2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計1.4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征學(xué)案含解析北師大版必修3

PAGE4數(shù)據(jù)的數(shù)字特征考綱定位重難突破1.駕馭各種基本數(shù)字特征的概念、意義以及它們各自的特點(diǎn).2.要重視數(shù)據(jù)的計算，體會統(tǒng)計思想.重點(diǎn)：各種數(shù)據(jù)特征的意義以及計算.難點(diǎn)：依據(jù)問題的須要選擇不同的統(tǒng)計量表達(dá)數(shù)據(jù)的信息.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第11頁[自主梳理]eq\a\vs4\al(統(tǒng),計,量)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(反映數(shù)據(jù),的集中趨,勢的量)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平均數(shù)：若x1，x2，…，xn為n個樣本，,則平均數(shù)\o(x,\s\up6(－))＝\f(x1＋x2＋…＋xn,n)Ｗ.,中位數(shù)：一組從小到大排列的數(shù)，若個數(shù)是奇數(shù)，,位于中間的數(shù)為中位數(shù)，若個數(shù)是偶數(shù)，中位數(shù),為位于中間兩個數(shù)的平均數(shù)Ｗ.,眾數(shù)：一組數(shù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù).)),\a\vs4\al(反映,數(shù)據(jù),的離,散程,度的,量)\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(極差：一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差.,方差：s2＝\f(（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2,n).,標(biāo)準(zhǔn)差：s＝\r(s2)＝,\r(\f(（x1－\o(x,\s\up6(－))）2＋（x2－\o(x,\s\up6(－))）2＋…＋（xn－\o(x,\s\up6(－))）2,n)).))))[雙基自測]1．下列能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的是()A．平均數(shù) B．方差C．中位數(shù) D．眾數(shù)解析：方差能刻畫一組數(shù)據(jù)離散程度的大?。鸢福築2．下列說法中，錯誤的是()A．?dāng)?shù)據(jù)2，4，6，8的中位數(shù)是4，6B．?dāng)?shù)據(jù)1，2，2，3，4，4的眾數(shù)是2，4C．一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)有可能是同一個數(shù)據(jù)D．8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，另3個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為7，則這11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是eq\f(8×5＋7×3,11)解析：由中位數(shù)的特征，知A中的中位數(shù)有兩個是錯誤的，其中位數(shù)應(yīng)為eq\f(4＋6,2)＝5.答案：A3．一個樣本的方差s2＝eq\f(1,10)[(x1－15)2＋(x2－15)2＋…＋(x10－15)2]，則這個樣本的平均數(shù)與樣本容量分別是________．解析：由方差的計算公式知eq\o(x,\s\up6(－))＝15，n＝10.故這個樣本的平均數(shù)為15，樣本容量為10.答案：15，10授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第11頁探究一中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)的計算及應(yīng)用[典例1]據(jù)報道，某公司的33名職工的月工資(單位：元)如下：職務(wù)董事長副董事長董事總經(jīng)理經(jīng)理管理員職員人數(shù)11215320工資5500500035003000250020001500(1)求該公司職工月工資的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(2)假設(shè)副董事長的工資從5000元提升到20000元，董事長的工資從5500元提升到30000元，那么新的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)又是什么？(精確到元)(3)你認(rèn)為哪個統(tǒng)計量更能反映這個公司員工的工資水平？結(jié)合此問題談一談你的看法．[解析](1)平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(－))＝1500＋eq\f(4000＋3500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋591＝2091(元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(2)新的平均數(shù)是eq\o(x,\s\up6(－))′＝1500＋eq\f(28500＋18500＋2000×2＋1500＋1000×5＋500×3＋0×20,33)≈1500＋1788＝3288(元)．中位數(shù)是1500元，眾數(shù)是1500元．(3)在這個問題中，中位數(shù)或眾數(shù)均能反映該公司員工的工資水平，因為公司中少數(shù)人的工資額與大多數(shù)人的工資額差別較大，這樣導(dǎo)致平均數(shù)與中位數(shù)偏差較大，所以平均數(shù)不能反映這個公司員工的工資水平．理解并駕馭平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的概念，平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)可能相同，也可能不同，留意某幾個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這些數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，樣本平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，在實(shí)際問題中計算時，應(yīng)依據(jù)實(shí)際要求進(jìn)行計算．