數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究函數(shù)的應(yīng)用（Ⅰ）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一一次函數(shù)模型的應(yīng)用1．一次函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用:一次函數(shù)模型應(yīng)用時,本著“問什么,設(shè)什么，列什么”這一原則．2．一次函數(shù)的最值求解：一次函數(shù)求最值，常轉(zhuǎn)化為求解不等式ax＋b≥0（或≤0），解答時，注意系數(shù)a的正負(fù)，也可以結(jié)合函數(shù)圖象或其單調(diào)性來求最值．【典型例題1】(1)某廠日生產(chǎn)文具盒的總成本y(元）與日產(chǎn)量x(套)之間的關(guān)系為y＝6x＋30000。而出廠價格為每套12元，要使該廠不虧本,至少日生產(chǎn)文具盒()A.2000套B．3000套C．4000套D．5000套（2）商店出售茶壺和茶杯，茶壺定價為每個20元，茶杯每個5元,該商店推出兩種優(yōu)惠辦法：(1）買一個茶壺贈一個茶杯；(2）按總價的92％付款．某顧客需購買茶壺4個,茶杯若干個（不少于4個），若購買茶杯x（個)，付款y(元)，分別建立兩種優(yōu)惠辦法中y與x之間的函數(shù)解析式，并討論該顧客買同樣多的茶杯時，兩種辦法哪一種更優(yōu)惠？(1)解析:因利潤z＝12x－（6x＋30000)，所以z＝6x－30000,由z≥0解得x≥5000，故至少日生產(chǎn)文具盒5000套．答案：D(2)解：由優(yōu)惠辦法（1）可得函數(shù)解析式為y1＝20×4＋5(x－4）＝5x＋60(x≥4，且x∈N)．由優(yōu)惠辦法(2)可得y2＝（5x＋20×4）×92%＝4.6x＋73。6（x≥4，且x∈N）．y1－y2＝0.4x－13。6(x≥4，且x∈N），令y1－y2＝0，得x＝34.所以，當(dāng)購買34個茶杯時，兩種辦法付款相同；當(dāng)4≤x＜34時,y1＜y2，即優(yōu)惠辦法（1)更省錢；當(dāng)x＞34時,y1＞y2，優(yōu)惠辦法(2）更省錢．探究二二次函數(shù)模型的應(yīng)用二次函數(shù)模型的解析式為g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0）．在函數(shù)建模中，它占有重要的地位．在根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值,從而解決實(shí)際問題中的最值問題．二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來解答．【典型例題2】某水果批發(fā)商銷售每箱進(jìn)價為40元的蘋果，假設(shè)每箱售價不得低于50元且不得高于55元．市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每箱以50元的價格銷售，平均每天銷售90箱，價格每提高1元，平均每天少銷售3箱．(1)求平均每天的銷售量y（箱）與銷售單價x(元/箱)之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求該批發(fā)商平均每天的銷售利潤w(元）與銷售單價x（元/箱）之間的函數(shù)關(guān)系式；(3）當(dāng)每箱蘋果的售價為多少元時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？思路分析:本題中平均每天的銷售量y(箱)與銷售單價x(元/箱)是一個一次函數(shù)關(guān)系，雖然x∈[50,55]，x∈N，但仍可把問題看成一次函數(shù)模型的應(yīng)用問題；平均每天的銷售利潤w(元)與銷售單價x（元/箱）是一個二次函數(shù)關(guān)系，可看成是一個二次函數(shù)模型的應(yīng)用題．解：（1）根據(jù)題意，得y＝90－3（x－50)，化簡，得y＝－3x＋240（50≤x≤55，x∈N）．(2）因?yàn)樵撆l(fā)商平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤．所以w＝（x－40）(－3x＋240）＝－3x2＋360x－9600(50≤x≤55，x∈N)．(3)因?yàn)閣＝－3x2＋360x－9600＝－3（x－60)2＋1200，所以當(dāng)x＜60時，w隨x的增大而增大．