專題2.5+圓的對(duì)稱性-垂徑定理（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）-2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練（蘇科版）-A4

第1頁(yè)專題2.5圓的對(duì)稱性-垂徑定理（鞏固篇）（專項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長(zhǎng)為6，M是弦AB上的一動(dòng)點(diǎn)，則線段OM的長(zhǎng)的取值范圍是（）A．B．C．D．2．已知的直徑，是的弦，，垂足為，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或3．如圖，是的直徑，垂直于弦于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)．若，，則的長(zhǎng)是（

）A．1 B． C．2 D．44．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，OD⊥BC于點(diǎn)D，AC＝4，則OD的長(zhǎng)為（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.55．將一盛有不足半杯水的圓柱形玻璃水杯擰緊杯蓋后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如圖所示，已知水杯內(nèi)徑（圖中小圓的直徑）是8cm，水的最大深度是2cm，則杯底有水面AB的寬度是（）cm.A．6 B． C． D．6．如圖，AB是半圓O的直徑，以弦AC為折痕折疊后，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，則等于（

）A．120° B．125° C．130° D．145°7．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，D、E分別是AC、BC上的一點(diǎn)，且DE=6，若以DE為直徑的圓與斜邊AB相交于M、N，則MN的最大值為（

）A． B． C． D．8．如圖，已知的直徑弦于點(diǎn)則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B． C． D．9．如圖所示，如果AB為⊙O的直徑，弦，垂足為E，那么下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．10．如圖，在△ABC中，，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，將△ACD沿CD對(duì)折得△A′CD．連接，連接AA′交CD于點(diǎn)E，若，，則CE的長(zhǎng)為（

）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm11．如圖，在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點(diǎn)E．若AE＝6，AB＝5，則BF的長(zhǎng)為（

）A．5 B．6 C．8 D．1212．已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點(diǎn)P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（

）A． B．4 C． D．5二、填空題13．如圖，CD是⊙的直徑，AB是弦，，若，，則AC的長(zhǎng)為_(kāi)_____．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸相切于原點(diǎn)，平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)．若點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是__．15．如圖，的直徑AB與弦CD相交于點(diǎn)P，且，若，則的半徑為_(kāi)_____．16．如圖，AB，CD是半徑為15的⊙O的兩條弦，AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，P為EF上任意一點(diǎn)，則PA＋PC的最小值為_(kāi)____．17．如圖，AB是⊙C的弦，直徑MN⊥AB于點(diǎn)O，MN=10，AB=8，如圖以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系．我們把橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整數(shù)點(diǎn)，則線段OC長(zhǎng)是_____，⊙C上的整數(shù)點(diǎn)有_______個(gè)．18．如圖，在⊙O中，，AD⊥OC于點(diǎn)D，比較大小AB___________2AD．（填入“＞”或“＜”或“＝”）．19．如圖，⊙O的半徑為6，的面積為18，點(diǎn)P為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OP長(zhǎng)為整數(shù)時(shí)，P點(diǎn)有_____個(gè)．20．如圖，圓心B在y軸的負(fù)半軸上，半徑為5的與y軸的正半軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與OB相交于C、D兩點(diǎn)，則弦CD長(zhǎng)的所有可能的整數(shù)值是___________．21．如圖，AB是圓O的直徑，CD⊥AB于點(diǎn)E，交圓O于點(diǎn)D，OF⊥AC于點(diǎn)F，BD=5，則OF=__________________________．22．如圖，已知的半徑為5，P是直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，CD是的一條弦，，以PC，PD為相鄰兩邊作?PCED，當(dāng)C，D點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PE長(zhǎng)的最大值與最小值的積等于______．23．如圖，某圓弧形拱橋的跨度AB=20m，拱高CD=5m，則該拱橋的半徑為_(kāi)______m．三、解答題24．