4-4保守力與非保守力-勢(shì)能

一力場(chǎng)：1.場(chǎng)力：質(zhì)點(diǎn)所受的僅與質(zhì)點(diǎn)位置有關(guān)的力.2.力場(chǎng)：存在場(chǎng)力的空間.例如：靜電力，彈簧彈性力等.例如：存在均勻電場(chǎng)的空間即為均勻力場(chǎng).3.有心力：

質(zhì)點(diǎn)所受力的作用線總通過某一點(diǎn)，則該力稱為有心力（該點(diǎn)稱為力心）.例如：萬有引力，彈簧彈性力等.4.非場(chǎng)力：洛倫茲力、摩擦力等均不是場(chǎng)力.A

可見，重力作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)。——運(yùn)動(dòng)員下降的高度1.重力作功workdonebygravitymgyx0y1y2二、幾種常見力的功

workdonebycommonforces

重力作功的特點(diǎn)：

（1）與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路徑無關(guān)；（2）沿任意閉合路徑一周重力作功必為零；（3）質(zhì)點(diǎn)上升重力作負(fù)功。

對(duì)m，內(nèi)力做功：

對(duì)M，內(nèi)力做功：內(nèi)力與相對(duì)位移總垂直，故內(nèi)力所做的功總和為零例：如圖半徑為R的1/4凹圓柱面M放在光滑水平面上，小球m從靜止開始沿圓面從頂端無摩擦下落，小球從水平方向飛離大物體時(shí)速度v

，求重力所做的功和內(nèi)力所做的功解：重力只對(duì)小球做功

水平方向無外力，系統(tǒng)保持水平方向動(dòng)量守恒：RMmvV2.萬有引力作功Workdonebyuniversalgravitationm1m2AB可見，萬有引力作功與路徑無關(guān)，只與始末位置有關(guān)。

萬有引力作功的特點(diǎn)：

(1)與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)；

(2)沿任意閉合路徑一周引力作功必為零；

(3)質(zhì)點(diǎn)移近時(shí)（r2<r1）引力作正功。A3.彈力作功Workdonebyelasticforce

Oxx1x2彈力作功只與始末狀態(tài)有關(guān)。

彈性力作功的特點(diǎn)：

(1)與質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑無關(guān)；

(2)沿任意閉合路徑一周彈力作功必為零；

(3)彈性形變減小時(shí)，彈力作正功。4.摩擦力的功Workdonebyfriction為滑動(dòng)摩擦系數(shù)摩擦力作功的特點(diǎn)：

(1)與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑有關(guān)；(2)

沿任意閉合路徑一周，摩擦力作功不為零。

以上幾種力作功的共同特點(diǎn)：作功與路徑無關(guān)，只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)；沿任意閉合路徑一周彈力作功必為零.思考：重力，萬有引力，彈性力作功的共同特點(diǎn)？彈力作功重力作功萬有引力作功三.保守力

ConservativeForce

與保守力相對(duì)的稱為非保守力：作功與路徑有關(guān)的力稱為非保守力（nonconservativeforce）

，或耗散力（dissipativeforce）.

幾種常見的保守力：萬有引力、靜電力、彈性力、重力等。

常見非保守力(耗散力)：摩擦力.

若力所做的功僅僅依賴于受力質(zhì)點(diǎn)的始末位置，與質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路徑無關(guān)，具有這種性質(zhì)的力稱為保守力。（也可稱作有勢(shì)力）.

以上通過討論分析重力、萬有引力、彈簧彈性力以及摩擦力等各種類型力做功的特點(diǎn)，引入保守力與非保守力的概念。

保守力沿任意閉合路徑移動(dòng)一周所作的功必為零。保守力作功又

保守力場(chǎng)：

conservativeforcefield

如果質(zhì)點(diǎn)在某一部分空間內(nèi)的任何位置，都受到一個(gè)大小和方向完全確定的保守力的作用，稱這部分空間中存在著保守力場(chǎng)。四勢(shì)能（PotentialEnergy）

