考點(diǎn)08靜態(tài)平衡問(wèn)題

03相互作用——力[考點(diǎn)08]靜態(tài)平衡問(wèn)題靜態(tài)平衡問(wèn)題常用方法1．合成法：物體受三個(gè)共點(diǎn)力的作用而平衡，則任意兩個(gè)力的合力一定與第三個(gè)力大小相等、方向相反，據(jù)此畫(huà)出這兩個(gè)力合成的平行四邊形，利用幾何知識(shí)求解．2．正交分解法：物體受到三個(gè)或三個(gè)以上力的作用而平衡，將物體所受的力分解到相互垂直的x、y軸上，則x軸與y軸上各分力的合力均為零．3．相似三角形法：在三力平衡問(wèn)題中，矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利用相似比進(jìn)行計(jì)算.4．矢量三角形法：把表示三個(gè)力的有向線段構(gòu)成一個(gè)閉合的三角形，常用于非特殊角的一般三角形．5．整體法與隔離法：將加速度相同的幾個(gè)物體作為一個(gè)整體來(lái)分析的方法稱為整體法;將研究對(duì)象與周圍物體分隔開(kāi)來(lái)分析的方法稱為隔離法.分析平衡問(wèn)題的基本思路1．明確平衡狀態(tài)(合力為零)．2．巧選研究對(duì)象．3．受力分析(畫(huà)出規(guī)范的受力分析圖)．4．列平衡方程(靈活運(yùn)用力的合成法、效果分解法、正交分解法)．5．求解或討論(解的結(jié)果及物理意義)．典例1(合成法)(2020·全國(guó)卷Ⅲ·17)如圖，懸掛甲物體的細(xì)線拴牢在一不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩上O點(diǎn)處；繩的一端固定在墻上，另一端通過(guò)光滑定滑輪與物體乙相連．甲、乙兩物體質(zhì)量相等．系統(tǒng)平衡時(shí)，O點(diǎn)兩側(cè)繩與豎直方向的夾角分別為α和β.若α＝70°，則β等于()A．45°B．55°C．60°D．70°答案B解析取O點(diǎn)為研究對(duì)象，O點(diǎn)在三力的作用下處于平衡狀態(tài)，對(duì)其受力分析如圖所示，F(xiàn)T1＝FT2，兩力的合力與F等大反向，根據(jù)幾何關(guān)系可得2β＋α＝180°，所以β＝55°，故選B.典例2(正交分解法)(2022·江西八所重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖甲所示，推力F垂直斜面作用在斜面體上，斜面體靜止在豎直墻面上，若將斜面體改成如圖乙所示放置，用相同大小的推力F垂直斜面作用到斜面體上，則下列說(shuō)法正確的是()A．墻面受到的壓力一定變小B．斜面體受到的摩擦力一定變小C．斜面體受到的摩擦力可能變大D．斜面體可能沿墻面向上滑動(dòng)答案B解析受力分析如圖所示甲圖中，F(xiàn)N1＝Fcosθ，F(xiàn)f1＝mg＋Fsinθ≤Ffm；乙圖中，F(xiàn)N2＝Fcosθ，所以墻面受到的壓力不變，A項(xiàng)錯(cuò)誤；若Fsinθ＝mg，則Ff2＝0，若Fsinθ＞mg，則Ff2方向向下，F(xiàn)f2＝Fsinθ－mg，若Fsinθ＜mg，則Ff2方向向上，F(xiàn)f2＝mg－Fsinθ，所以斜面體受到的摩擦力一定變小，B項(xiàng)正確，C項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)閴γ媸艿降膲毫](méi)有變，所以Ffm不變，甲圖中，F(xiàn)f1＝mg＋Fsinθ≤Ffm，推不動(dòng)斜面體，乙圖中，F(xiàn)f2＝Fsinθ－mg，肯定比Ffm小，所以斜面體肯定不沿墻面向上滑動(dòng)，D項(xiàng)錯(cuò)誤．