如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=2，ED=6，求⊙O的半徑長(zhǎng)．25．已知：如圖，在⊙O中，AB＝CD，AB與CD相交于點(diǎn)M，(1)求證：；(2)求證：AM＝DM．26．在《折疊圓形紙片》綜合實(shí)踐課上，小東同學(xué)展示了如下的操作及問(wèn)題：(1)如圖1，的半徑為4cm，通過(guò)折疊圓形紙片，使得劣弧AB沿弦AB折疊后恰好過(guò)圓心，求AB長(zhǎng)；(2)如圖2，弦AB，垂足為點(diǎn)C，劣弧AB沿弦AB折疊后經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)D，，求的半徑．27．如圖，在扇形AOB中，，C、D是上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作交OB于E點(diǎn)，在OD上取點(diǎn)F，使，連接CF并延長(zhǎng)交OB于G點(diǎn)．(1)求證：；(2)若C、D是AB的三等分點(diǎn)，：①求；②請(qǐng)比較GE和BE的大?。?8．【教材回顧】（1）如圖①，點(diǎn)、分別是的邊、邊的中點(diǎn)，連結(jié)，則是的一條中位線．則和的數(shù)量關(guān)系是____，位置關(guān)系是_____．【提出問(wèn)題】如圖④，是以為直徑的⊙的一條弦，連結(jié)、，點(diǎn)在的上方，點(diǎn)在的下方，于，于，點(diǎn)、均在弦上．已知，，求的值．為了解決上面的問(wèn)題，進(jìn)行了如下的探究：【分析問(wèn)題】先看兩種特殊情況：（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)也與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)，（點(diǎn)看成是長(zhǎng)度為0的線段），則_____．（寫出具體的數(shù)值）（3）如圖③，當(dāng)時(shí)，、重合，此時(shí)與的數(shù)量關(guān)系是____，先根據(jù)條件易求的長(zhǎng)度，則____．（寫出具體的數(shù)值）【解決問(wèn)題】（4）結(jié)合圖④對(duì)應(yīng)的一般情況和你的感知，請(qǐng)用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)方法求的值．參考答案1．B【分析】由垂線段最短可知當(dāng)OM⊥AB時(shí)最短，當(dāng)OM是半徑時(shí)最長(zhǎng)．根據(jù)垂徑定理求最短長(zhǎng)度．解：如圖，連接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直徑為10，∴半徑為5，∴OM的最大值為5，∵OM⊥AB于M，∴AM=BM，∵AB=6，∴AM=3，在Rt△AOM中，；此時(shí)OM最短，所以O(shè)M長(zhǎng)的取值范圍是4≤OM≤5．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理、勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是確定OM的最小值，所以求OM的范圍問(wèn)題又被轉(zhuǎn)化為求弦的弦心距問(wèn)題，而解決與弦有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，往往需構(gòu)造以半徑、弦心距和弦長(zhǎng)的一半為三邊的直角三角形，若設(shè)圓的半徑為r，弦長(zhǎng)為a，這條弦的弦心距為d，則有等式r2=d2+（^$^$）2成立，知道這三個(gè)量中的任意兩個(gè)，就可以求出另外一個(gè)．2．C【分析】先畫好一個(gè)圓，標(biāo)上直徑CD，已知AB的長(zhǎng)為8cm，可知分為兩種情況，第一種情況AB與OD相交，第二種情況AB與OC相交，利用勾股定理即可求出兩種情況下的AC的長(zhǎng)；解：連接AC，AO，∵圓O的直徑CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，當(dāng)C點(diǎn)位置如圖1所示時(shí)，∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，∴OM==3cm，∴CM=OC+OM=5+3=8cm，∴AC=cm；當(dāng)C點(diǎn)位置如圖2所示時(shí)，同理可得OM=3cm，∵OC=5cm，∴MC=5?3=2cm，在Rt△AMC中，AC=cm．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理和勾股定理，根據(jù)題意正確畫出圖形進(jìn)行分類討論，熟練運(yùn)用垂徑定理是解決本題的關(guān)鍵．3．C【分析】根據(jù)垂徑定理求出OD的長(zhǎng)，再根據(jù)中位線求出BC=2OD即可．解：設(shè)OD=x，則OE=OA=DE-OD=4-x．∵是的直徑，垂直于弦于點(diǎn)，∴∴OD是△ABC的中位線∴BC=2OD∵∴，解得∴BC=2OD=2x=2故選：C【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理、中位線的性質(zhì)，根據(jù)垂徑定理結(jié)合勾股定理求出OD的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．4．C【分析】由OD⊥BC，根據(jù)垂徑定理，可得CD＝BD，即可得OD是△ABC的中位線，則可求得OD的長(zhǎng)．解：∵OD⊥BC，∴CD＝BD，∵OA＝OB，AC＝4∴OD＝AC＝2．故選C．【點(diǎn)撥】此題考查了垂徑定理以及三角形中位線的性質(zhì)．此題比較簡(jiǎn)單，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．C【分析】作OD⊥AB于C，交小圓于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO為半徑，則OA=OD=4；然后運(yùn)用勾股定理即可求得AC的長(zhǎng)，即可求得AB的長(zhǎng).解：作OD⊥AB于C，交小圓于D，則CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，∴OC=2，∴AC=，∴AB=2AC=.故答案為C.