滬教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)壓軸題攻略專題13直角三角形中30°性質(zhì)應(yīng)用的4種壓軸題型全攻略(原卷版+解析)

專題13直角三角形中30性質(zhì)應(yīng)用的4種壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一用30的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度的計(jì)算】 1【考點(diǎn)二用30的性質(zhì)求等邊三角形的計(jì)算】 2【考點(diǎn)三用30的性質(zhì)求圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)計(jì)算】 2【考點(diǎn)四30的性質(zhì)應(yīng)用的拓展提高】 3【過關(guān)檢測(cè)】 4【典型例題】【考點(diǎn)一用30的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度的計(jì)算】【例題1】如圖，，，則（）

A．2 B．1.5 C． D．1【變式1】如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（）A．10 B．12 C．14 D．16【變式2】如圖，在中，，，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．15 B．20 C．9 D．12【變式3】如圖，它是房架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁的中點(diǎn)，立柱、垂直于橫梁，，，則是（）米．

A．2 B．4 C．8 D．【考點(diǎn)二用30的性質(zhì)求等邊三角形的計(jì)算】【例題2】如圖：是等邊三角形，，，相交于點(diǎn)P，于Q，，，則的長(zhǎng)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【變式1】已知如圖四邊形，連接，是等邊三角形，，，則的面積為（

）

A． B． C． D．【變式2】如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【變式3】已知，如圖，是等邊三角形，，于Q，交于點(diǎn)P，下列說法：①，②，③，④，其正確的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)

A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)三用30的性質(zhì)求圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)計(jì)算】【例題3】如圖，中，，，，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得點(diǎn)恰好落在上，與交于點(diǎn)D，則的面積為（

）

A． B． C．5 D．【變式1】如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，連接，則線段的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．1 C．2 D．【變式2】如圖，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊上，連接，將沿折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在邊上，若，，則的長(zhǎng)是（）

A．10 B．12 C．13 D．14【變式3】如圖，長(zhǎng)方形沿著折疊，使D點(diǎn)落在邊上的F點(diǎn)處．如果，，則長(zhǎng)方形的面積是（

）

A．12 B．16 C．18 D．20【考點(diǎn)四30的性質(zhì)應(yīng)用的拓展提高】【例題4】如圖1是深圳地鐵站入口的雙翼閘機(jī)．如圖2，它的雙翼展開時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角．當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為（

）

A． B． C． D．【變式1】如圖，在中，已知，，點(diǎn)在邊上，，把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）度后，如果點(diǎn)恰好落在初始的邊上，那么________

【變式2】如圖，在等腰中，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，與關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為．當(dāng)

且時(shí)，若，則的面積為_________．【變式3】如圖，，點(diǎn)、、、在射線上，點(diǎn)、、在射線上，、、均為等邊三角形，依此類推，若，則的邊長(zhǎng)為（

）．

A． B． C． D．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．如圖，已知平分，于點(diǎn)E，，，，則（

）

A．1 B．2 C．3 D．42．如圖所示，長(zhǎng)方形沿著折疊，使D點(diǎn)落在邊上的F點(diǎn)處．如果，則長(zhǎng)方形的面積是（

）

A．8 B．6 C．4 D．103．如圖，在中，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在邊上，且，若，則的長(zhǎng)等于(

)

A．1 B． C．2 D．二、填空題4．如圖，是等邊三角形，平分，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且，，則______．

5．如圖，中，，，點(diǎn)M，N在底邊上，若，，那么線段與之間的數(shù)量關(guān)系為________．6．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．若，則_________．

7．如圖，在中，分別過B，C作中線所在的直線的垂線，垂足分別為F，D，若，，則________．8．如圖，中，，，是線段上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，連接，若，，，則線段長(zhǎng)為_________．

9．如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在、的延長(zhǎng)線上，且，連．若，則的長(zhǎng)是________．10．如圖，中，在邊上取一點(diǎn)，連接，使，在邊上取一點(diǎn)，使，若，，，_________．

11．如圖，在中，，，，點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，在線段的右側(cè)作等邊，連接，線段的最小值是_________．

12．如圖，在等邊中，、兩點(diǎn)分別在邊、上，，連接、，并延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，，若，時(shí)，則的長(zhǎng)為__________.