勢(shì)能概念

conceptionofpotentialenergy

質(zhì)點(diǎn)因相對(duì)位置而具有的作功本領(lǐng)稱為勢(shì)能（因有速度而具有的作功本領(lǐng)稱為動(dòng)能），勢(shì)能的引入是以保守力作功為前提的，非保守力作功與路徑有關(guān)，不能引入勢(shì)能的概念。

質(zhì)點(diǎn)系除可能具有動(dòng)能外，還可能具有勢(shì)能，勢(shì)能與一定的保守力對(duì)應(yīng)。

對(duì)于保守力來說，若受力質(zhì)點(diǎn)始末位置一定，則力做的功便唯一確定，與路徑無關(guān)，這樣，就存在一個(gè)由相對(duì)位置決定的函數(shù)，質(zhì)點(diǎn)由初始位置移到末位置時(shí)，這個(gè)函數(shù)的增量與保守力所做的功相聯(lián)系。這個(gè)函數(shù)正是勢(shì)能。

規(guī)定：勢(shì)能的增量等于保守力做功的負(fù)值。

用Ep0和Ep分別表示質(zhì)點(diǎn)在始末位置的勢(shì)能，用A保表示自初始位置到末位置保守力的功，則勢(shì)能的定義式為

上式表明，若保守力做正功,A保>0，則勢(shì)能減少,Ep<Ep0

；若保守力做負(fù)功，A保<0，則勢(shì)能增加，Ep>Ep0。●勢(shì)能的零點(diǎn)

定義式定義的是質(zhì)點(diǎn)在兩個(gè)位置的勢(shì)能增量，至于對(duì)應(yīng)于某一位置的勢(shì)能值究竟是多少，只有對(duì)勢(shì)能零點(diǎn)作出規(guī)定之后才能確定。我們把勢(shì)能等于零的空間點(diǎn)叫做勢(shì)能零點(diǎn)，它通常是人為選定的。

勢(shì)能的定義式為選參考點(diǎn)（勢(shì)能零點(diǎn)），設(shè)則

某點(diǎn)勢(shì)能的求法.系統(tǒng)某一位置的勢(shì)能=

系統(tǒng)從該位置移到勢(shì)能為0位置的過程中，保守力作的功。

勢(shì)能函數(shù)Ep只與質(zhì)點(diǎn)的位置有關(guān)，稱為質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能或位能。（1）重力作功、重力勢(shì)能引入函數(shù)：稱為重力勢(shì)能于是，重力作功可寫為：即重力勢(shì)能增量的負(fù)値（2）萬有引力作功萬有引力勢(shì)能稱為萬有引力勢(shì)能于是，有：即萬有引力勢(shì)能增量的負(fù)値:沿位置矢量的單位矢量

通常選擇兩吸引物體相距無窮遠(yuǎn)時(shí)為萬有引力勢(shì)能零點(diǎn)，則（3）彈性力做功、彈性勢(shì)能x自然長度彈簧XF0彈性力于是有：即彈性勢(shì)能增量的負(fù)値結(jié)論：保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值

通常選擇彈簧自由伸長狀態(tài)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則5.

勢(shì)能是系統(tǒng)內(nèi)各物體位置坐標(biāo)的單值函數(shù)；2.

對(duì)于非保守力不能引入勢(shì)能的概念；1.勢(shì)能屬于以保守力相互作用的系統(tǒng)所有；說明

4.

B點(diǎn)的勢(shì)能在數(shù)值上等于將物體從該點(diǎn)移到勢(shì)能零點(diǎn)處保守內(nèi)力所做的功3.

引入勢(shì)能的一個(gè)重要目的是為了簡(jiǎn)化保守力功的計(jì)算；（3）任意兩點(diǎn)的勢(shì)能差

EP與零勢(shì)的選擇無關(guān)，是確定值。（1）勢(shì)能EP值大小與參照系的選擇無關(guān)；但與勢(shì)能零點(diǎn)的選擇有關(guān)；（2）勢(shì)能零點(diǎn)可任選，但一個(gè)問題中只可有一個(gè)；（通常以物體在地面為勢(shì)能零點(diǎn)）（取彈簧原長處為勢(shì)能的零點(diǎn)）（取兩質(zhì)點(diǎn)相距無窮遠(yuǎn)為引力勢(shì)能的零點(diǎn)）

