新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點精講練+易錯題型第16講 函數(shù)模型及其運(yùn)用（原卷版）

函數(shù)模型及其運(yùn)用【基礎(chǔ)知識全通關(guān)】1．常見的幾種函數(shù)模型(1)一次函數(shù)模型：y＝kx＋b(k≠0).(2)反比例函數(shù)模型：y＝eq\f(k,x)(k≠0).(3)二次函數(shù)模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0).(4)指數(shù)函數(shù)模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).(5)對數(shù)函數(shù)模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).2.指數(shù)、對數(shù)及冪函數(shù)三種增長型函數(shù)模型的圖象與性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個x0，當(dāng)x>x0時，有l(wèi)ogax<xn<ax【重點總結(jié)】解答函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟：=1\*GB3①審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；=2\*GB3②建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；=3\*GB3③求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；=4\*GB3④還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題的意義．【考點研習(xí)一點通】考點01：一次函數(shù)與分段函數(shù)模型1.某同學(xué)設(shè)想用“高個子系數(shù)k”來刻畫成年男子的高個子的程度，他認(rèn)為，成年男子身高160SKIPIF1<0及其以下不算高個子，其高個子系數(shù)k應(yīng)為0；身高190SKIPIF1<0及其以上的是理所當(dāng)然的高個子，其高個子系數(shù)k應(yīng)為1，請給出一個符合該同學(xué)想法?合理的成年男子高個子系數(shù)k關(guān)于身高SKIPIF1<0的函數(shù)關(guān)系式___________.【變式1-1】某電影票單價30元，相關(guān)優(yōu)惠政策如下：①團(tuán)購10張票，享受9折優(yōu)惠：②團(tuán)購30張票，享受8折優(yōu)惠；③購票總額每滿500元減80元．每張電影票只能享受一種優(yōu)惠政策，現(xiàn)需要購買48張電影票，合理設(shè)計購票方案，費(fèi)用最少為（）A．1180元 B．1230元 C．1250元 D．1152元【變式探究1-2】某貧困縣為了實施精準(zhǔn)扶貧計劃，使困難群眾脫貧致富，對貧困戶實行購買飼料優(yōu)惠政策如下：（1）若購買飼料不超過2000元，則不給予優(yōu)惠；（2）若購買飼料超過2000元但不超過5000元，則按標(biāo)價給予9折優(yōu)惠；（3）若購買飼料超過5000元，其5000元內(nèi)的給予9折優(yōu)惠，超過5000元的部分給予7折優(yōu)惠.某貧窮戶購買一批飼料，有如下兩種方案：方案一：分兩次付款購買，分別為2880元和4850元；方案二：一次性付款購買.若取用方案二購買此批飼料，則比方案一節(jié)?。ǎ┰狝．540 B．620 C．640 D．800考點02：二次函數(shù)模型2、山東省壽光市綠色富硒產(chǎn)品和特色農(nóng)產(chǎn)品在國際市場上頗具競爭力，其中香菇遠(yuǎn)銷日本和韓國等地.上市時，外商李經(jīng)理按市場價格10元/千克在本市收購了2000千克香菇存放入冷庫中.據(jù)預(yù)測，香菇的市場價格每天每千克將上漲0.5元，但冷庫存放這批香菇時每天需要支出各種費(fèi)用合計340元，而且香菇在冷庫中最多保存110天，同時，平均每天有6千克的香菇損壞不能出售.（1）若存放x天后，將這批香菇一次性出售，設(shè)這批香菇的銷售總金額為y元，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）李經(jīng)理如果想獲得利潤22500元，需將這批香菇存放多少天后出售？（提示：利潤=銷售總金額-收購成本-各種費(fèi)用）（3）李經(jīng)理將這批香菇存放多少天后出售可獲得最大利潤？最大利潤是多少？【變式2-1】共享單車是城市慢行系統(tǒng)的一種創(chuàng)新模式，對于解決民眾出行“最后一公里”的問題特別見效，由于停取方便、租用價格低廉，各色共享單車受到人們的熱捧．某自行車廠為共享單車公司生產(chǎn)新樣式的單車，已知生產(chǎn)新樣式單車的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一輛新樣式單車需要增加投入100元．根據(jù)初步測算，自行車廠的總收益(單位：元)滿足分段函數(shù)h(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(400x－\f(1,2)x2，0＜x≤400，,80000，x＞400，))其中x是新樣式單車的月產(chǎn)量(單位：輛)，利潤＝總收益－總成本．