數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究指數(shù)函數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一指數(shù)函數(shù)的概念1．判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法：（1)看形式：即看是否符合y＝ax（a>0，a≠1,x∈R)這一結(jié)構(gòu)形式．(2）明特征：指數(shù)函數(shù)的解析式具備的三個(gè)特征,只要有一個(gè)特征不具備，則不是指數(shù)函數(shù)．2．已知某個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)值的步驟（1）列：依據(jù)指數(shù)函數(shù)解析式所具備的三個(gè)特征,列出方程（組)或不等式（組)．(2）解：解所列的方程(組)或不等式(組),求出參數(shù)的值或范圍．【典型例題1】函數(shù)y＝(a2－3a＋3)ax是指數(shù)函數(shù)，求a的值．思路分析：只需讓解析式符合y＝ax這一形式即可．解：因?yàn)閥＝（a2－3a＋3）ax是指數(shù)函數(shù)，所以解得所以a＝2。探究二求指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域求函數(shù)的定義域問題,即求表達(dá)式有意義時(shí)相應(yīng)的x的取值范圍(集合);求函數(shù)的值域問題主要是借助指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，先求出指數(shù)位置上的表達(dá)式的取值范圍，再求原函數(shù)的值域．【典型例題2】求下列函數(shù)的定義域與值域：(1）y＝;（2)y＝；(3）y＝。解：（1)要使函數(shù)y＝2eq\f(1，x－3）有意義，則有x－3≠0，即x≠3；因?yàn)椤?，所以y＝≠1.所以所求函數(shù)的定義域是{x｜x∈R，且x≠3｝,值域?yàn)閧y|y＞0,且y≠1}．(2)因?yàn)閥＝中的|x|≥0，所以0＜y≤1.所以所求函數(shù)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)椋鹹|0＜y≤1}．(3）已知函數(shù)可化為y＝，由≥0,得x＞1.又由＞0，得y＝＞1。所以所求函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸|x＞1}，值域?yàn)閧y|y＞1}．探究三利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小的方法：1．把這兩個(gè)數(shù)看作指數(shù)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值,再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較；2．若兩個(gè)數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)值，則尋求一個(gè)中間量，中間量常選1,兩個(gè)數(shù)都與這個(gè)中間量進(jìn)行比較；3．當(dāng)?shù)讛?shù)a的情形不確定時(shí),要分類討論，有些底數(shù)不相同的，需利用冪的性質(zhì)化歸為同底，再利用單調(diào)性得出結(jié)果．【典型例題3】比較下列各組數(shù)的大?。海?)與；(2）與1；（3)（0。6)－2與.思路分析：若兩個(gè)數(shù)是同底指數(shù)冪，則直接利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大??；若不同底，一般用中間值法．解：（1）∵0〈<1，∴y＝在定義域R內(nèi)是減函數(shù)，又∵－1。8〉－2.6,∴〈。(2)∵0〈〈1，∴y＝在定義域R內(nèi)是減函數(shù)．又∵－〈0，∴〉＝1，∴〉1.(3）∵0.6－2>0。60＝1，〈＝1，∴0。6－2>.探究四指數(shù)函數(shù)的圖象問題1．牢記指數(shù)函數(shù)y＝ax（a>0，a≠1）的圖象恒過定點(diǎn)（0,1)，分布在第一和第二象限．2．明確影響指數(shù)函數(shù)圖象特征的關(guān)鍵是底數(shù)．3．平移變換（φ〉0)，如圖（1)所示．圖(1)圖（2)4．對(duì)稱變換，如圖（2）所示．【典型例題4】函數(shù)y＝ax－1＋2(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)__________．解析：方法一：∵指數(shù)函數(shù)y＝ax（a>0，a≠1）的圖象過定點(diǎn)（0，1),∴函數(shù)y＝ax－1＋2中令x－1＝0,即x＝1，則y＝1＋2＝3?！嗪瘮?shù)圖象恒過定點(diǎn)（1,3)．方法二：函數(shù)可變形為y－2＝ax－1，把y－2看作x－1的指數(shù)函數(shù),則當(dāng)x－1＝0，即x＝1時(shí)，y－2＝1，即y＝3.∴函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)（1，3)．方法三：由圖象變換可知：∵指數(shù)函數(shù)y＝ax（a〉0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(0,1），∴y＝ax－1的圖象恒過定點(diǎn)(1,1)．∴y＝ax－1＋2的圖象恒過點(diǎn)(1，3）．答案：(1,3)【典型例題5】先作出函數(shù)y＝2x的圖象，再通過圖象變換作出下列函數(shù)的圖象：（1)y＝2x－2，y＝2x＋1；（2)y＝2x＋1,y＝2x－2；(3）y＝－2x,y＝2－x，y＝－2－x.思路分析:先作出y＝2x的圖象,再向左（右)、上(下)平移分別得到第（1)(2)題中函數(shù)的圖象；由y＝2x的圖象作關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)的對(duì)稱變換便得第（3)題中函數(shù)的圖象．解：列表：x…－3－2－10123…y＝2x…1248…根據(jù)上表中x，y的對(duì)應(yīng)值在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)作圖如圖（1)所示．圖（1）（1)函數(shù)y＝2x－2的圖象可以由y＝2x的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到,函數(shù)y＝2x＋1的圖象可以由y＝2x的圖象向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到．圖象如圖（1）所示．（2)函數(shù)y＝2x＋1的圖象可以由y＝2x的圖象向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到，函數(shù)y＝2x－2的圖象可以由y＝2x的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到．圖象如圖(2）所示．圖(2)（3）函數(shù)y＝2－x的圖象由y＝2x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱后得到；函數(shù)y＝－2x的圖象由y＝2x的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱后得到；函數(shù)y＝－2－x的圖象由y＝2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后得到．圖象如圖(3）所示．圖(3)探究五易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)誤解“左加右減”法則而致誤【典型例題6】函數(shù)y＝2－x＋1的圖象是由y＝2－x的圖象怎樣變化得到的？錯(cuò)解：由“左加右減”法則，把y＝2－x的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，得到y(tǒng)＝2－x＋1的圖象．錯(cuò)因分析：圖象的左右平移是對(duì)于自變量x來(lái)說的，因此平移只對(duì)自變量x起作用，與自變量的函數(shù)無(wú)關(guān)．正解：因?yàn)閥＝2－x＋1＝2－（x－1），所以把y＝2－x的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度可得到y(tǒng)＝2－x＋1的圖象．易錯(cuò)點(diǎn)忽視了函數(shù)的定義域而致誤【典型例題7】求函數(shù)y＝4x－2x＋1＋3，x∈（－∞,1]的值域．錯(cuò)解：（換元法）∵y＝(2x)2－2·2x＋3，∴令2x＝t，則原函數(shù)化為y＝t2－2t＋3＝（t－1)2＋2.∴當(dāng)t＝1時(shí)，ymin＝2，即y≥2，即函數(shù)y＝4x－2x＋1＋3,x∈(－∞,1］的值域?yàn)椋?,＋∞）．錯(cuò)因分析：忽視了新的