典例3(相似三角形法)(2022·重慶市三峽聯(lián)盟模擬)如圖所示，一輕桿兩端固定兩個(gè)小球A、B，A球的質(zhì)量是B球質(zhì)量的3倍，輕繩跨過(guò)滑輪連接A和B，一切摩擦不計(jì)，平衡時(shí)OA和OB的長(zhǎng)度之比為()A．1∶2 B．2∶1C．1∶3 D．1∶4答案C解析設(shè)繩上拉力為FT，OA長(zhǎng)L1，OB長(zhǎng)L2，過(guò)O點(diǎn)做豎直向下的輔助線交與AB為C點(diǎn)，如圖所示，利用力的三角形和長(zhǎng)度三角形相似有eq\f(FT,mAg)＝eq\f(L1,OC)；eq\f(FT,mBg)＝eq\f(L2,OC)得eq\f(L1,L2)＝eq\f(1,3)，故A、B、D錯(cuò)誤，C正確．典例4(矢量三角形法)(2023·全國(guó)·專題練習(xí))如圖所示，長(zhǎng)度為L(zhǎng)1的木棒一端支在光滑豎直墻上的A點(diǎn)，另一端B點(diǎn)被輕質(zhì)細(xì)線斜拉著掛在墻上的C點(diǎn)而處于靜止?fàn)顟B(tài)，細(xì)線與木棒之間的夾角為，A、C兩點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)2，墻對(duì)木棒的支持力為F，重力加速度為g，下列說(shuō)法正確的是()A．細(xì)線與豎直墻之間的夾角的正弦值為 B．木棒受到三個(gè)力（或延長(zhǎng)線）可能不交同一點(diǎn)C．細(xì)線對(duì)木棒的拉力大小為 D．木棒的質(zhì)量為答案C解析A．設(shè)細(xì)線與豎直墻之間的夾角為，在△ABC中由正弦定理可得.解得.故A錯(cuò)誤；B．根據(jù)共點(diǎn)力平衡的原理，木棒受到的三個(gè)力（或延長(zhǎng)線）一定交于同一點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；CD．設(shè)細(xì)線的拉力為T，木棒的質(zhì)量為m，對(duì)木棒受力分析如圖，由力的平衡條件有，.結(jié)合綜合解得，.故C正確，D錯(cuò)誤.故選C.典例5(整體法與隔離法)(2022·黑龍江鶴崗市第一中學(xué)高三月考)如圖甲所示，A、B兩小球通過(guò)兩根輕繩連接并懸掛于O點(diǎn)，已知兩輕繩OA和AB的長(zhǎng)度之比為eq\r(3)∶1，A、B兩小球質(zhì)量分別為2m和m，現(xiàn)對(duì)A、B兩小球分別施加水平向右的力F1和水平向左的力F2，兩球恰好處于如圖乙的位置靜止，此時(shí)B球恰好在懸點(diǎn)O的正下方，輕繩OA與豎直方向成30°，則()A．F1＝F2 B．F1＝eq\r(3)F2C．F1＝2F2 D．F1＝3F2答案C解析由題意知兩輕繩OA和AB的長(zhǎng)度之比為eq\r(3)∶1，B球恰好在懸點(diǎn)O的正下方，由幾何關(guān)系可知，OA與AB垂直；以B球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力示意圖如圖甲所示，由平衡條件得F2＝mgtan(90°－30°)＝eq\r(3)mg，以A、B兩球整體為研究對(duì)象，受力示意圖如圖乙所示，由平衡條件得F1－F2＝3mgtan30°＝eq\r(3)mg，可得F1＝2eq\r(3)mg，即F1＝2F2，故C正確．1.(2021·江蘇省1月適應(yīng)性考試·3)如圖所示，對(duì)稱晾掛在光滑等腰三角形衣架上的衣服質(zhì)量為M，衣架頂角為120°，重力加速度為g，則衣架右側(cè)對(duì)衣服的作用力大小為()A.eq\f(1,2)Mg B.eq\f(\r(3),3)MgC.eq\f(\r(3),2)Mg D．