13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，連接DE，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'.若點(diǎn)B'剛好落在邊AC上，∠CB'E=30°，CE=3，則BC的長(zhǎng)為________.14．如圖，在等邊中，，點(diǎn)E為高上的一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針就轉(zhuǎn)得到線段，連接，則的最小值為_________．

三、解答題15．如圖，在中，，D是中點(diǎn)，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且．(1)用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求的長(zhǎng)．16．如圖，在等邊中，點(diǎn)D為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)D為中心，把線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，連接，，線段與交于點(diǎn)O，求的度數(shù)．17．如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在等邊的三條邊上，且，．

(1)若，試判斷的形狀，并說明理由；(2)若是直角三角形，求的長(zhǎng)；(3)如圖2，若點(diǎn)D是邊中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，直接寫出此時(shí)的度數(shù)．18．如圖，在中，，，是邊上的中線，的垂直平分線交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，．(1)求證：；(2)判斷的形狀，并加以證明；(3)若，求邊的長(zhǎng)．

專題13直角三角形中30性質(zhì)應(yīng)用的4種壓軸題型全攻略【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一用30的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度的計(jì)算】 1【考點(diǎn)二用30的性質(zhì)求等邊三角形的計(jì)算】 2【考點(diǎn)三用30的性質(zhì)求圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)計(jì)算】 2【考點(diǎn)四30的性質(zhì)應(yīng)用的拓展提高】 3【過關(guān)檢測(cè)】 4【典型例題】【考點(diǎn)一用30的性質(zhì)求線段的長(zhǎng)度的計(jì)算】【例題1】如圖，，，則（）

A．2 B．1.5 C． D．1【答案】A【分析】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．作于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)解答．【詳解】解：如圖，作于，

，，，，，，，，，，，故選：A．【變式1】如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為（）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【分析】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即“直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”，據(jù)此解答即可．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∵，∴，∴，∴，∴．故選：B．【變式2】如圖，在中，，，，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為（

）A．15 B．20 C．9 D．12【答案】A【分析】本題考查了直角三角形兩個(gè)銳角互余，含角的直角三角形特征，熟練掌握直角三角形特征是解題關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，，，，，即，，．故選：A．【變式3】如圖，它是房架設(shè)計(jì)圖的一部分，點(diǎn)D是斜梁的中點(diǎn)，立柱、垂直于橫梁，，，則是（）米．

A．2 B．4 C．8 D．【答案】A【分析】根據(jù)，點(diǎn)D是斜梁的中點(diǎn)，那么，結(jié)合，即可知道的值．【詳解】解：∵，點(diǎn)D是斜梁的中點(diǎn)，∴，∵，∴在，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，在直角三角形中，所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二用30的性質(zhì)求等邊三角形的計(jì)算】【例題2】如圖：是等邊三角形，，，相交于點(diǎn)P，于Q，，，則的長(zhǎng)是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】先利用等邊三角形的性質(zhì)證，得，，則，再求出，則，然后由含角的直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．【變式1】已知如圖四邊形，連接，是等邊三角形，，，則的面積為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖所示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與重合，得，連接，過點(diǎn)作與點(diǎn)，過點(diǎn)作與點(diǎn)，可證，是等邊三角形，可求出的值，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖所示，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與重合，得，連接，過點(diǎn)作與點(diǎn)，過點(diǎn)作與點(diǎn)，

