數(shù)學(xué)學(xué)案：課堂探究指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一求反函數(shù)求函數(shù)的反函數(shù)的主要步驟:1．從y＝f（x）中解出x＝φ（y);2．將x,y互換;3．標(biāo)明反函數(shù)的定義域（即原函數(shù)的值域)，簡(jiǎn)記為“一解、二換、三寫"．【典型例題1】求下列函數(shù)的反函數(shù)：(1）y＝log2x;（2）y＝；(3）y＝5x＋1。思路分析：按照求反函數(shù)的基本步驟求解即可．解：（1)由y＝log2x，得x＝2y,∴f－1(x)＝2x(x∈R)．（2）由y＝,得x＝，且y〉0,∴f－1(x）＝(x〉0)．（3)由y＝5x＋1,得x＝，∴f－1（x）＝(x∈R)．探究二指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系互為反函數(shù)的圖象特點(diǎn)：（1)互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱；圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)．(2)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性一致．（3）若一奇函數(shù)有反函數(shù)，則它的反函數(shù)也是奇函數(shù)．【典型例題2】（1)已知a〉0，且a≠1，則函數(shù)y＝ax與y＝loga(－x)的圖象只能是(）(2)將y＝2x的圖象先__________，再作關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的圖象，可得到函數(shù)y＝log2（x＋1）的圖象()A．先向上平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度B．先向右平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度C．先向左平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度D．先向下平行移動(dòng)一個(gè)單位長(zhǎng)度解析：（1)方法一:首先，曲線y＝ax只可能在上半平面，y＝loga(－x)只可能在左半平面，從而排除A，C.其次,從單調(diào)性著眼．y＝ax與y＝loga(－x)的單調(diào)性正好相反，又可排除D.故選B。方法二：若0〈a〈1，則曲線y＝ax下降且過點(diǎn)（0，1），而曲線y＝loga（－x）上升且過點(diǎn)(－1，0）,所有選項(xiàng)均不符合這些條件．若a>1，則曲線y＝ax上升且過點(diǎn)(0，1），而曲線y＝loga（－x）下降且過點(diǎn)（－1，0)，只有B滿足條件．方法三：如果注意到y(tǒng)＝loga(－x）的圖象關(guān)于y軸的對(duì)稱圖象為y＝logax，又y＝logax與y＝ax互為反函數(shù)（圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱），則可直接選B.(2)本題是關(guān)于圖象的平移變換和對(duì)稱變換，可求出解析式或利用幾何圖形直觀推斷．答案：(1）B（2）D探究三指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系的綜合應(yīng)用根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想可較為簡(jiǎn)便地解決有關(guān)方程解的個(gè)數(shù)問題．【典型例題3】設(shè)方程2x＋x－3＝0的根為a,方程log2x＋x－3＝0的根為b，求a＋b的值．思路分析：根據(jù)方程的特點(diǎn),難以從正面下手,可轉(zhuǎn)變方程形式，用數(shù)形結(jié)合的方法求解．解：將方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3。如圖可知，a是指數(shù)函數(shù)y＝2x的圖象與直線y＝－x＋3交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，b是對(duì)數(shù)函數(shù)y＝log2x的圖象與直線y＝－x＋3交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)．由于函數(shù)y＝2x與y＝log2x互為反函數(shù)，所以它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱,由題意可得出A，B兩點(diǎn)也關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，于是A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)為A（a,b)，B（b，a）．則A，B都在直線y＝－x＋3上,∴b＝－a＋3(A點(diǎn)坐標(biāo)代入)，或a＝－b＋3(B點(diǎn)坐標(biāo)代入)，故a＋b＝3.【典型例題4】已知函數(shù)f（x)＝3x,其反函數(shù)f－1（18）＝a＋2，函數(shù)g(x）＝3ax－4x的定義域?yàn)椋?,1］．（1)求函數(shù)g(x）的解析式;(2）求函數(shù)g（x）的值域．思路分析：利用反函數(shù)的性質(zhì)求出a,即可得g(x）的解析式,再利用配方法求g（x)的值域．解：(1）∵f（x)＝3x，∴f－1(x)＝log3x.又∵a＋2＝f－1(18）＝log318＝2＋log32，∴a＝log32，∴g(x）＝3x·log32－4x＝2x－4x.(2）∵g（x）＝2x－4x＝－＋，又0≤x≤1，∴2x∈[1，2］，∴當(dāng)x＝0時(shí)，g(x）max＝0，當(dāng)x＝1時(shí)，g(x)min＝－2，∴函數(shù)g（x)的值域?yàn)椋郏?,0］．點(diǎn)評(píng)通過本題可以看出互為反函數(shù)的函數(shù)關(guān)系是一個(gè)重要的知識(shí)點(diǎn)，利用配方法求函數(shù)的值域是求值域的一種重要方法，有時(shí)需結(jié)合換元法來(lái)進(jìn)行，要注意函數(shù)的定義域?qū)χ涤虻挠绊懀骄克囊族e(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)對(duì)反函數(shù)定義理解不清而致誤【典型例題5】已知函數(shù)y＝f(x＋1)與函數(shù)y＝g(x)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱，且g(x）的圖象過定點(diǎn)（1，2013），則y＝f－1（x＋1）的圖象過定點(diǎn)__________．錯(cuò)解：∵g(x）的圖象過定點(diǎn)(1，2013),∴y＝f（x＋1)的圖象過定點(diǎn)（2013，1)．∴y＝f－1(x＋1)的圖象過定點(diǎn)（1，2013)．錯(cuò)因分析：誤認(rèn)為f(x＋1)與f－1（x＋1)互為反函數(shù)．正解:(0，2014)解析：∵g(x)的圖象過定點(diǎn)(1,2013)，∴f（x＋1)的圖象過定點(diǎn)（2013,1）．又∵f(x）的圖象可以看作由f（x＋1)的圖象向右平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，