Mg答案B解析對(duì)衣服進(jìn)行受力分析，如圖所示：由幾何關(guān)系知，衣架左、右側(cè)對(duì)衣服的作用力FN與豎直方向的夾角為30°，則有2FNcos30°＝Mg，得FN＝eq\f(\r(3),3)Mg，故選B.2.如圖所示，小圓環(huán)A吊著一個(gè)質(zhì)量為m2的物塊并套在另一個(gè)豎直放置的大圓環(huán)上，有一細(xì)繩一端拴在小圓環(huán)A上，另一端跨過(guò)固定在大圓環(huán)最高點(diǎn)B的一個(gè)小滑輪后吊著一個(gè)質(zhì)量為m1的物塊．如果小圓環(huán)A、滑輪、繩子的大小和質(zhì)量以及相互之間的摩擦都可以忽略不計(jì)，繩子不可伸長(zhǎng)，平衡時(shí)弦AB所對(duì)的圓心角為α，則兩物塊的質(zhì)量之比m1∶m2應(yīng)為()A．cos

eq\f(α,2) B．sin

eq\f(α,2)C．2sin

eq\f(α,2) D．2cos

eq\f(α,2)答案C解析對(duì)小圓環(huán)A受力分析，如圖所示，F(xiàn)T2與FN的合力F與FT1大小相等，由矢量三角形與幾何三角形相似，可知eq\f(FT2,R)＝eq\f(F,2Rsin\f(α,2))，其中FT2＝m2g，F(xiàn)＝FT1＝m1g，聯(lián)立解得eq\f(m1,m2)＝2sineq\f(α,2)，C正確．3.(多選)如圖所示，輕質(zhì)光滑滑輪兩側(cè)用輕繩連著兩個(gè)物體A與B，物體B放在水平地面上，A、B均靜止．已知A和B的質(zhì)量分別為mA、mB，繩與水平方向的夾角為θ(θ<90°)，重力加速度為g，則()A．物體B受到的摩擦力可能為零B．物體B受到的摩擦力大小為mAgcosθC．物體B對(duì)地面的壓力可能為零D．物體B對(duì)地面的壓力大小為mBg－mAgsinθ答案BD解析輕繩拉力FT＝mAg，對(duì)B，在水平方向有Ff＝FTcosθ＝mAgcosθ，在豎直方向地面對(duì)B的支持力FN＝mBg－FTsinθ＝mBg－mAgsinθ，由牛頓第三定律可知，選項(xiàng)B、D正確；當(dāng)mBg＝mAgsinθ時(shí)，F(xiàn)N＝0，此時(shí)物體B不可能靜止，選項(xiàng)A、C錯(cuò)誤．4.如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球通過(guò)兩根輕彈簧A、B連接，在水平外力F作用下，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，彈簧實(shí)際長(zhǎng)度相等．彈簧A、B的勁度系數(shù)分別為kA、kB，且原長(zhǎng)相等．彈簧A、B與豎直方向的夾角分別為θ與45°.設(shè)A、B中的拉力分別為FA、FB，小球直徑相比彈簧長(zhǎng)度可忽略，重力加速度為g，則()A．tanθ＝eq\f(1,2) B．kA＝kBC．FA＝eq\r(3)mg D．FB＝2mg答案A解析對(duì)下面的小球進(jìn)行受力分析，如圖甲所示．根據(jù)平衡條件得：F＝mgtan45°＝mg，F(xiàn)B＝eq\f(mg,cos45°)＝eq\r(2)mg；對(duì)兩個(gè)小球整體受力分析，如圖乙所示，根據(jù)平衡條件得：tanθ＝eq\f(F,2mg)，又F＝mg，解得tanθ＝eq\f(1,2)，F(xiàn)A＝eq\r(2mg2＋F2)＝eq\r(5)mg，由題圖可知兩彈簧的形變量相等，則有：x＝eq\f(FA,kA)＝eq\f(FB,kB)，解得：eq\f(kA,kB)＝eq\f(FA,FB)＝eq\f(\r(5),\r(2))，故A正確，B、C、D錯(cuò)誤．5.(多選)如圖所示，質(zhì)量為M、半徑為R的半球形物體A放在水平地面上，通過(guò)最高點(diǎn)處大小不計(jì)的釘子用水平細(xì)線拉住一質(zhì)量為m、半徑為r的光滑球B.