋變量x與預報變量y的相關性變弱【答案】B【解析】對于A,去掉后，相關性變強，相關系數(shù)r變大，對于B,殘差平方和變小，故B正確，對于C，散點的分布是從左下到右上，故變量x，y正相關，故C錯誤，對于D，解釋變量x與預報變量y的相關性變強，故D錯誤，故選：B例5．（2023·江西撫州·高二金溪一中校聯(lián)考期中）在兩個變量與的回歸模型中，分別選擇了4個不同的模型，它們的樣本相關系數(shù)如表所示，其中線性相關性最強的模型是（

）模型模型1模型2模型3模型4相關系數(shù)0.480.150.960.30A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型4【答案】C【解析】樣本相關系數(shù)的絕對值越接近1，說明與的線性相關性越強.故選：C.例6．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）2021年2月25日，中國自豪地向全世界宣布已經(jīng)消除絕對貧困.在現(xiàn)行標準下，9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個貧困縣全部摘帽，12.8萬個貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對貧困的艱巨任務.某地區(qū)2014年至2020年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2014201520162017201820192020年份代號1234567人均純收入6.97.37.68.48.89.29.9(1)通過繪制散點圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數(shù)加以說明；（結果保留2位小數(shù)）(2)求關于的線性回歸方程；(3)利用（2）中的回歸方程，預測該地區(qū)2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附：相關系數(shù)，線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為，.參考數(shù)據(jù)：，，.【解析】（1），則，所以，由于相關系數(shù)非常接近于1，故可用線性回歸模型擬合與的關系；（2），，，故線性回歸方程為：（3）2023年，即當時，（千元），故預測該地區(qū)2023年農(nóng)村居民家庭人均純收入為千元.例7．（2023·陜西渭南·高二統(tǒng)考期末）某高中生參加社會實踐活動，對某公司1月份至5月份銷售的某種配件的銷售量及銷售單價進行了調查，銷售單價和銷售量之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示：月份12345銷售單價元99.51010.511銷售量件1110865(1)由上表數(shù)據(jù)知，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數(shù)加以說明；（精確到0.01）(2)求出關于的線性回歸方程；(3)預計在今后的銷售中，銷售量與銷售單價仍然服從（2）中的關系，如果該種配件的成本是2.5元/件，那么該種配件的銷售單價應定為多少元才能獲得最大利潤？（注：利潤銷售收入成本）參考公式：相關系數(shù)，線性回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為.參考數(shù)據(jù)：【解析】（1），，，由于與的相關系數(shù)近似為，說明與的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系.（2），，又，，關于的線性回歸方程為.（3）設銷售利潤為，則，整理得，所以當時，故該配件的銷售單價應定為元才能獲得最大利潤.例8．（2023·重慶沙坪壩·高二重慶八中?？计谀┯幸粋€開房門的游戲，其玩法為:盒中先放入兩把鑰匙和兩把鑰匙，能夠打開房門，不能打開房門.每次從盒中隨機取一把試開，試開后不放回鑰匙.第一次打開房門后，關上門繼續(xù)試開，第二次打開房門后停止抽取，稱為進行了一輪游戲.若每一輪取鑰匙不超過三次，則該輪“成功”，否則為“失敗”，如果某一輪“成功”，則游戲終止；若“失敗”，則將所有鑰匙重新放入盒中，并再放入一把鑰匙，繼續(xù)下一輪抽取，直至“成功”.(1)有名愛好者獨立參與這個游戲，記表示“成功”時抽取鑰匙的輪次數(shù)，表示對應的人數(shù)，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表:若將作為關于的經(jīng)驗回歸方程，估計抽取輪才“成功”的人數(shù)（人數(shù)精確到個位）；(2)由于時間關系，規(guī)定：進行游戲時，最多進行三輪，若均未“成功”也要終止游戲.