又50≤x≤55，x∈N，所以當(dāng)x＝55時，w有最大值，最大值為1125.所以當(dāng)每箱蘋果的售價為55元時,可以獲得最大利潤，且最大利潤為1125元．點(diǎn)評此題中要清楚平均每天的銷售利潤＝平均每天的銷售量×每箱銷售利潤，解答時還要注意利用上一問的結(jié)論．探究三分段函數(shù)模型的應(yīng)用1．分段函數(shù)的“段”一定要分得合理,不重不漏．2．分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?yīng)每一段自變量取值范圍的并集．3．分段函數(shù)的值域求法:逐段求函數(shù)值的范圍,最后比較再下結(jié)論．【典型例題3】某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每年投入固定成本0.5萬元，此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬元，經(jīng)預(yù)測可知,市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件，當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位:百件)時，銷售所得的收入約為5t－t2（萬元)．(1）若該公司的年產(chǎn)量為x(單位:百件），試把該公司生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量x的函數(shù);(2）當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時，當(dāng)年所得利潤最大?思路分析：利潤＝銷售收入－總的成本．由于本題中的銷量只能為500件，但生產(chǎn)的數(shù)量不確定，所以模型確定為分段函數(shù)模型．解:（1）當(dāng)0＜x≤5時，產(chǎn)品全部售出，當(dāng)x＞5時,產(chǎn)品只能售出500件．所以f(x)＝即f（x）＝（2）當(dāng)0＜x≤5時，f(x)＝－x2＋4。75x－0。5，所以當(dāng)x＝4。75(百件)時，f(x)有最大值，f(x)max＝10。78125(萬元）．當(dāng)x＞5時，f（x)＜12－0。25×5＝10.75（萬元)．故當(dāng)年產(chǎn)量為475件時,當(dāng)年所得利潤最大．點(diǎn)評本題易歸為二次函數(shù)模型處理，即x＞5這種情況易漏掉．探究四易錯辨析易錯點(diǎn)忽視實(shí)際問題中x的范圍而致誤【典型例題4】如圖所示,在矩形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b（a＞b),在AB，AD，CB，CD上分別截取AE＝AH＝CF＝CG＝x（x＞0）,設(shè)四邊形EFGH的面積為y。（1）寫出四邊形EFGH的面積y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;（2）求當(dāng)x為何值時,y取得最大值，最大值是多少？錯解:（1)由題意，可知△AEH≌△CGF，△DGH≌△BEF,且BE＝DG＝a－x,BF＝DH＝b－x?！郤△AEH＝x2，S△BFE＝(a－x）(b－x）．∴S四邊形EFGH＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BFE＝ab－x2－（a－x)（b－x）＝－2x2＋(a＋b）x。即y＝－2x2＋(a＋b)x。（2）由(1）知，y＝－2x2＋（a＋b）x＝－22＋，∴由二次函數(shù)的性質(zhì)得，當(dāng)x＝時，ymax＝。錯因分析：（1)中沒有注意實(shí)際問題中x的取值范圍;(2)中沒有討論對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，從根本上是由（1)中沒明確定義域而造成最后的錯誤．正解:（1）由題意，可知△AEH≌△CGF，△DGH≌△BEF,且BE＝DG＝a－x，BF＝DH＝b－x.∴S△AEH＝x2，S△BFE＝(a－x）(b－x)．∴S四邊形EFGH＝S矩形ABCD－2S△AEH－2S△BFE＝ab－x2－(a－x）（b－x）＝－2x2＋（a＋b）x(0＜x≤b）,即y＝－2x2＋(a＋b)x（0＜x≤b)．（2)由（1)知，y＝－2x2＋（a＋b）x＝－22＋（0＜x≤b)．若0＜≤b,即a＞b≥時，ymax＝，此時x＝；若＞b,即0＜b