考點03：指數(shù)函數(shù)模型3、“一騎紅塵妃子笑，無人知是荔枝來”描述了封建統(tǒng)治者的驕奢生活，同時也講述了古代資源流通的不便利．如今我國物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時間y（單位：小時）與儲藏溫度x（單位：SKIPIF1<0）滿足函數(shù)關(guān)系SKIPIF1<0（a，b為常數(shù)），若該果蔬在6SKIPIF1<0的保鮮時間為216小時，在24SKIPIF1<0的保鮮時間為8小時，那么在12SKIPIF1<0時，該果蔬的保鮮時間為（）小時．A．72 B．36 C．24 D．16【變式3-1】一個放射性物質(zhì)不斷衰變?yōu)槠渌镔|(zhì)，每經(jīng)過一年就有的質(zhì)量發(fā)生衰變,剩余質(zhì)量為原來的.若該物質(zhì)余下質(zhì)量不超過原有的，則至少需要的年數(shù)是（）A． B． C． D．考點04：對數(shù)函數(shù)模型4、在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為（）A．1010.1 B．10.1C．lg10.1 D．10?10.1【變式4-1】科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)SKIPIF1<0為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級SKIPIF1<0可定義為SKIPIF1<0.2021年3月13日下午江西鷹潭余江區(qū)發(fā)生里氏SKIPIF1<0級地震，2020年1月1日四川自貢發(fā)生里氏SKIPIF1<0級地震，則自貢地震所散發(fā)出來的能量是余江地震所散發(fā)出來的能量的（）倍．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式4-2】聲音的強(qiáng)弱可以用聲波的能流密度來計算，叫做聲強(qiáng).通常人耳能聽到聲音的最小聲強(qiáng)為SKIPIF1<0（瓦/平方米）.對于一個聲音的聲強(qiáng)SKIPIF1<0，用聲強(qiáng)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0比值的常用對數(shù)的10倍表示聲強(qiáng)SKIPIF1<0的聲強(qiáng)級，單位是“分貝”，即聲強(qiáng)SKIPIF1<0的聲強(qiáng)級是SKIPIF1<0（分貝）.聲音傳播時，在某處聽到的聲強(qiáng)SKIPIF1<0與該處到聲源的距離SKIPIF1<0的平方成反比，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）.若在距離聲源15米的地方，聽到聲音的聲強(qiáng)級是20分貝，則能聽到該聲音（即聲強(qiáng)不小于SKIPIF1<0）的位置到聲源的最大距離為（）A．100米 B．150米 C．200米 D．SKIPIF1<0米考點05：分式函數(shù)模型5、上海市某地鐵項目正在緊張建設(shè)中，通車后將給更多市民出行帶來便利，已知該線路通車后，地鐵的發(fā)車時間間隔t（單位：分鐘）滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，經(jīng)測算，在某一時段，地鐵載客量與發(fā)車時間間隔t相關(guān)，當(dāng)SKIPIF1<0時地鐵可達(dá)到滿載狀態(tài)，載客量為1200人，當(dāng)SKIPIF1<0時，載客量會減少，減少的人數(shù)與SKIPIF1<0的平方成正比，且發(fā)車時間間隔為2分鐘時載客量為560人，記地鐵載客量為SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的解析式；（2）若該時段這條線路每分鐘的凈收益為SKIPIF1<0（元），問當(dāng)發(fā)車時間間隔為多少時，該時段這條線路每分鐘的凈收益最大？【變式5-1】某工廠有舊墻一面長SKIPIF1<0，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這面舊墻建造平面圖形為矩形，面積為SKIPIF1<0的廠房．工程條件是：①建SKIPIF1<0新墻的費(fèi)用為SKIPIF1<0元；②修SKIPIF1<0舊墻的費(fèi)用是SKIPIF1<0元；③拆去SKIPIF1<0舊墻，用所得的材料建SKIPIF1<0新墻的費(fèi)用為SKIPIF1<0元．利用舊墻的一段SKIPIF1<0為矩形廠房的一面邊長：（1）向如何利用舊墻，即SKIPIF1<0為多少時建墻費(fèi)用最省，最省費(fèi)用是多少？（2）由于地理位置的限制，廠房另一邊長（舊墻的臨邊）不能超過SKIPIF1<0，如何利用舊墻使總費(fèi)用最??？【考點易錯】1.已知某公司生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為100萬元,每生產(chǎn)1千件需另投入27萬元,設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品x千件(0<x≤25)并全部銷售完,每千件的銷售收入為R(x)(單位:萬元),且R(x)=108?