專題08立體幾何初步（重點）

專題08立體幾何初步（重點）一、單選題1．下列說法中正確的是（

）A．直四棱柱是長方體B．圓柱的母線和它的軸可以不平行C．正棱錐的側面是全等的等腰三角形D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體為圓錐【答案】C【分析】根據相關立體幾何圖形的性質逐項判斷即可.【解析】對于A：由直四棱柱的定義可知，長方體是直四棱柱，但當底面不是長方形時，直四棱柱就不是長方體，故A錯誤；對于B：根據圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故B錯誤；對于C：由正棱錐的定義可知，正棱錐的側面是全等的等腰三角形，故C正確；對于D：當以斜邊為旋轉軸時，會得到兩個同底的圓錐組合體，故D錯誤.故選：C.2．設，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列說法正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】C【分析】根據直線與直線的位置關系、直線與平面的位置關系和平面與平面的位置關系依次判斷選項即可.【解析】對選項A，若，，則與的位置關系是平行，相交和異面，故A錯誤.對選項B，若，，則與的位置關系是平行和相交，故B錯誤.對選項C，若，，則根據線面垂直的性質得與的位置關系是平行，故C正確.對選項D，若，，則與的位置關系是平行和相交，故D錯誤.故選：C3．如圖正方形OABC邊長為1cm，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長是多少cm？（

）A．4 B．8 C．12 D．16【答案】B【分析】根據直觀圖與原圖形的關系可知原圖為平行四邊形，且，利用勾股定理計算出其邊長即可求得結果.【解析】根據直觀圖可畫出原圖形如下圖所示：根據斜二測畫法可知，原圖四邊形為平行四邊形，且易知，，所以，因此的周長為.故選：B4．四棱錐如圖所示，則直線PC（

）A．與直線AD平行 B．與直線AD相交C．與直線BD平行 D．與直線BD是異面直線【答案】D【分析】根據異面直線的定義即可求解.【解析】根據異面直線的定義，不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線，可以判斷直線PC與直線AD、直線BD是異面直線.故選：D.5．在棱長為的正方體中，直線BD到平面的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據線面平行可得點到面的距離即為線到面的距離，根據等體積法即可求解.【解析】因為,平面,平面,因此平面,故直線BD到平面的距離即為點到平面的距離；為邊長為2的等邊三角形，故，,設點到平面的距離為，由等體積法可得,即,故選:B6．在正方體中，分別是的中點，則下列說法中錯誤的是（

）A．平面 B．平面C．平面 D．平面【答案】C【分析】連接和相交于點O，根據線面平行的判定定理可判斷ABD，根據可判斷C.【解析】解：如圖所示，連接和相交于點O，則O為，的中點.對于A，連接，則,因為平面，平面，所以平面，故A正確；對于B，易知,因為平面，平面，所以平面，故B正確；對于C，因為,所以與平面相交，故C錯誤；對于D，易知,因為平面,平面，所以平面，故D正確.故選:C.7．在長方體中，，則二面角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】畫出長方體，為二面角所成的平面角，求出的值即可得出答案.【解析】長方體中，，，，平面,平面,,又平面平面，為二面角所成的平面角，，所以二面角的余弦值為.故選：D.8．在正四棱柱中，是的中點，，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據線面角定義，先證明為與平面所成的角，再根據題設條件求出利用正弦的定義即可求解.【解析】依題意，可得如圖：設底面的中心為，易得平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，取的中點，連接，則，所以平面，連接，則為與平面所成的角.因為，所以.所以.故選：A.9．已知直三棱柱的側棱和底面邊長均為分別是棱上的點，且，當平面時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】過作交于，利用線面平行的性質可得，進而可得四邊形為平行四邊形，，即得.【解析】過作交于，連接，因為，∴，故共面,因為平面，平面平面，平面，所以，又,∴四邊形為平行四邊形，又，∴，所以.故選：B．10．如圖，已知四邊形ABCD為圓柱的軸截面，F為的中點，E為母線BC的中點，異面直線AC與EF所成角的余弦值為，，則該圓柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】運用平行線尋找異面直線所成角，再運用線面垂直判定定理及線面垂直性質定理證得，進而求得半徑r，代入圓柱體積公式計算即可.【解析】如圖所示，取AB的中點O，連接OE、OF，因為E為母線BC的中點，所以，所以為異面直線、所成的角或其補角，則，設圓柱的底面圓半徑為r，則，又因為F為的中點，所以，，又因為，，面，所以面，又因為面，所以，在中，，所以在中，，解得：.所以圓柱的體積為.故選：B.11．在長方體中，，，點M為平面內一動點，且平面，則當取最小值時，三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先利用面面平行的性質定理可得點M在線段上，當取最小值時為線段的中點，再根據三棱錐的特征確定外接球球心即為與的交點，求出半徑即可計算出外接球的表面積.【解析】根據題意易知，，且平面，平面，所以平面，同理可得平面；又，平面，所以平面平面；又因為點M在平面內且平面，所以點M在平面與平面的交線上，易知，所以當取最小值時，為線段的中點，如下圖所示：取的中點為，交于點，連接；則，所以，而，所以即為三棱錐的外接球球心，半徑，則表面積.故選：A12．在棱長為2的正方體中，M為中點，N為四邊形內一點（含邊界），若平面BMD，則下列結論正確的是（