∵是等邊三角形，∴，根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得，，則，，，∵旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)至，，∴，∴，在圖形中，，，∴圖形是等邊三角形，即點(diǎn)三點(diǎn)共線，∴在等邊中，，∴，在中，，則，∴，∵，，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，是等邊三角形，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，且，若，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，的條件，可得的是含角的直角三角形，由此可求出的長(zhǎng)，根據(jù)即可求解．【詳解】解：∵是等邊三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，∴，，平分，∴，∵，∴，∵，且是的外角，∴，∴，∴，在中，，且，∴，即，∴中，，在中，，，∴，在中，，∴，∴，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)的綜合，掌握以上知識(shí)，圖形結(jié)合分析是解題的關(guān)鍵．【變式3】已知，如圖，是等邊三角形，，于Q，交于點(diǎn)P，下列說法：①，②，③，④，其正確的個(gè)數(shù)有（

）個(gè)

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，，再利用“邊角邊”證明，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)與三角形的外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)逐一分析判斷即可．【詳解】證明：∵是等邊三角形，∴，，

在和中，，∴，∴，∴，∴，故①正確∵，∴，∴．故③正確，∵．，∴，∴，故④正確，若，則，，與題干條件不符，∴無(wú)法判斷，故②錯(cuò)誤，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．【考點(diǎn)三用30的性質(zhì)求圖形運(yùn)動(dòng)相關(guān)計(jì)算】【例題3】如圖，中，，，，，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使得點(diǎn)恰好落在上，與交于點(diǎn)D，則的面積為（

）

A． B． C．5 D．【答案】A【分析】由已知結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，可證得是等邊三角形，可得，，進(jìn)而可知，由等腰三角形的性質(zhì)和含30度的直角三角形的性質(zhì)可知，，進(jìn)而利用面積公式即可求解．【詳解】解：在中，，，，∴，，由旋轉(zhuǎn)可知，，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∵，∴，則，∴，，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形30度角的性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．【變式1】如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，連接，則線段的長(zhǎng)為（

）

A．3 B．1 C．2 D．【答案】C【分析】由，，，可得，，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得是等邊三角形，即可求解．【詳解】解：∵，，，∴，，∵將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∴是等邊三角形，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定與性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在中，，，點(diǎn)D、E分別在邊上，連接，將沿折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)剛好落在邊上，若，，則的長(zhǎng)是（）

A．10 B．12 C．13 D．14【答案】B【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)以及含角的直角三角形的性質(zhì)得出即可求解．【詳解】解：∵將沿折疊，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，若點(diǎn)剛好落在邊上，在中，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握以上性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式3】如圖，長(zhǎng)方形沿著折疊，使D點(diǎn)落在邊上的F點(diǎn)處．如果，，則長(zhǎng)方形的面積是（

）

A．12 B．16 C．18 D．20【答案】C【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再由折疊的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：在長(zhǎng)方形中，，∵，，∴，∴，∵長(zhǎng)方形沿著折疊，使D點(diǎn)落在邊上的F點(diǎn)處，∴，∴長(zhǎng)方形的面積是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四30的性質(zhì)應(yīng)用的拓展提高】【例題4】如圖1是深圳地鐵站入口的雙翼閘機(jī)．如圖2，它的雙翼展開時(shí)，雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為，雙翼的邊緣，且與閘機(jī)側(cè)立面夾角．當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作，在中，可求得，同理可求得，即可求解．【詳解】解：過點(diǎn)A作，過點(diǎn)B作，如圖，

則中，，同理可得：，∵雙翼邊緣的端點(diǎn)A與B之間的距離為，∴當(dāng)雙翼收起時(shí)，可以通過閘機(jī)的物體的最大寬度為，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線是關(guān)鍵．【變式1】如圖，在中，已知，，點(diǎn)在邊上，，把繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）度后，如果點(diǎn)恰好落在初始的邊上，那么________

【答案】或【分析】根據(jù)題意，分類討論，①當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，得，②當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，得；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：在中，已知，，∴,如圖所述，