求游戲要進行三輪的概率.參考公式：最小二乘估計，.參考數(shù)據(jù)：取，，其中，.【解析】（1）令，設，由條件知，，所以，，從而，故所求的回歸方程為.所以，估計當時，，即抽取輪才“成功”的人數(shù)約為人.（2）由條件知，游戲要進行三輪，即前兩輪均失敗.設事件為“第一輪成功”，事件為“第二輪成功”，則、相互獨立.因為，，所以，前兩輪均失敗的概率為.故游戲要進行三輪的概率為.例9．（2023·吉林·高二吉林一中?？计谥校└鶕?jù)黨的“扶貧同扶志、扶智相結合”精準扶貧、精準脫貧政策，中國兒童少年基金會為了豐富留守兒童的課余文化生活，培養(yǎng)良好的閱讀習慣，在農(nóng)村留守兒童聚居地區(qū)捐建“小候鳥愛心圖書角”.2016年某村在寒假和暑假組織開展“小候鳥愛心圖書角讀書活動”，號召全村少年兒童積極讀書，養(yǎng)成良好的閱讀習慣，下表是對2016年以來近5年該村莊100位少年兒童的假期周人均讀書時間的統(tǒng)計：年份20162017201820192020年份代碼12345每周人均讀書時間（小時）1.32.85.78.913.8現(xiàn)要建立關于的回歸方程，有兩個不同回歸模型可以選擇，模型一:；模型二:，即使畫出關于的散點圖，也無法確定哪個模型擬合效果更好，現(xiàn)用最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型一的方程為.(1)請你用最小二乘法原理，結合下面的參考數(shù)據(jù)及參考公式求出模型二的方程（計算結果保留到小數(shù)點后一位）；(2)用計算殘差平方和的方法比較哪個模型擬合效果更好，已經(jīng)計算出模型一的殘差平方和為.附：參考數(shù)據(jù)：，其中，.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為，.【解析】（1）令，則模型二可化為關于的線性回歸問題，則，，則由參考數(shù)據(jù)可得，，則模型二的方程為；（2）由模型二的回歸方程可得，，，，，，∴，故模型二的擬合效果更好.例10．（2023·浙江寧波·高二寧波市北侖中學?？计谥校┙?jīng)觀測，某種昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x有關，現(xiàn)將收集到的溫度和產(chǎn)卵數(shù)（）的10組觀測數(shù)據(jù)作了初步處理，得到如下圖的散點圖及一些統(tǒng)計量表．275731．121．71502368．3630表中，．(1)根據(jù)散點圖判斷，，與哪一個適宜作為y與x之間的回歸方程模型？（給出判斷即可，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結果及表中數(shù)據(jù)，試求y關于x的回歸方程．【解析】（1）適宜作為y與x之間的回歸方程模型；理由如下：回歸方程模型適用于散點圖呈直線型；回歸方程模型適用于散點圖上升，且上升趨勢越來越慢；回歸方程模型適用于散點圖上升，且上升趨勢越來越快，呈指數(shù)型變化；根據(jù)散點圖判斷，看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)的周圍，所以適宜作為y與x之間的回歸方程模型．（2）令，則，由表中數(shù)據(jù)可得，；，∴；∴y關于x的回歸方程為．例11．（2023·福建三明·高二統(tǒng)考期末）在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)的政策下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長.已知某地區(qū)2014年底到2021年底新能源汽車保有量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表如下：年份（年）20142015201620172018201920202021年份代碼x12345678保有量y/千輛1.952.924.386.589.8715.0022.5033.70參考數(shù)據(jù)：，，其中(1)根據(jù)統(tǒng)計表中的數(shù)據(jù)畫出散點圖（如圖），請判斷與哪一個更適合作為y關于x的經(jīng)驗回歸方程（給出判斷即可，不必說明理由），并根據(jù)你的判斷結果建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程：(2)假設每年新能源汽車保有量按（1）中求得的函數(shù)模型增長，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比相同.