）A． B．三棱錐的體積為C．線段最小值為 D．的最小值為【答案】D【分析】由題意判斷N點的位置特征，由N點的位置變化驗證各選項是否正確.【解析】如圖所示：取中點，連接，，，正方體性質知，，又面BMD，，則面BMD，面BMD，，面，則有平面平面BMD，而面，故平面BMD，即N在線段上．當N在時與夾角為45°，故A錯誤；．故B錯誤．線段的最小值為等腰三角形腰上的高h，且到距離為，等面積法知：，故C錯誤．，．當N為點時最大，最小為，故D正確．故選：D．二、多選題13．下列說法中錯誤的是（

）A．有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B．有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱C．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺D．正四棱錐的側面一定是等腰三角形【答案】AC【分析】利用棱臺可判斷A選項；利用棱柱的結構特征可判斷B選項；利用棱臺的形成可判斷C選項；利用正棱錐的結構特征可判斷D選項.【解析】棱臺有兩個面平行，其余各面都是梯形，故A不正確；有兩個面平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體叫棱柱，故B正確；用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，若截面與棱錐底面不平行，則底面與截面之間的部分組成的幾何體不是棱臺，故C不正確；正四棱錐的側棱長一定相等，故正四棱錐的側面一定是等腰三角形，D對.故選：AC.14．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，下述結論正確的是（

）A．梯形的直觀圖仍舊是梯形B．若的直觀圖是邊長為2的等邊三角形，那么的面積為C．的直觀圖如圖所示，在軸，與軸垂直，且，則的面積為4D．菱形的直觀圖可以是正方形【答案】AC【分析】根據斜二測畫法規(guī)則以及直觀圖與原圖面積關系逐一判斷即可【解析】由于斜二測畫法平行關系不變，故梯形的直觀圖仍舊是梯形，故A正確；直觀圖面積為，根據直觀圖與原圖面積關系可得，解得，故B錯誤；直觀圖中，則的面積，故C正確．由于平行于軸的線段長度減半，故菱形的直觀圖一定是鄰邊不等的平行四邊形，故D錯誤．故選：AC15．如圖所示，四棱錐的底面為正方形，平面，則下列結論中正確的是（

）A．B．平面C．三棱錐與三棱錐表面積相同D．與所成的角等于與所成的角【答案】ABCD【分析】由線面垂直的判定定理證線面垂直后得證線線垂直判斷AD，由線面平行的判定定理判斷B，由棱錐表面積的定義判斷C．【解析】選項A，平面，平面，則，又正方形中，，，平面，所以平面，而平面，所以，A正確；選項B，，平面，平面，所以平面，B正確；選項C，四棱錐中，（因為射影），，三棱錐即為三棱錐，它與三棱錐的底面全等：，三個側面有三對全等：，，是共用側面，所以表面積相等，C正確；選項D，平面，平面，，又，，平面，所以平面，而平面，所以，即與所成的角是90°，同理與所成的角也是90°，兩者相等，D正確．故選：ABCD．16．如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點、，且，則下列結論中正確的是（