(1)寫出年利潤f(x)(單位:萬元)關(guān)于年產(chǎn)量x(單位:千件)的函數(shù)解析式;(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時,該公司在這一產(chǎn)品的生產(chǎn)中所獲年利潤最大?(注:年利潤=年銷售收入-年總成本)2.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水青山就是金山銀山”的號召,因地制宜地將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”.調(diào)研過程中發(fā)現(xiàn):某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W(單位:千克)與肥料費(fèi)用10x(單位:元)滿足如下關(guān)系:W(x)=5(x15元/千克,且銷路暢通供不應(yīng)求.記該珍稀水果樹的單株利潤為f(x)(單位:元).(1)求f(x)的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時,該珍稀水果樹的單株利潤最大?最大利潤是多少?3.某公司計劃投資開發(fā)一種新能源產(chǎn)品,預(yù)計能獲得10萬元~1000萬元的收益.現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個對開發(fā)科研小組的獎勵方案:資金y(單位:萬元)隨收益x(單位:萬元)的增加而增加,且資金總數(shù)不超過9萬元,同時資金總數(shù)不超過收益的20%.(1)若建立獎勵方案的函數(shù)模型為y=f(x),試研究這個函數(shù)的定義域、值域和yx(2)現(xiàn)有兩個獎勵方案的函數(shù)模型:①y=x150+2;②4.某市一家商場的新年最高促銷獎設(shè)立了三種領(lǐng)獎方式,這三種領(lǐng)獎方式如下.方式一:每天到該商場領(lǐng)取獎品,價值為40元.方式二:第一天領(lǐng)取的獎品的價值為10元,以后每天比前一天多10元.方式三:第一天領(lǐng)取的獎品的價值為0.4元,以后每天的回報比前一天翻一番.若三種領(lǐng)獎方式對應(yīng)的獎品總價值均不超過1200元,則促銷獎的領(lǐng)獎活動最長設(shè)置為幾天?在領(lǐng)獎活動最長的情況下,你認(rèn)為哪種領(lǐng)獎方式讓領(lǐng)獎?wù)呤芤孀疃?【鞏固提升】1．一種藥在病人血液中的量保持在不低于1500mg，才有療效；而低于500mg，病人就危險．現(xiàn)給某病人的靜脈注射了這種藥2500mg，如果藥在血液中以每小時SKIPIF1<0的比例衰減，則再向這種病人的血液補(bǔ)充這種藥物的時間范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02.視力檢測結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：小數(shù)記錄SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0五分記錄SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，SKIPIF1<0表示五分記錄數(shù)據(jù)，請選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學(xué)檢測視力時，醫(yī)生告訴他的視力為SKIPIF1<0，則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為（附SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．生物學(xué)家為了了解濫用抗生素對生態(tài)環(huán)境的影響，常通過檢測水中生物體內(nèi)抗生素的殘留量來作出判斷．已知水中某生物體內(nèi)抗生素的殘留量SKIPIF1<0（單位：mg）與時間SKIPIF1<0（單位：年）近似滿足數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系式SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為抗生素的殘留系數(shù)．經(jīng)測試發(fā)現(xiàn)，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則抗生素的殘留系數(shù)SKIPIF1<0的值約為（）SKIPIF1<0A．10 B．SKIPIF1<0 C．100 D．SKIPIF1<04.某中學(xué)體育課對女生立定跳遠(yuǎn)項目的考核標(biāo)準(zhǔn)為：立定跳遠(yuǎn)距離1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，滿分為120分．若某女生訓(xùn)練前的成績?yōu)?0分，經(jīng)過一段時間的訓(xùn)練后，成績?yōu)?05分，則該女生訓(xùn)練后，立定跳遠(yuǎn)距離增加了（）A．0.33米 B．0.42米 C．0.39米 D．0.43米5．在新冠肺炎疫情初期，部分學(xué)者利用邏輯斯蒂增長模型預(yù)測某地區(qū)新冠肺炎患者數(shù)量SKIPIF1<0(SKIPIF1<0的單位：天)，邏輯斯蒂增長模型具體為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為環(huán)境最大容量.