力學(xué)中常見的勢(shì)能（1）重力勢(shì)能Gravitationalpotentialenergy

：（2）彈簧系統(tǒng)的彈性勢(shì)能

elasticpotentialenergy

：（3）萬有引力勢(shì)能universalgravitation

potentialenergy

：[例題]

已知地球?qū)σ粋€(gè)質(zhì)量為的質(zhì)點(diǎn)的引力，若選定（地面）處為勢(shì)能零點(diǎn)位置（和表示地球的質(zhì)量和半徑）。（1）求勢(shì)能函數(shù)；（2）若質(zhì)點(diǎn)處于地面附近上空，求勢(shì)能函數(shù)的近似式。[解]（1）（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)距離地面高度為，則，且有，故地面附近的勢(shì)能即引力勢(shì)能在地面附近可用重力勢(shì)能來替代。例、倔強(qiáng)系數(shù)為K的彈簧，上端固定，下端懸掛重物。當(dāng)彈簧伸長x0時(shí)，重物在O處達(dá)到平衡?，F(xiàn)取重物在O處時(shí)各種勢(shì)能均為零，則當(dāng)

m偏離O點(diǎn)x時(shí)，系統(tǒng)的重力勢(shì)能為多少？系統(tǒng)的彈性勢(shì)能為多少？系統(tǒng)的總勢(shì)能為多少？彈性勢(shì)能為：（以o點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn),以向下為x正向）x（以o點(diǎn)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)）P故若取受力平衡點(diǎn)為重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能零點(diǎn)，則總勢(shì)能為：（x是到力平衡點(diǎn)的距離

）對(duì)功的概念有以下說法：(1)保守力做正功時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)相應(yīng)的勢(shì)能增加；(2)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)經(jīng)一閉合路徑，保守力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做的功為零；(3)作用力和反作用力大小相等、方向相反，所以兩者所做的功的代數(shù)和為零.上述說法中：(A)(1)(2)是正確的.

(B)(2)(3)是正確的.

(C)只有(2)是正確的.

(D)只有(3)是正確的.例：答案：C質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為m,距地心為r，若選r=3R(R

為地球半徑)處為勢(shì)能零點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)位于r=2R處時(shí)，它與地球(質(zhì)量為M)所組成的系統(tǒng)的勢(shì)能為

.

解:例：勢(shì)能差是否依賴于勢(shì)能零點(diǎn)的選擇？[思考]

勢(shì)能曲線

potentialenergycurves

勢(shì)能是質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位置的函數(shù)，把勢(shì)能和相對(duì)位置的關(guān)系繪成曲線，便得到勢(shì)能曲線。彈力勢(shì)能重力勢(shì)能萬有引力勢(shì)能00h0r

勢(shì)能曲線

potentialenergycurves

通過勢(shì)能曲線，可以顯示出系統(tǒng)總能量、動(dòng)能和勢(shì)能間的關(guān)系，由，可以根據(jù)曲線的形狀討論物體的運(yùn)動(dòng)；設(shè)：質(zhì)點(diǎn)m

受保守力F運(yùn)動(dòng)保守力作的元功：由于l為任意選定的方向即：勢(shì)能沿任意方向變化率的負(fù)值等于保守力沿該方向的分量（1）由勢(shì)能函數(shù)求保守力

由勢(shì)能求保守力conservativeforcefrompotentialenergy

數(shù)學(xué)上：標(biāo)量的梯度矢量若E為保守力場(chǎng)中的勢(shì)能即：勢(shì)能沿空間任意方向的變化率的負(fù)值等于與該勢(shì)能相對(duì)應(yīng)的保守力沿該方向的分量；保守力等于勢(shì)能函數(shù)梯度的負(fù)值。得例如：由彈性勢(shì)能則萬有引力為：再如：萬有引力勢(shì)能函數(shù)為：（2）由勢(shì)能曲線求保守力

一維勢(shì)能曲線上某點(diǎn)斜率的負(fù)值，就是該點(diǎn)對(duì)應(yīng)位置處質(zhì)點(diǎn)所