）A． B．平面ABCDC．三棱錐的體積為定值 D．的面積與的面積相等【答案】ABC【分析】證明平面，可判斷A選項的正誤；利用面面平行的性質可判斷B選項的正誤；利用錐體的體積公式可判斷C選項的正誤；判斷到線段的距離與到線段的距離的關系，即可判斷D選項的正誤.【解析】對于A選項，連接、，因為四邊形為正方形，則，平面，平面，，平面，，所以平面，因為平面，因此，A選項正確；對于B選項，因為平面平面，平面，所以平面，B選項正確；對于C選項，因為的面積為，點到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值，C選項正確；對于D選項，設，取的中點，連接、，由A選項可知，平面，即平面，平面，則，因為且，故四邊形為平行四邊形，則且，因為、分別為、的中點，故且，所以四邊形為平行四邊形，平面，平面，所以，故四邊形為矩形，所以，平面，所以平面，平面，，，所以，D選項錯誤.故選：ABC.三、填空題17．用一個圓心角為，半徑為4的扇形做一個圓錐，則這個圓錐的底面周長為______.【答案】【分析】根據圓錐的結構特征結合扇形的弧長公式即可得解.【解析】解：由題意，圓錐的底面周長為扇形的弧長，，則圓錐的底面周長為.故答案為：.18．直三棱柱中，，，則與所成角大小為______．【答案】【分析】作出與所成角，并判斷出角的大小.【解析】設，設是的中點，連接，則，所以與所成角是或其補角.根據直棱柱的性質以及可知，所以，所以三角形是等邊三角形，所以，所以與所成角大小為.故答案為：19．已知如圖邊長為的正方形外有一點且平面，，二面角的大小的正切值______．【答案】【分析】由線面垂直的判定和性質，結合二面角平面角定義可知所求角為，根據長度關系可求得結果.【解析】設，連接，平面，平面，，，四邊形為正方形，，，平面，平面，又平面，，是二面角的平面角，由，得：.故答案為：.20．如圖，在三棱錐中，平面平面.點是線段上一動點（不含端點），若點到平面的距離為，則__________.【答案】/【分析】由題意證明，求得，繼而求得，根據三棱錐的等體積法求得，即得，由此可求得答案.【解析】過點作于點，連接，，則，,平面平面，平面平面,平面,平面平面,,又點到平面的距離為，，即，，又，則,即，故P為中點，即，故答案為：四、解答題21．如圖，已知長方體中，，.為的中點，平面交棱于點.求證：；【答案】證明見解析【分析】由面面平行的性質可得平面，再由線面平行的性質即可證結論.【解析】由長方體的性質知：平面平面，又面，面，又平面平面，且面，.22．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點．求證:(1)平面AEC;(2)平面AEC⊥平面PBD．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】(1)設,連接,根據中位線可得,再根據線面平行的判定定理即可證明;(2)根據可得,根據四邊形為菱形,可得,再根據線面垂直的判斷定理可得平面,再根據面面垂直的判定定理即可得出結果.【解析】（1）設,連接,如圖所示:因為O,E分別為,的中點,所以,又因為平面,平面,所以平面．（2）連接,如圖所示:因為,為的中點,所以,又因為四邊形為菱形,所以,因為平面,平面,且,所以平面,又因為平面,所以平面平面．23．如圖，矩形AMND所在平面與直角梯形MBCN所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．(1)求證：平面AMB//平面DNC；(2)若MC⊥CB，求證：BC⊥AC．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由線面平行的判定可證MB//面DNC、MA//面DNC，再用面面平行的判定證結論；（2）由面面垂直的性質得AM⊥平面MBCN，再由線面垂直的性質、判定證BC⊥面AMC，最后由線面垂直的性質證線線垂直即可.【解析】（1）因為MB//NC，MB面DNC，NC面DNC，所以MB//面DNC．因為AMND是矩形，所以MA//DN，又MA面DNC，DN面DNC，所以MA//面DNC．又MA∩MB=M，且MA、MB平面AMB，所以面AMB//面DNC．（2）因為AMND是矩形，所以AM⊥MN．因為面AMND⊥面MBCN，且面AMND∩面MBCN=MN，AM面AMND，所以AM⊥平面MBCN，而BC平面MBCN，所以AM⊥BC．因為MC⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM面AMC，所以BC⊥面AMC，因為AC面AMC，所以BC⊥AC．24．如圖，正四棱錐的高，，，為側棱的中點．