重力加速度為g，則()A．A對(duì)地面的壓力等于(M＋m)gB．A對(duì)地面的摩擦力方向向左C．A對(duì)B的支持力大小為eq\f(R＋r,R)mgD．細(xì)線對(duì)B的拉力大小為eq\f(r,R)mg答案AC解析對(duì)A、B整體受力分析，受重力和支持力，相對(duì)地面無(wú)相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)，故不受摩擦力，根據(jù)平衡條件知，支持力等于整體的重力，根據(jù)牛頓第三定律知，整體對(duì)地面的壓力與地面對(duì)整體的支持力大小相等，故A對(duì)地面的壓力等于(M＋m)g，故A正確，B錯(cuò)誤；對(duì)B受力分析，如圖所示，根據(jù)平衡條件得：F＝eq\f(mg,cosθ)，F(xiàn)T＝mgtanθ，其中cosθ＝eq\f(R,R＋r)，tanθ＝eq\f(\r(R＋r2－R2),R)，故F＝eq\f(R＋r,R)mg，F(xiàn)T＝mgeq\f(\r(R＋r2－R2),R)，故C正確，D錯(cuò)誤．6.三個(gè)相同的建筑管材(可看作圓柱體)靜止疊放于水平地面上，其截面示意圖如圖所示，每個(gè)管材的質(zhì)量均為m.各管材間接觸，設(shè)管材間光滑、管材與地面間粗糙．重力加速度為g，對(duì)此下列說(shuō)法中正確的是()A．管材與地面接觸處的壓力大小為eq\f(\r(3),3)mgB．上下管材接觸處的壓力大小為eq\f(\r(3),3)mgC．管材與地面接觸處沒(méi)有摩擦力D．下方兩管材之間一定有彈力答案B解析由對(duì)稱性知，上面管材的受力情況左右對(duì)稱，下面兩個(gè)管材的受力情況相同，整體分析三個(gè)管材豎直方向受力平衡，有2F地＝3mg，則F地＝eq\f(3,2)mg，即管材與地面接觸處的壓力大小為eq\f(3,2)mg，故A錯(cuò)誤；隔離上面管材，其受力如圖所示，則2Fcos30°＝mg，解得：F＝eq\f(\r(3),3)mg，故B正確；隔離下面管材，左右兩管材不擠壓，則下方兩管材之間沒(méi)有彈力，左右兩管材相對(duì)于地面有向外的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，所以地面對(duì)兩管材有摩擦力，故C、D錯(cuò)誤．7．如圖所示，三個(gè)重均為100N的物塊，疊放在水平桌面上，各接觸面水平，水平拉力F＝20N，作用在物塊2上，三條輕質(zhì)繩結(jié)于O點(diǎn)，與物塊3連接的繩水平，與天花板連接的繩與水平方向成45°角，豎直繩懸掛重為20N的小球P.整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)．則()A．物塊1和2之間的摩擦力大小為20NB．水平繩的拉力大小為20NC．桌面對(duì)物塊3的支持力大小為320ND．物塊3受4個(gè)力的作用答案B解析對(duì)物塊1受力分析，受重力和支持力，假如受水平方向的摩擦力，則不能保持平衡，故物塊1和物塊2間的摩擦力為零，A錯(cuò)誤；對(duì)O點(diǎn)受力分析，受到三根繩子的拉力，如圖，根據(jù)平衡條件有，x方向：FT2cos45°＝FT1，y方向：FT2sin45°＝GP，解得FT1＝GP＝20N，所以水平繩中的拉力大小為20N，B正確；對(duì)物塊1、2、3整體受力分析，受重力、支持力、向左的拉力、水平繩的拉力，豎直方向：FN＝3G＝300N，C錯(cuò)誤；對(duì)物塊1和物塊2整體研究，受重力、支持力、向左的拉力F和向右的靜摩擦力Ff23，根據(jù)平衡條件得：Ff23＝F＝20N；對(duì)物塊3受力分析，2、3間向左的摩擦力為20N，水平繩向右的拉力也為20N，則3與桌面間摩擦力為零，故3受重力、支持力、壓力、2對(duì)3的摩擦力、繩子拉力，共5個(gè)力作用，D錯(cuò)誤．