若2021年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為500千輛，預計到2026年底傳統(tǒng)能源汽車保有量將下降10%.試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量.參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，v1），），…，，其經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，；【解析】（1）根據(jù)該地區(qū)新能源汽車保有量的增長趨勢知，應選擇的函數(shù)模型是，令，則因為，所以，，，所以；（2）設傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比為r，依題意得，），解得，設從2021年底起經(jīng)過x年后的傳統(tǒng)能源汽車保有量為y千輛，則有x，設從2021年底起經(jīng)過x年后新能源汽車的數(shù)量將超過傳統(tǒng)能源汽車，則有，所以，解得，故從2021年底起經(jīng)過7年后，即2028年底新能源汽車的數(shù)量將超過傳統(tǒng)能源汽車.【過關測試】一、單選題1．（2023·福建三明·高二三明一中?？计谥校┫铝忻}錯誤的是（

）A．兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于B．設，且，則C．線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心D．隨機變量，若，則【答案】B【解析】根據(jù)相關系數(shù)的意義可知，兩個隨機變量的線性相關性越強，相關系數(shù)的絕對值越接近于，故A正確；由，知，即概率密度函數(shù)的圖像關于直線對稱，所以，則，故B錯誤；根據(jù)線性回歸直線的性質可知，線性回歸直線一定經(jīng)過樣本點的中心，故C正確；隨機變量，若，則，故D正確；故選：B.2．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考期中）觀察變量x與y的散點圖發(fā)現(xiàn)可以用指數(shù)型模型擬合其關系，為了求出回歸方程，設，求得z關于x的線性回歸方程為，則a與k的值分別為（

）A．3，2 B．2，3 C．，2 D．，3【答案】D【解析】因為，且z關于x的線性回歸方程為，所以，則，故選：D3．（2023·四川成都·高二統(tǒng)考期中）某校一個課外學習小組為研究某作物種子的發(fā)芽率和溫度（單位：）的關系，在個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)得到下面的散點圖：由此散點圖，在至之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由散點圖可見，數(shù)據(jù)分布成遞增趨勢，但是呈現(xiàn)上凸效果，即增加緩慢.A中，是直線型，均勻增長，不符合要求；B中，是二次函數(shù)型，函數(shù)對稱軸為軸，當時，圖象呈現(xiàn)下凸，增長也較快，不符合要求；當時，圖象呈現(xiàn)上凸，呈遞減趨勢，不符合要求；C中，是指數(shù)型，爆炸式增長，增長快，不符合要求；D中，是對數(shù)型，增長緩慢，符合要求.故對數(shù)型最適宜該回歸模型.故選：D.4．（2023·山西大同·高二山西省渾源中學?？计谥校I養(yǎng)學家對某地區(qū)居民的身高與營養(yǎng)攝入量的幾組數(shù)據(jù)進行研究后發(fā)現(xiàn)兩個變量存在相關關系，該營養(yǎng)學家按照不同的曲線擬合與之間的回歸方程，并算出相關指數(shù)如下表所示：擬合曲線直線指數(shù)曲線拋物線三次曲線與的回歸方程相關指數(shù)0.8930.9860.9310.312則這組數(shù)據(jù)模型的回歸方程的最好選擇應是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】相關指數(shù)的值越大，說明模型的擬合效果越好，觀察可知，指數(shù)曲線的最大，故回歸方程的最好選擇應是，故選：B．5．（2023·陜西咸陽·高二統(tǒng)考期中）如圖所示的散點圖，現(xiàn)選用兩種回歸模型，模型A：用線性回歸模型，計算出相關系數(shù)；模型B：用指數(shù)回歸模型，計算出轉化為線性回歸方程所對應的相關系數(shù)，則一定有（