【點(diǎn)撥】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，作出輔助線、構(gòu)造出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵.6．A【分析】連接OC，BC，過(guò)O作OE⊥AC于D交圓O于E，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到OD=OE，根據(jù)圓周角定理得到∠ACB=90°，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到OD=BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到結(jié)論．解：如圖，連接OC，BC，過(guò)O作OE⊥AC于D交圓O于E，∵把半圓沿弦AC折疊，恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，∴OD=OE，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB=90°，∴OD∥BC，∵OA=OB，∴OD=BC，∴BC=OE=OB=OC，是等邊三角形，∴∠COB=60°，∴∠AOC=120°，【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，垂徑定理，中位線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，正確的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．7．A【分析】由題意可知，C、O、G三點(diǎn)在一條直線上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面積求得CF，最后由垂徑定理和勾股定理即可求得MN的最大值．解：如圖，過(guò)O作OG⊥AB于G，連接OC、OM，∵DE＝6，∠ACB＝90°，OD＝OE，∴OC＝DE＝3，∵OM＝3，∴只有OG最小，GM才能最大，從而MN有最大值，∴只有C、O、G三點(diǎn)在一條直線上OG最小，過(guò)C作CF⊥AB于F，∴G和F重合時(shí)，MN有最大值，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴AB＝＝10，∵AC?BC＝AB?CF，∴CF＝，∴OG＝CF?OC＝，∴MG＝＝，∴MN＝2MG＝故選:A【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，垂線段最短，垂徑定理等知識(shí)，正確作出輔助線，得出C、O、G三點(diǎn)在一條直線上OG最小是解題的關(guān)鍵．8．B【分析】根據(jù)垂徑定理得出，由此可判斷A，再根據(jù)全等三角形的判定方法“AAS”即可證明，進(jìn)而可判斷C、D，而AE與OE不一定相等，由此可判斷B．解：∵的直徑于點(diǎn)，∴，故A選項(xiàng)結(jié)論成立；在和中，，∴，故D選項(xiàng)結(jié)論正確；∴，故C選項(xiàng)結(jié)論正確；而AE與OE不一定相等，故B選項(xiàng)結(jié)論不成立；故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?．D【分析】根據(jù)垂徑定理逐個(gè)判斷即可．解：AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB垂足為E，則AB是垂直于弦CD的直徑，就滿足垂徑定理．因而CE＝DE，，∠BAC＝∠BAD都是正確的．根據(jù)條件可以得到AB是CD的垂直平分線，因而AC＝AD．所以D是錯(cuò)誤的．故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查的是對(duì)垂徑定理的記憶與理解．10．B【分析】由折疊性質(zhì)得AA′⊥CD，AD=A′D，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可證得CD=AD=BD=A′D，可證得A、C、A′、B共圓且AB為直徑，利用垂徑定理的推論和三角形的中位線性質(zhì)證得DE=A′B，進(jìn)而可求解CE的長(zhǎng)．解：由折疊性質(zhì)得AA′⊥CD，AD=A′D，∵，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴CD=AD=BD=A′D=AB，∴A、C、A′、B共圓且AB為直徑，又AA′⊥CD，∴AE=A′E，又AD=BD，∴DE是△ABA′的中位線，∴DE=A′B，∵，，∴CD=7cm，DE=2cm，∴CE=CD-DE=7-2=5cm，故選B．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、折疊性質(zhì)、垂徑定理的推論，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．11．C【分析】設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)題意可得四邊形為菱形，勾股定理求得的長(zhǎng)度，即可求解．解：設(shè)交于點(diǎn)，如下圖：由題意可得：，平分，，∴垂直平分，，∴，，∴，又∵，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴平行四邊形為菱形，∴，由勾股定理得，，∴，故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，垂徑定理以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．12．D【分析】連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，先利用垂徑定理求得，然后在中求得，再在中，利用勾股定理即可求解．解：連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖所示，則，，∵PA＝4，PB＝6，∴，∴，∴，在中，，在中，，故選：D【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理及勾股定理的運(yùn)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)垂徑定理求出AE=BE=6，根據(jù)勾股定理求出OE，求出CE，再根據(jù)勾股定理求出AC即可．