1．某學(xué)校對高一年級經(jīng)過初步比較后，確定從高一年級(1)(4)(8)班這三個班中舉薦一個班為市級先進(jìn)班集體的候選班，現(xiàn)對這三個班進(jìn)行綜合素養(yǎng)考評，下表是它們五項素養(yǎng)考評的得分表：(以分為單位，每項滿分為10分)班級行為規(guī)范學(xué)習(xí)成果校運(yùn)動會藝術(shù)獲獎勞動衛(wèi)生高一(1)班10106107高一(4)班108898高一(8)班910969請問各班五項考評分的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個統(tǒng)計量不能反映三個班的考評結(jié)果的差異？并從中選擇一個能反映差異的統(tǒng)計量將它們的得分進(jìn)行排序．解析：設(shè)P1、P4、P8順次為三個班考評分的平均數(shù)；W1、W4、W8順次為三個班考評分的中位數(shù)；Z1、Z4、Z8順次為三個班考評分的眾數(shù)．則P1＝eq\f(1,5)(10＋10＋6＋10＋7)＝8.6(分)，P4＝eq\f(1,5)(10＋8＋8＋9＋8)＝8.6(分)，P8＝eq\f(1,5)(9＋10＋9＋6＋9)＝8.6(分)；W1＝10(分)，W4＝8(分)，W8＝9(分)；Z1＝10(分)，Z4＝8(分)，Z8＝9(分)．所以平均數(shù)不能反映這三個班的考評結(jié)果的差異，而用中位數(shù)(或眾數(shù))能反映差異，且W1>W8>W4(或Z1>Z8>Z4)．探究二方差、標(biāo)準(zhǔn)差與應(yīng)用[典例2]甲、乙兩支籃球隊在一次聯(lián)賽中，各進(jìn)行10次競賽，得分如下：甲隊：100，97，99，96，102，103，104，101，101，100.乙隊：97，97，99，95，102，100，104，104，103，102.請計算甲、乙兩隊的方差與標(biāo)準(zhǔn)差，并推斷哪支球隊發(fā)揮更為穩(wěn)定．[解析]eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)(100＋97＋…＋100)＝100.3，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)(97＋97＋…＋102)＝100.3，則seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(100－100.3)2＋…＋(100－100.3)2]＝5.61，則seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)[(97－100.3)2＋…＋(102－100.3)2]＝9.21，所以甲隊的標(biāo)準(zhǔn)差為s甲＝eq\r(5.61)≈2.37，乙隊的標(biāo)準(zhǔn)差為s乙＝eq\r(9.21)≈3.03.由此可以推斷甲隊的得分方差小，標(biāo)準(zhǔn)差也相應(yīng)較小，因此甲隊在聯(lián)賽中發(fā)揮更為穩(wěn)定一些．在實(shí)際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要探討方差，方差描述了數(shù)據(jù)相對平均數(shù)的離散程度．在平均數(shù)相同的狀況下，方差越大，離散程度越大，數(shù)據(jù)波動性越大，穩(wěn)定性越差；方差越小，數(shù)據(jù)越集中、越穩(wěn)定．2．某工廠甲、乙兩名工人參與操作技能培訓(xùn)，他們在培訓(xùn)期間參與的8次測試成果記錄如下：甲9582888193798478乙8392809590808575試比較哪個工人的成果較好．解析：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,8)×(78＋79＋81＋82＋84＋88＋93＋95)＝85，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,8)×(75＋80＋80＋83＋85＋90＋92＋95)＝85.seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,8)×[(78－85)2＋(79－85)2＋(81－85)2＋(82－85)2＋(84－85)2＋(88－85)2＋(93－85)2＋(95－85)2]＝35.5，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,8)×[(75－85)2＋(80－85)2＋(80－85)2＋(83－85)2＋(85－85)2＋(90－85)2＋(92－85)2＋(95－85)2]＝41.∵eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，∴甲的成果較穩(wěn)定．綜上可知，甲的成果較好．探究三數(shù)字特征的綜合應(yīng)用[典例3]甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次，每次射靶的成果狀況如圖所示：(1)請?zhí)顚懴卤恚浩骄鶖?shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及9環(huán)以上次數(shù)甲乙(2)請從下列四個不同的角度對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看，分析誰的成果穩(wěn)定；②從平均數(shù)和中位數(shù)相結(jié)合看，分析誰的成果好些；③從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看，分析誰的成果好些；④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看，分析誰更有潛力．[解析](1)視察折線圖可得甲射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.將它們由小到大重排為：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9.乙射擊10次中靶環(huán)數(shù)分別為：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.