8.用三根輕繩將質(zhì)量為m的物塊懸掛在空中，如圖所示．已知ac和bc與豎直方向的夾角分別為30°和60°，重力加速度為g，則ac繩和bc繩中的拉力大小分別為()A.eq\f(\r(3),2)mg，eq\f(1,2)mg B.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),2)mgC.eq\f(\r(3),4)mg，eq\f(1,2)mg D.eq\f(1,2)mg，eq\f(\r(3),4)mg答案A解析對(duì)結(jié)點(diǎn)c受力分析如圖所示，設(shè)ac繩上的拉力為F1、bc繩上的拉力為F2，根據(jù)平衡條件知F1、F2的合力F與重力mg等大、反向，由幾何知識(shí)得F1＝Fcos30°＝eq\f(\r(3),2)mg，F(xiàn)2＝Fsin30°＝eq\f(1,2)mg.選項(xiàng)A正確．9.如圖所示，兩根完全相同的輕彈簧a、b上端固定在豎直墻壁上，下端連接在小球上．小球靜止時(shí)，彈簧a、b與豎直方向的夾角分別為53°和37°(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，則a、b兩彈簧的伸長(zhǎng)量之比為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(4,3)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,4)答案A解析對(duì)小球受力分析，受到重力和兩個(gè)彈簧的彈力，如圖所示，則有：eq\f(Fa,Fb)＝eq\f(mgsin37°,mgcos37°)＝eq\f(3,4)，而Fa＝kxa，F(xiàn)b＝kxb，解得eq\f(xa,xb)＝eq\f(3,4).故A正確，B、C、D錯(cuò)誤．10．(2019·全國(guó)卷Ⅲ)用卡車運(yùn)輸質(zhì)量為m的勻質(zhì)圓筒狀工件，為使工件保持固定，將其置于兩光滑斜面之間，如圖所示．兩斜面Ⅰ、Ⅱ固定在車上，傾角分別為30°和60°.重力加速度為g.當(dāng)卡車沿平直公路勻速行駛時(shí)，圓筒對(duì)斜面Ⅰ、Ⅱ壓力的大小分別為F1、F2，則()A．F1＝eq\f(\r(3),3)mg，F(xiàn)2＝eq\f(\r(3),2)mgB．F1＝eq\f(\r(3),2)mg，F(xiàn)2＝eq\f(\r(3),3)mgC．F1＝eq\f(1,2)mg，F(xiàn)2＝eq\f(\r(3),2)mgD．F1＝eq\f(\r(3),2)mg，F(xiàn)2＝eq\f(1,2)mg答案D解析分析可知工件受力平衡，對(duì)工件受到的重力按照壓緊斜面Ⅰ和Ⅱ的效果進(jìn)行分解，如圖所示，結(jié)合幾何關(guān)系可知工件對(duì)斜面Ⅰ的壓力大小為F1＝mgcos30°＝eq\f(\r(3),2)mg，對(duì)斜面Ⅱ的壓力大小為F2＝mgsin30°＝eq\f(1,2)mg，選項(xiàng)D正確，A、B、C錯(cuò)誤．11.如圖所示是某幼兒園的一部直道滑梯，其滑道傾角為θ.一名質(zhì)量為m的幼兒在此滑道上勻速下滑．若不計(jì)空氣阻力，重力加速度為g，則該幼兒()A．所受摩擦力為mgsinθB．所受摩擦力為mgcosθC．對(duì)滑道壓力為mgsinθD．對(duì)滑道壓力為mgtanθ答案A解析對(duì)幼兒進(jìn)行受力分析，由平衡條件得沿傾斜滑道方向：Ff＝mgsinθ，A正確，B錯(cuò)誤；垂直傾斜滑道方向：FN＝mgcosθ，C、D錯(cuò)誤．12.(多選)如圖所示，兩根等長(zhǎng)的輕繩將日光燈懸掛在天花板上，兩繩與豎直方向的夾角都為45°，日光燈保持水平，所受重力為G.