解：設(shè)AB和CD交于E，∵CD⊥AB，CD過(guò)圓心O，AB=12，∴AE=BE=6，∠OEB=∠CEA=90°，由勾股定理得：，∴CE=OC+OE=10+8=18，由勾股定理得：，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，能熟記垂直于弦的直徑平分這條弦是解此題的關(guān)鍵．14．【分析】首先過(guò)點(diǎn)P作PA⊥MN于點(diǎn)A，由垂徑定理即可求得AM＝MN，易證得四邊形ABOP是矩形，即可得AB＝OP，PA＝OB＝2，設(shè)OP＝a，在Rt△PAM中，由PM2＝AM2+PA2，可得方程a2＝（a﹣1）2+4，繼而可求得答案．解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸相切于原點(diǎn)，平行于軸的直線交于，兩點(diǎn)，設(shè)MN交x軸于點(diǎn)B，∴，∴四邊形是矩形，∴，，設(shè)，則，∵點(diǎn)的坐標(biāo)是，∴＝1，∴，在中，，即，解得：，∴，∴，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為：．故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了垂徑定理、點(diǎn)與坐標(biāo)的關(guān)系以及勾股定理．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．15．4【分析】過(guò)點(diǎn)作連接根據(jù)垂徑定理可得根據(jù)得到對(duì)式子進(jìn)行變換，即可求出半徑.解：設(shè)的半徑為R過(guò)點(diǎn)作連接∴解得：故答案為：4【點(diǎn)撥】此題考查垂徑定理，等腰直角三角形的性質(zhì)等，把式子進(jìn)行變形是解題的關(guān)鍵.16．【分析】由于A、B兩點(diǎn)關(guān)于MN對(duì)稱，因而PA＋PC＝PB＋PC，即當(dāng)B、C、P在一條直線上時(shí)，PA＋PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．解：連接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．∵AB＝24，CD＝18，MN是直徑，AB⊥MN于點(diǎn)E，CD⊥MN于點(diǎn)F，∴BE＝AB＝12，CF＝CD＝9，∴，，∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt△BCH中，根據(jù)勾股定理得：，即PA＋PC的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理以及最短路徑問(wèn)題，靈活根據(jù)垂徑定理確定最短路徑是解題關(guān)鍵．17．

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12【分析】過(guò)C作直徑UL∥x軸，連接AC，根據(jù)垂徑定理求出AO=BO=4，根據(jù)勾股定理求出OC，再得出答案即可．解：過(guò)C作直徑UL∥x軸，連接CA，則AC=×10=5，∵M(jìn)N過(guò)圓心C，MN⊥AB，AB=8，∴AO=BO=4，∠AOC=90°，由勾股定理得：CO==3，∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），同理還有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x軸，Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，3），即共12個(gè)點(diǎn)，故答案為：3；12．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理、勾股定理和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，能找出符合條件的所有點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．18．=【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，根據(jù)解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，AD⊥OC，即故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，角平分線的判定定理，等弧所對(duì)的圓心角相等，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．19．4【分析】過(guò)點(diǎn)P最長(zhǎng)的弦是12，根據(jù)已知條件，△OAB的面積為18，可以求出AB＜12，根據(jù)三角形面積可得OC=3，從而可知OP的長(zhǎng)有兩個(gè)整數(shù)：5，6，且OP=6是P在A或B點(diǎn)時(shí)，每一個(gè)值都有兩個(gè)點(diǎn)P，所以一共有4個(gè)．解：過(guò)O作OC⊥AB于C，則AC＝BC，設(shè)OC＝x，AC＝y(tǒng)，∵AB是⊙O的一條弦，⊙O的半徑為6，∴AB≤12，∵△OAB的面積為18，∴，則y＝，∴，解得x＝3或﹣3（舍），∴OC＝3＞4，∴4＜OP≤6，∵點(diǎn)P為弦AB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OP長(zhǎng)為整數(shù)時(shí)，OP＝5或6，則P點(diǎn)有4個(gè)．故答案為：4【點(diǎn)撥】此題考查了圓的有關(guān)概念，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是確定OP的最小值和最大值．20．8，9，10．