）A． B． C． D．無法確定【答案】B【解析】根據(jù)散點圖可知，利用指數(shù)回歸模型模擬效果好于線性回歸模型，所以.故選：B6．（2023·四川遂寧·高二統(tǒng)考期末）從非洲蔓延到東南亞的蝗蟲災害嚴重威脅了國際農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，影響了人民生活.世界性與區(qū)域性溫度的異常、旱澇頻繁發(fā)生給蝗災發(fā)生創(chuàng)造了機會.已知蝗蟲的產(chǎn)卵量y與溫度x的關系可以用模型（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）擬合，設，其變換后得到一組數(shù)據(jù)：x2023252730z22.4334.6由上表可得經(jīng)驗回歸方程，則當x＝35時，蝗蟲的產(chǎn)卵量y的估計值為（

）A． B． C．8 D．【答案】A【解析】由表格數(shù)據(jù)知：，，因為數(shù)對滿足，得，∴，即，∴，∴x＝35時，.故當x＝35時，蝗蟲的產(chǎn)卵量y的估計值為.故選：A.二、多選題7．（2023·山東濱州·高二統(tǒng)考期中）下列關于變量間的線性相關系數(shù)說法正確的是（

）A．相關系數(shù)的取值范圍為B．|r|=1的充要條件是成對數(shù)據(jù)構成的點都在回歸直線上C．兩個變量正相關的充要條件是D．相關系數(shù)r越小，則變量間的線性相關性越弱【答案】ABC【解析】選項A：相關系數(shù)的取值范圍為.判斷正確；選項B：|r|=1的充要條件是成對數(shù)據(jù)構成的點都在回歸直線上.判斷正確；選項C：兩個變量正相關的充要條件是.判斷正確；選項D：相關系數(shù)r的絕對值越小，則變量間的線性相關性越弱.判斷錯誤.故選：ABC8．（2023·山西太原·高二統(tǒng)考期中）對于樣本相關系數(shù)，下列說法正確的是（

）A．的取值范圍是B．越大，相關程度越弱C．越接近于0，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強D．越接近于1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強【答案】AD【解析】對于樣本相關系數(shù)，取值范圍是，越大，越接近于1，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越強；越小，越接近于0，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關程度越弱.故選：AD9．（2023·廣西欽州·高二欽州一中?？计谥校┫铝忻}中，正確的命題（

）A．回歸直線恒過樣本點的中心，且至少過一個樣本點B．將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加一個相同的常數(shù)后，方差不變C．用相關系數(shù)來刻畫回歸效果，越接近，說明模型的擬合效果越好D．若隨機變量，且，則【答案】BD【解析】對于A，回歸直線恒過樣本點的中心，不一定過樣本點，A錯誤；對于B，將一組數(shù)據(jù)的每個數(shù)據(jù)都加一個相同的常數(shù)后，數(shù)據(jù)的波動性不變，方差不變，B正確；對于C，用相關系數(shù)來刻畫回歸效果，越接近，說明模型的擬合效果越好，C錯誤；對于D，隨機變量，則，D正確．故選：BD10．（2023·湖南張家界·高二慈利縣第一中學?？计谥校哂邢嚓P關系的兩個變量x和y進行回歸分析時，經(jīng)過隨機抽樣獲得成對的樣本點數(shù)據(jù)，則下列結論正確的是（

）A．若兩變量x，y具有線性相關關系，則回歸直線至少經(jīng)過一個樣本點B．若兩變量x，y具有線性相關關系，則回歸直線一定經(jīng)過樣本點中心C．若以模型擬合該組數(shù)據(jù)，為了求出回歸方程，設，將其變換后得到線性方程，則a，h的估計值分別是3和6D．回歸分析中常用殘差平方和來刻畫擬合效果好壞，殘差平方和越小，擬合效果越好【答案】BCD【解析】對于A，若兩變量x，y具有線性相關關系，則所有樣本點都可能不在回歸直線上，A錯誤；對于B，若兩變量x，y具有線性相關關系，則回歸直線一定經(jīng)過樣本點中心，B正確；對于C，因為，所以，即，又，所以a，h的估計值分別是3和6，C正確；對于D，殘差平方和越小，擬合效果越好，D正確；故選：BCD.11．（2023·遼寧遼陽·高二校聯(lián)考期末）已知關于變量x，y的4組數(shù)據(jù)如表所示：x681012ya1064根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得到x，y之間的線性回歸方程為，x，y之間的相關系數(shù)為r（參考公式：），則（