則()A．兩繩對(duì)日光燈拉力的合力大小等于GB．兩繩的拉力和重力不是共點(diǎn)力C．兩繩的拉力大小均為eq\f(\r(2),2)GD．兩繩的拉力大小均為eq\f(G,2)答案AC解析對(duì)日光燈受力分析如圖，兩繩拉力的作用線與重力作用線的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，這三個(gè)力是共點(diǎn)力，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于日光燈在兩繩拉力和重力作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以兩繩的拉力的合力與重力G等大反向，A選項(xiàng)正確；由于兩個(gè)拉力的夾角為直角，且都與豎直方向成45°角，則由力的平行四邊形定則可知G＝eq\r(F12＋F22)，且F1＝F2，故F1＝F2＝eq\f(\r(2),2)G，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．13.(2021·大慶市東風(fēng)中學(xué)階段練習(xí))如圖所示，質(zhì)量為m的小球套在豎直固定的光滑圓環(huán)上，輕繩一端固定在圓環(huán)的最高點(diǎn)A，另一端與小球相連，小球靜止時(shí)位于環(huán)上的B點(diǎn)，此時(shí)輕繩與豎直方向的夾角為60°，則輕繩對(duì)小球的拉力大小為(重力加速度為g)()A．mg B.eq\r(3)mgC．2mg D.eq\f(\r(3),2)mg答案A解析對(duì)B點(diǎn)處的小球受力分析，如圖所示，則有FTsin60°＝FNsin60°;FTcos60°＋FNcos60°＝mg.解得FT＝FN＝mg，A正確．14．(多選)(2021·西安市周至中學(xué)高一期末)將兩個(gè)相同的光滑斜面固定在水平地面上，并將兩塊光滑的擋板AB和CD分別固定在斜面上，其中一塊與斜面垂直，另一塊沿豎直面，然后將兩個(gè)重力為G、表面粗糙的相同小球分別置于兩斜面的擋板上，分別如圖甲、乙所示，斜面傾角為θ，下列說(shuō)法正確的是()A．擋板對(duì)小球的支持力之比為1∶1B．擋板對(duì)小球的支持力之比為cosθ∶1C．斜面對(duì)小球的支持力之比為1∶1D．斜面對(duì)小球的支持力之比為cos2θ∶1答案BD解析由于斜面和擋板均光滑，小球不受摩擦力，分別以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，受力分析如圖甲、乙所示正交分解得FN1＝Gsinθ，F(xiàn)N2＝Gcosθ;FN3＝Gtanθ，F(xiàn)N4＝eq\f(G,cosθ);所以eq\f(FN1,FN3)＝cosθ，eq\f(FN2,FN4)＝cos2θ，B、D正確．15.如圖所示，一質(zhì)量為M的楔形木塊放在水平桌面上，它的頂角為90°，兩底角為α和β；a、b為兩個(gè)位于斜面上質(zhì)量均為m的小木塊，已知所有接觸面都是光滑的，重力加速度為g.現(xiàn)發(fā)現(xiàn)a、b沿斜面下滑，而楔形木塊靜止不動(dòng)，這時(shí)楔形木塊對(duì)水平桌面的壓力等于()A．Mg＋mgB．Mg＋2mgC．Mg＋mg(sinα＋sinβ)D．Mg＋mg(cosα＋cosβ)答案A解析對(duì)木塊a受力分析，如圖，受重力和支持力，由幾何關(guān)系，得到：FN1＝mgcosα，由牛頓第三定律得木塊a對(duì)楔形木塊的壓力為：FN1′＝mgcosα①同理，木塊b對(duì)楔形木塊的壓力為：FN2′＝mgcosβ②對(duì)楔形木塊受力分析，如圖，根據(jù)共點(diǎn)力平衡條件，得到：FN2′cosα－FN1′cosβ＝0③F支－Mg－