當(dāng)SKIPIF1<0時，標(biāo)志著已初步遏制疫情，則SKIPIF1<0約為（）A．63 B．65 C．66 D．696.地震震級根據(jù)地震儀記錄的地震波振幅來測定，一般采用里氏震級標(biāo)準(zhǔn)．震級M用距震中100千米處的標(biāo)準(zhǔn)地震儀所記錄的地震波最大振幅值的對數(shù)來表示．里氏震級的計算公式為：SKIPIF1<0（其中常數(shù)SKIPIF1<0是距震中100公里處接收到的0級地震的地震波的最大振幅；SKIPIF1<0是指我們關(guān)注的這次地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E是指當(dāng)?shù)卣鸢l(fā)生時，以地震波的形式放出的能量．SKIPIF1<0（單位：焦耳），其中M為地震震級．已知甲地地震產(chǎn)生的能量是乙地地震產(chǎn)生的能量的SKIPIF1<0倍，若乙地地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅為A，則甲地地震在距震中100公里處接收到的地震波的最大振幅為（）A．2A B．10A C．100A D．1000A7.為了保護(hù)水資源，提倡節(jié)約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費(fèi)方法如下表：每戶每月用水量水價不超過SKIPIF1<0的部分3元/SKIPIF1<0超過SKIPIF1<0但不超過SKIPIF1<0的部分6元/SKIPIF1<0超過SKIPIF1<0的部分9元/SKIPIF1<0若某戶居民本月交納的水費(fèi)為54元，則此戶居民的用水量為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08.SKIPIF1<0年初我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得了全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對貧困的艱巨任務(wù)．經(jīng)過數(shù)據(jù)分析得到某山區(qū)貧困戶年總收入與各項投入之間的關(guān)系是：貧困戶年總收入y（元）=1200+SKIPIF1<0年扶貧資金（元）+SKIPIF1<0年自投資金（元）SKIPIF1<0自投勞力（個）．若一個貧困戶家中只有兩個勞力，SKIPIF1<0年自投資金SKIPIF1<0元，以后每年的自投資金均比上一年增長SKIPIF1<0，SKIPIF1<0年獲得的扶貧資金為SKIPIF1<0元，以后每年獲得的扶貧資金均比上一年減少SKIPIF1<0元，則該貧困戶在SKIPIF1<0年的年總收入約為SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0元 B．SKIPIF1<0元 C．SKIPIF1<0元 D．SKIPIF1<0元9.聲強(qiáng)級SKIPIF1<0（單位：dB）由公式SKIPIF1<0給出，其中SKIPIF1<0為聲強(qiáng)（單位：W/m2）一般正常人聽覺能忍受的最高聲強(qiáng)級為120dB，平時常人交談時聲強(qiáng)級約為60dB，那么一般正常人能忍受的最高聲強(qiáng)是平時常人交談時聲強(qiáng)的（）A．104倍 B．105倍 C．106倍 D．107倍10.磚雕是江南古建筑雕刻中很重要的一種藝術(shù)形式，傳統(tǒng)磚雕精致細(xì)膩、氣韻生動、極富書卷氣．如圖是一扇環(huán)形磚雕，可視為扇形SKIPIF1<0截去同心扇形SKIPIF1<0所得部分．已知扇環(huán)周長SKIPIF1<0，大扇形半徑SKIPIF1<0，設(shè)小扇形半徑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0弧度，則①SKIPIF1<0關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式SKIPIF1<0_________．②若雕刻費(fèi)用關(guān)于x的解析式為SKIPIF1<0，則磚雕面積與雕刻費(fèi)用之比的最大值為________．11.據(jù)觀測統(tǒng)計，某濕地公園某種珍稀鳥類以平均每年4%的速度增加.按這個增長速度，大約經(jīng)過___________年以后，這種鳥類的個數(shù)達(dá)到現(xiàn)有個數(shù)的4倍或4倍以上.(結(jié)果保留整數(shù))(參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0)12.某商貿(mào)公司售賣某種水果.經(jīng)市場調(diào)研可知:在未來天內(nèi),這種水果每箱的銷售利潤(單位:元)與時間,單位:天)之間的函數(shù)關(guān)系式為,且日銷售量(單位:箱)與時間之間的函數(shù)關(guān)系式為①第天的銷售利潤為__________元;②在未來的這天中,公司決定每銷售箱該水果就捐贈元給“精準(zhǔn)扶貧”對象.為保證銷售積極性,要求捐贈之后每天的利潤隨時間的增大而增大,則的最小值是__________．13.基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：SKIPIF1<0