）A． B．變量x，y正相關 C． D．【答案】AC【解析】回歸直線必過點，，，解得，所以選項A正確；由回歸方程和表格可知，變量x，y負相關，所以選項B錯誤；，所以選項C正確，選項D錯誤.故選：AC三、填空題12．（2023·山西太原·高二統(tǒng)考期中）已知回歸方程，而試驗中的一組數(shù)據(jù)是，，，則其殘差平方和是______.【答案】0.03【解析】殘差，當時，，當時，，當時，，殘差平方和為故答案為：0.03.13．（2023·廣西桂林·高二校考期中）某種產(chǎn)品的廣告費支出與銷售額（單位：萬元）之間的關系如表.與的線性回歸方程為.當廣告支出萬元時，隨機誤差的殘差為________.【答案】【解析】當時.得，∴當廣告費支出為萬元時，隨機誤差的殘差為．故答案為：.14．（2023·遼寧·高二遼河油田第二高級中學?？计谀┠彻S為研究某種產(chǎn)品的產(chǎn)量x（噸）與所需某種原材料y（噸）的相關性，在生產(chǎn)過程中收集了對應數(shù)據(jù)如表所示：x3456y235根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出y關于x的經(jīng)驗回歸方程為．據(jù)此計算出在樣本處的殘差為，則表中m的值為__________．【答案】/【解析】因為回歸方程為，在樣本處的殘差為，所以，得，故回歸方程為，因為，，所以，解得，故m的值為.故答案為：.15．（2023·吉林·高二校聯(lián)考期末）以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時，為了求出回歸方程，設，其變換后得到線性回歸方程，則______．【答案】【解析】，即，∴，．故答案為：16．（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）已知變量與相對應的一組數(shù)據(jù)為，變量與相對應的一組數(shù)據(jù)為表示變量與之間的線性相關系數(shù)，表示變量與之間的線性相關系數(shù)，則和0三者之間的大小關系是___________.（用符號“<”連接）.【答案】【解析】由已知中的數(shù)據(jù)可知，第一組數(shù)據(jù)中變量與間呈正相關，相關系數(shù)，第二組數(shù)據(jù)中變量與間呈負相關，相關系數(shù)，所以.故答案為：.17．（2023·湖南長沙·高二長沙市明德中學?？计谥校傍Q叫是大自然優(yōu)美和諧的音樂，蟋蟀鳴叫的頻率（單位：次/分鐘）與氣溫（單位：℃）有較強的線性相關關系．某同學在當?shù)赝ㄟ^觀測，得到如下數(shù)據(jù)，并建立了關于的線性回歸方程．當蟋蟀每分鐘鳴叫52次時，該地當時的氣溫預報值為_______________．（次/分鐘）24364060（℃）2628.63035.4【答案】33【解析】依題意可得，，又關于的線性回歸方程，所以，解得，所以回歸方程為，當時，即當蟋蟀每分鐘鳴叫次時，該地當時的氣溫預報值為.故答案為：18．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期末）某興趣小組對某地區(qū)不同年齡段的人群閱讀經(jīng)典名著的情況進行了相關調查，相關數(shù)據(jù)如下表．年齡區(qū)間賦值變量x12345人群數(shù)量y2378a若由最小二乘法得y與x的線性回歸方程為，則______．【答案】10【解析】由題意可知，，則，解得．故答案為：四、解答題19．（2023·河南南陽·高二校聯(lián)考期中）某研發(fā)小組為了解年研發(fā)資金投入量x（單位：億元）對年銷售額y（單位：億元）的影響，結合近10年的年研發(fā)資金投入量和年銷售額的數(shù)據(jù)（1，2，…10），建立了兩個函數(shù)模型：①，②，其中α，β，λ，t均為常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．設，（1，2，…10），經(jīng)過計算得如下數(shù)據(jù)．2066770200144604.2031250000.30821500(1)設和的相關系數(shù)為，和的相關系數(shù)為，請從相關系數(shù)的角度，選擇一個擬合程度更好的模型．(2)①根據(jù)（1）中選擇的模型及表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程（系數(shù)精確到0.01）；②當年研發(fā)資金投入量約為億元時，年銷售額大致為億元，若正數(shù)a，b滿足，求的最小值．參考公式：相關系數(shù)，線性回歸直線中斜率和截距的最小二乘法估計參數(shù)分別為，．【解析】（1），，因為，所以從相關系數(shù)的角度，模型的擬合程度更好．（2）①因為，所以，即．由題中數(shù)據(jù)可得，則，從而v關于x的線性回歸方程為，故，即．②將年銷售額億元，代入，得，解得，則．故．因為，所以.