【分析】當(dāng)CD為直徑時(shí)，此時(shí)CD最長(zhǎng)，為10；當(dāng)CD過(guò)P點(diǎn)且垂直y軸時(shí)，CD為P點(diǎn)的最短弦，由點(diǎn)A（0，1），BA＝5，得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，?4），再由P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，?7），得到BP＝3，由BP⊥CD，根據(jù)垂徑定理得PC＝PD，然后在Rt△PBC中，根據(jù)勾股定理得到PC＝4，所以CD＝8，即過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為8，最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為10，故可求解．解：當(dāng)CD過(guò)圓心B時(shí)，此時(shí)CD為直徑，CD＝10；當(dāng)CD過(guò)P點(diǎn)且垂直y軸時(shí)，CD為P點(diǎn)的最短弦，如圖，∵點(diǎn)A（0，1），BA＝5，∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，?4），∵P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，?7），∴BP＝?4?（?7）＝3，∵BP⊥CD，∴PC＝PD，在Rt△PBC中，BC＝5，BP＝3，∴PC＝＝4，∴CD＝2PC＝8，∵過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為8，最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為10，∴過(guò)P點(diǎn)的弦長(zhǎng)為整數(shù)還有9，∴弦CD長(zhǎng)的所有可能的整數(shù)值有8，9，10．故答案為：8，9，10．【點(diǎn)撥】本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理和勾股定理；同時(shí)掌握?qǐng)D形與坐標(biāo)的關(guān)系．21．【分析】利用垂徑定理可得，推出BD=BC，再根據(jù)三角形的中位線定理可得BC=2OF，即可解決問(wèn)題．解：∵直徑AB⊥弦CD，∴，∴BD=BC=5，∵OF⊥AC，∴AF=FC，∵OA=OB，∴OF是三角形ABC的中位線,∴2OF=，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查垂徑定理、三角形中位線定理等知識(shí)，熟知垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧是解答此題的關(guān)鍵．22．80.【分析】連接OC．設(shè)CD交PE于點(diǎn)K，連接OK．根據(jù)垂徑定理的推論可得，根據(jù)勾股定理求出OK，然后得出OP的值，利用三角形的三邊關(guān)系即可解決問(wèn)題．解：連接設(shè)CD交PE于點(diǎn)K，連接OK．四邊形PCED是平行四邊形，，，，，在中，，，，，，，的最小值為2，最大值為10，，的最小值為4，最大值為20，線段PE長(zhǎng)的最大值與最小值的積等于80．故答案為80．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．23．12.5【分析】根據(jù)垂徑定理的推論知，圓弧形拱橋的圓心在所在的直線上，設(shè)圓心是，半徑為，連接．根據(jù)垂徑定理得，再由勾股定理求解即可．解：根據(jù)垂徑定理的推論知，圓弧形拱橋的圓心在所在的直線上，設(shè)圓心是，半徑是，連接．根據(jù)垂徑定理，得：，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得：，即該拱橋的半徑為，故答案為：12.5．【點(diǎn)撥】此題考查了垂徑定理的應(yīng)用和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理，由勾股定理得出方程進(jìn)行求解．24．【分析】過(guò)點(diǎn)分別作、的垂線、，則四邊形是正方形，利用垂徑定理即可求得，的長(zhǎng)度，然后在直角中利用勾股定理即可求得的長(zhǎng)度．解：過(guò)點(diǎn)分別作、的垂線、，則四邊形是矩形，連接．，，，矩形是正方形．，，，，，同理：．在直角中，．的半徑長(zhǎng)為．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用垂徑定理可以把求弦長(zhǎng)以及半徑的計(jì)算轉(zhuǎn)化成求直角三角形的邊長(zhǎng)的計(jì)算．25．(1)見(jiàn)分析(2)見(jiàn)分析【分析】（1）由在⊙O中，AB=CD，根據(jù)弦與弧的關(guān)系，可證得，繼而可證得；（2）首先連接AC，BD，易證得△ACM≌△DBM，繼而證得AM=DM．解：(1)∵在⊙O中，AB＝CD，∴，∴，∴；(2)連接AC，BD，∵，∴AC＝BD，在△ACM和△DBM中，，∴△ACM≌△DBM（ASA），∴AM＝DM．【點(diǎn)撥】此題考查了弦與弧的關(guān)系、圓周角定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．26．(1)cm(2)cm【分析】（1）如圖1，作交于，交于，連接，由題意知，，，在中，由勾股定理得求出的值，進(jìn)而可求的值；（2）如圖2，延長(zhǎng)交于，連接，設(shè)半徑為，由題意知，由折疊和中點(diǎn)的性質(zhì)可知，在中，由勾股定理得，即，求出滿足要求的解即可．(1)解：如圖1，作交于，交于，連接由題意知，，在中，由勾股定理得∴∴的長(zhǎng)為．(2)解：如圖2，延長(zhǎng)交于，連接，設(shè)半徑為由題意知，由折疊和中點(diǎn)的性質(zhì)可知，在中，由勾股定理得，即解得：，（不合題意，舍去）∴半徑的長(zhǎng)為．【點(diǎn)撥】本題考查了垂徑定理，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．27．(1)證明見(jiàn)分析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行線得出∠COD=∠ODE，再用SAS證△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是的三等分點(diǎn)，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形內(nèi)角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利