將它們由小到大重排為：2，4，6，7，7，8，8，9，9，10.eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,10)(5＋6×2＋7×4＋8×2＋9)＝7，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)(2＋4＋6＋7×2＋8×2＋9×2＋10)＝7，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,10)[(5－7)2＋(6－7)2×2＋(7－7)2×4＋(8－7)2×2＋(9－7)2]＝eq\f(1,10)(4＋2＋0＋2＋4)＝1.2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,10)×[(2－7)2＋(4－7)2＋(6－7)2＋(7－7)2×2＋(8－7)2×2＋(9－7)2×2＋(10－7)2]＝eq\f(1,10)(25＋9＋1＋0＋2＋8＋9)＝5.4.依據(jù)以上的分析與計算填表如下：平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及9環(huán)以上次數(shù)甲71.271乙75.47.53(2)①因為平均數(shù)相同，且seq\o\al(2,甲)<seq\o\al(2,乙)，所以甲的成果比乙穩(wěn)定．②因為平均數(shù)相同，甲的中位數(shù)<乙的中位數(shù)，所以乙的成果比甲好些．③因為平均數(shù)相同，命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)甲比乙少，所以乙的成果比甲好些．④甲成果在平均數(shù)上下波動，而乙的成果處于上升勢頭，從第四次以后就沒有比甲少的狀況發(fā)生，所以乙較有潛力．1．計算標(biāo)準(zhǔn)差的方法：(1)算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)．(2)算出每個樣本數(shù)據(jù)與樣本平均數(shù)的差xi－eq\o(x,\s\up6(－))(i＝1，2，…，n)．(3)算出(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2(i＝1，2，…，n)．(4)算出(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2(i＝1，2，…，n)這n個數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差s2.(5)算出方差的算術(shù)平方根，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差s.2．方差的計算公式：(1)s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋(x2－eq\o(x,\s\up6(－)))2＋…＋(xn－eq\o(x,\s\up6(－)))2]．(2)s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n)－neq\o(x,\s\up6(－))2)．(3)s2＝eq\f(1,n)(xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＋…＋xeq\o\al(2,n))－eq\o(x,\s\up6(－))2.3．為了普及環(huán)保學(xué)問，增加環(huán)保意識，某高校隨機(jī)抽取30名學(xué)生參與環(huán)保學(xué)問測試，得分(非常制)如圖所示，假設(shè)得分的中位數(shù)為me，眾數(shù)為mo，平均值為eq\o(x,\s\up6(－))，則()A．me＝mo＝eq\o(x,\s\up6(－))B．me＝mo<eq\o(x,\s\up6(－))C．me<mo<eq\o(x,\s\up6(－)) D．mo<me<eq\o(x,\s\up6(－))解析：由題意知mo＝5，me＝eq\f(5＋6,2)＝5.5，eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10,30)＝eq\f(179,30)，明顯eq\o(x,\s\up6(－))>me>mo，故選D.答案：D樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應(yīng)用[典例](本題滿分12分)在一次科技學(xué)問競賽中，兩組學(xué)生的成果如下表：分?jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212已經(jīng)算得兩個組的平均分都是80分．請依據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計學(xué)問，進(jìn)一步推斷這兩個組在這次競賽中的成果誰優(yōu)誰劣，并說明理由．[規(guī)范解答](1)甲組成果的眾數(shù)為90分，乙組成果的眾數(shù)為70分，從成果的眾數(shù)看，甲組成果較好.2分(2)甲、乙兩組成果的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分．其中，甲組成果在80分以上(包括80分)的有33人，乙組成果在80分以上(包括80分)的有26人，從這一角度看，甲組成果較好.5分(3)seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,50)×[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172.seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,50)×[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.因為seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲組成果比乙組成果穩(wěn)定，從這一角度看，甲組成果較好.9分(4)從成果統(tǒng)計表看，甲組成果大于或等于90分的有20人，乙組成果大于或等于90分的有24人，所以乙組成果分布在高分段的人數(shù)較多．同時，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6，從這一角度看，乙組成果較好.12分[規(guī)范與警示](1)對實(shí)際問題的分析評價，不僅要依據(jù)單個樣本數(shù)字特征，還要綜合考慮樣本分布的影響，養(yǎng)成從多角度看問題的習(xí)慣．(2)本題僅涉及一些簡潔的樣本數(shù)字特征的計算，但在沒有任何提示的狀況下，要依據(jù)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析和推斷，會令人手足無措．要正確解答這道題，首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語，全方位地進(jìn)行評價，如本題中的“滿分人數(shù)”．留意要在恰當(dāng)?shù)脑u估后，組織