當且僅當，即時，等號成立，此時，符合題意，故M的最小值為．20．（2023·山東煙臺·高二統(tǒng)考期中）第十四屆濕地公約締約方大會2022年11月5日至13日在湖北武漢舉辦，承辦此次大會，有助于進一步展示中國促進經(jīng)濟社會與環(huán)境協(xié)調發(fā)展的負責任大國形象，是強化“一帶一路”國家生態(tài)交流與合作、增強中國在廣大發(fā)展中國家凝聚力的重要契機．國內某企業(yè)以此為契機，研發(fā)了一款環(huán)保產(chǎn)品，為保證成本，每件產(chǎn)品售價不低于43元，經(jīng)調研，產(chǎn)品售價x（單位：元/件）與月銷售量y（單位：萬件）等情況如下表所示：售價x（元/件）525048454443月銷售量y（萬件）56781012(1)求相關系數(shù)r（結果保留兩位小數(shù)），并說明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關系，（當，時，可以認為兩個變量有很強的線性相關性；否則，沒有很強的線性相關性．）（參考數(shù)據(jù)：）(2)建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程，并估計當售價為46元/件時，該產(chǎn)品的月銷售量約為多少？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，相關系數(shù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，．【解析】（1），，，，則相關系數(shù).因為，所以可以用線性回歸模型擬合y與x的關系.（2）設y關于x的經(jīng)驗回歸方程為.，.則y關于x的經(jīng)驗回歸方程為，當時，（萬件）.故當售價為46元/件時，該產(chǎn)品的月銷售量約為86875件.21．（2023·山西·高二統(tǒng)考期中）某生產(chǎn)制造企業(yè)統(tǒng)計了近10年的年利潤（千萬元）與每年投入的某種材料費用（十萬元）的相關數(shù)據(jù)，作出如下散點圖：選取函數(shù)作為每年該材料費用和年利潤的回歸模型.若令，則，得到相關數(shù)據(jù)如表所示：31.5151549.5(1)求出與的回歸方程；(2)計劃明年年利潤額突破1億，則該種材料應至少投入多少費用？（結果保留到萬元）參考數(shù)據(jù)：.【解析】（1）因為由表中數(shù)據(jù)得，所以，所以，所以年該材料費用和年利潤額的回歸方程為；（2）令，得，所以（十萬），故下一年應至少投入498萬元該材料費用.22．（2023·山西太原·高二統(tǒng)考期中）隨著時代的不斷發(fā)展，社會對高素質人才的需求不斷擴大，我國本科畢業(yè)生中考研人數(shù)也不斷攀升，2020年的考研人數(shù)是341萬人，2021年考研人數(shù)是377萬人.某中學數(shù)學興趣小組統(tǒng)計了本省15所大學2022年的畢業(yè)生人數(shù)及考研人數(shù)（單位：千人），經(jīng)計算得：，，，.(1)利用最小二乘估計建立關于的線性回歸方程；(2)該小組又利用收集的數(shù)據(jù)建立了關于的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標系下，橫坐標，縱坐標的意義與畢業(yè)人數(shù)和考研人數(shù)一致.①比較前者與后者的斜率與的大??；②求這兩條直線公共點的坐標.附：關于的回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，；相關系數(shù)：.【解析】（1），，，，故回歸方程為.（2）設前者和后者的斜率分別為，，，即①顯然有，故，即前者斜率小于后者.②注意到，兩直線都過，且，故公共點僅有.23．（2023·浙江寧波·高二寧波市北侖中學?？计谥校橹︵l(xiāng)村振興，某電商平臺為某地的農(nóng)副特色產(chǎn)品開設直播帶貨專場，得到天數(shù)與直播間人數(shù)的數(shù)據(jù)如下表所示：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代碼x1234567直播間人數(shù)y（萬人）4122123252728(1)求直播間人數(shù)y和與日期代碼x的樣本相關系數(shù)（精確到0.01）；(2)若使用作為y關于x的回歸方程模型，計算該回歸方程（結果保留1位小數(shù)），并預測至少要到哪一天直播間人數(shù)可以超過30萬人.參考公式和數(shù)據(jù)：相關系數(shù)，其中，回歸直線方程中，66614032681.2206.413.22.6510.87.39【解析】（1）由題意可得：，則，故直播間人數(shù)y和與日期代碼x的樣本相關系數(shù)為.