(1)求證：平面；(2)求三棱錐的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由中位線的性質可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結論成立；（2）計算出點到底面的距離以及的面積，再利用錐體的體積公式可求得三棱錐的體積.【解析】（1）證明：因為四邊形為正方形，，則為的中點，因為為的中點，則，又因為平面，平面，所以，平面.（2）解：在正四棱錐中，為底面的中心，則底面，因為為的中點，則點到平面的距離為，，因此，.25．在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，，點M，N分別是的中點.(1)求證：平面；(2)求證：平面；【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由中位線性質可得，結合四邊形為正方形可得，然后利用線面平行的判定定理即可；（2）利用面面垂直的性質定理可得到平面，則，再利用等邊三角形可得到，最后利用線面垂直的判定定理即可證明；【解析】（1）因為點M，N分別是的中點，所以，因為四邊形為正方形，所以，所以，因為平面，平面，所以平面；（2）因為平面底面，平面底面，，底面，所以平面，又平面，所以，因為，所以是等邊三角形，因為點M是的中點，所以，因為，平面，所以平面；26．如圖，在四棱錐中，已知底面是菱形，且對角線與相交于點.(1)若，求證：平面平面；(2)設點為的中點，在棱上是否存在點，使得平面？請說明理由.【答案】(1)證明見解析(2)存在，理由見解析【分析】（1）先證明平面，再證明平面平面即可；（2）存在棱的中點使得平面，可使用線面平行判定定理證明.【解析】（1）由已知，為中點，連接，若，則，又∵底面是菱形，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴平面平面.（2）棱上存在點，使得平面，為中點，證明如下：取的中點，連接，，∵是的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面.故存在棱的中點使得平面.27．如圖，三棱柱中，側面為菱形，的中點為，且平面．(1)證明：；(2)若，，，求三棱柱的高；(3)在（2）的條件下，求三棱柱的表面積．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】(1)要證,即證平面,由菱形的對角線垂直和線面垂直的性質即可得證.(2)要求三菱柱的高，根據題中已知條件可轉化為先求點到平面的距離，即：作，垂足為，連接，作，垂足為,則由線面垂直的判定定理可得平面,再根據三角形面積相等：,可求出的長度，最后由三棱柱的高為此距離的兩倍即可確定出高.(3)利用反三角函數分別求出，，使用面積公式求出每一面的面積，得到表面積.【解析】（1）證明：連接，則為與的交點，∵側面為菱形，∴．∵平面，∴．∵，平面,平面∴平面．∵平面，∴．（2）解：作，垂足為，連接，作，垂足為，如圖．∵，，，平面,平面,∴平面，∴．∵，，平面,平面,∴平面．∵，∴為等邊三角形．∵，∴，∵，∴，由，且，可得，∵O為的中點，∴到平面的距離為，∴三棱柱的高為.（3）解：易知，，，，，∴，，，．∴表面積為．28．如圖，在直三棱柱中，，.(1)設平面與平面ABC的交線為l，判斷l(xiāng)與AC的位置關系，并證明；(2)求證：；(3)若與平面所成的角為30°，求三棱錐內切球的表面積S.【答案】(1)，證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）由平面平面ABC可得平面ABC，從而根據線面平行的性質定理即可得證；（2）連接，根據已知可得平面，從而即可證明；（3）由題意，首先求出棱錐中各條棱的長度，然后利用等體積法計算三棱錐內切球的半徑，最后計算其表面積即可得答案．（1）解：判斷.證明如下：∵為直三棱柱，∴平面平面ABC，∵平面，∴平面ABC，又平面平面，平面，∴，又∵，∴；（2）證明：連接，∵三棱柱為直三棱柱，∴平面，∴，又，，∴AB⊥平面，又平面，∴，又∵直三棱柱中，，∴四邊形為正方形，∴，∵，平面，平面，∴平面，又∵平面，∴；（3）解：過作，垂足為D，連接CD，如圖所示，∵三棱柱為直三棱柱，∴平面，又平面，∴，∵，，∴平面，∴為直線與平面所成的角，即，∵，∴，∴，∴，∴在中，，∴，又，∴.設三棱錐內切球的半徑為r，球心為O，連接OA，OB，OC，，則由得，即，∴三棱錐內切球的表面積.29．如圖所示，四邊形為菱形，，平面平面，點是棱的中點．(1)求證：；(2)若，求三棱錐的體積．(3)若，當二面角的正切值為時，求直線與平面所成的角．【答案】(1)證明見解析(2)1(3)45°【分析】(1)先證明平面得到；(2)將三棱錐的體積轉化為三棱錐的體積求解；(3)設，