（2）∵，由題意令，則，可得，則，，所以，故關于的回歸方程為，令，整理得，則，且，所以，故至少要到第8天才能超過30萬人.24．（2023·四川宜賓·高二四川省高縣中學校?？计谥校┲袊诘趯寐?lián)合國大會上承諾，將采取更加有力的政策和措施，力爭于年之前使二氧化碳的排放達到峰值，努力爭取年之前實現(xiàn)碳中和簡稱“雙碳目標”，此舉展現(xiàn)了我國應對氣候變化的堅定決心，預示著中國經(jīng)濟結構和經(jīng)濟社會運轉方式將產(chǎn)生深刻變革，極大促進我國產(chǎn)業(yè)鏈的清潔化和綠色化新能源汽車電動汽車是重要的戰(zhàn)略新興產(chǎn)業(yè)，對于實現(xiàn)“雙碳目標”具有重要的作用為了解某一地區(qū)電動汽車銷售情況，一機構根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，用最小二乘法得到電動汽車銷量單位：萬臺關于年份的線性回歸方程為，且銷量的方差為，年份的方差為．(1)求與的相關系數(shù)，并據(jù)此判斷電動汽車銷量與年份的相關性強弱；(2)該機構還調查了該地區(qū)位購車車主的性別與購車種類情況，得到的數(shù)據(jù)如下表：性別購買非電動汽車購買電動汽車總計男性女性總計在購買電動汽車的車主中按照性別進行分層抽樣抽取人，再從這人中隨機抽取人，求人中至少有1位男性的概率．參考數(shù)據(jù)：；參考公式：線性回歸方程：，其中；相關系數(shù)：，若，則可判斷與線性相關較強．【解析】（1）相關系數(shù)為，故與線性相關較強；（2）由題可知抽樣比，男性車主選取2人，女性車主選取5人，這7人中隨機抽取3人，則3人中至少有1位男性的概率為．25．（2023·河南焦作·高二統(tǒng)考期中）研究表明，過量的碳排放會導致全球氣候變暖等環(huán)境問題，減少碳排放具有深遠的意義．中國明確提出節(jié)能減排的目標與各項措施，工業(yè)和信息化部在2022年新能源汽車推廣應用中提出了財政補貼政策后，某新能源汽車公司的銷售量逐步提高，如圖是該新能源汽車公司在2022年1~5月份的銷售量y（單位：萬輛）與月份x的折線圖．(1)依據(jù)折線圖計算x，y的相關系數(shù)r，并據(jù)此說明可用線性回歸模型擬合y與x的關系；（若，則線性相關程度很強，可用線性回歸模型擬合）(2)請建立y關于x的線性回歸方程，并預測2022年8月份的銷售量．參考數(shù)據(jù)及公式：，相關系數(shù)，在線性回歸方程中，．【解析】（1）由該新能源汽車公司在2022年1~5月份的銷售量y與月份x的折線圖中的數(shù)據(jù)，可得，，，，所以，故可用線性回歸模型擬合y與x的關系．（2）由（1）中的數(shù)據(jù)，可得，則，故y關于x的線性回歸方程為，當時，．故可以預測2022年8月份的銷售量為萬輛．26．（2023·江蘇常州·高二常州高級中學校考期中）某地經(jīng)過多年的環(huán)境治理，已將荒山改造成了綠水青山．為估計一林區(qū)某種樹木的總材積量，隨機選取了10棵這種樹木，測量每棵樹的根部橫截面積（單位：）和材積量（單位：），得到如下數(shù)據(jù)：樣本號i12345678910平均值根部橫截面積0.040.060.040.080.080.05abc0.070.06材積量0.250.410.220.540.530.340.350.390.430.440.39其中a，b，c為等差數(shù)列，并計算得：，，．(1)求b的值；(2)若選取前6個樣本號對應數(shù)據(jù)，判斷這種樹木的根部橫截面積與材積量是否具有很強的線性相關性，并求該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的回歸直線方程（若，則認為兩個變量的線性相關性一般；若，則認為兩個變量的線性相關性很強）；附：相關系數(shù)，回歸直線中，，．(3)根據(jù)回歸直線方程估計a，c的值（精確到0.01）．【解析】（1）由a，b，c為等差數(shù)列，得，由表格得該樹木根部橫截面積的平均值為，可得，故，解得．（2）由已知得，，相關系數(shù)，故這種樹木的根部橫截面積與材積量具有很強的線性相關性．，，所以該林區(qū)這種樹木的根部橫截面積與材積量的回歸直線方程為．（3）由表格數(shù)據(jù)可得，根部橫截面積為a，c時對應的材積量分別為，，代入回歸直線方程分別得，，解得，．27．（2023·四川成都·高二統(tǒng)考期中）某種農(nóng)作物可以生長在灘涂和鹽堿地，它的灌溉是將海水稀釋后進行灌溉．某實驗基地為了研究海水濃度（％）對畝產(chǎn)量（噸）的影響，通過在試驗田的種植實驗，測得了該農(nóng)作物的畝產(chǎn)量與海水濃度的數(shù)據(jù)如下表.海水濃度（％）34567