①當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，得，∴，∴，即是等腰三角形，∴在中，；②當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，得，在中，，，∴，∴；綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，在等腰中，，點(diǎn)M，N分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)，與關(guān)于直線對(duì)稱，點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)為．當(dāng)

且時(shí)，若，則的面積為_________．【答案】/0.5【分析】作于D點(diǎn)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由此得．再證是等邊三角形，則可得，進(jìn)而得，由此得．根據(jù)三角形的面積公式，再結(jié)合即可求出的面積．【詳解】如圖，作于D點(diǎn)，∵與關(guān)于直線對(duì)稱，．又，．中，，，．又，是等邊三角形，，，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，以及“直角三角形中的角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”，綜合性強(qiáng)．正確的作出輔助線且能證明是等邊三角形是解題的根據(jù)．【變式3】如圖，，點(diǎn)、、、在射線上，點(diǎn)、、在射線上，、、均為等邊三角形，依此類推，若，則的邊長(zhǎng)為（

）．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)和，求得，同理可得，再結(jié)合含的直角三角形可求得的邊長(zhǎng)為，即可得到答案．【詳解】解：為等邊三角形，，，，，同理可求得：，在中，，，，，即的邊長(zhǎng)為，的邊長(zhǎng)為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形變化類，等邊三角形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)條件找到等邊三角形的邊長(zhǎng)和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．如圖，已知平分，于點(diǎn)E，，，，則（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及直角三角形的特征，過點(diǎn)C作于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)直角三角形的特征可得，進(jìn)而可求解，熟練掌握角平分線的性質(zhì)及含角的直角三角形的特性是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)C作于F，如圖：

平分，，，，，，，，，，故選A．2．如圖所示，長(zhǎng)方形沿著折疊，使D點(diǎn)落在邊上的F點(diǎn)處．如果，則長(zhǎng)方形的面積是（

）

A．8 B．6 C．4 D．10【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再由折疊的性質(zhì)可得，即可求解．【詳解】解：在長(zhǎng)方形中，，∵，∴，∵長(zhǎng)方形沿著折疊，使D點(diǎn)落在邊上的F點(diǎn)處，∴，∴長(zhǎng)方形的面積是．故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在中，，，，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在邊上，且，若，則的長(zhǎng)等于(

)

A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】如圖所示過點(diǎn)作，根據(jù)所對(duì)邊為斜邊一半可計(jì)算長(zhǎng)度，進(jìn)而可計(jì)算的長(zhǎng)度．【詳解】解：如圖所示過點(diǎn)作于，在中，

，，，，，，，，，于，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形所對(duì)的邊等于斜邊的一半，等腰三角形的性質(zhì)，在圖中構(gòu)造合適的輔助線的解題的關(guān)鍵．二、填空題4．如圖，是等邊三角形，平分，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且，，則．

【答案】3【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，先利用三線合一定理得到，則可證明，再證明是等腰三角形即可解決問題．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，∵平分，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案為：3．5．如圖，中，，，點(diǎn)M，N在底邊上，若，，那么線段與之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】【分析】本題考查了三角形全等的性質(zhì)、含角的直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，先根據(jù)已知條件求出各個(gè)角度，然后構(gòu)造全等三角形，找到邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，其中構(gòu)造出全等三角形是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，如圖，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，，∴，，∴，，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∴，故答案為：．6．如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D是邊上任意一點(diǎn)，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F．若，則．

【答案】4【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)．設(shè)，則，利用等邊三角形的性質(zhì)以及含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：設(shè)，則，∵是等邊三角形，∴，∴，∴，，∴．故答案為：4．7．如圖，在中，分別過B，C作中線所在的直線的垂線，垂足分別為F，D，若，，則．【答案】6【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、中線的性質(zhì)及直角三角形的特征，根據(jù)直角三角形的特征得，利用證得得，進(jìn)而可得，進(jìn)而可求解，熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，，，，，，，，是的中線，，在和中，，，，，故答案為：6．8．如圖，中，，，是線段上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，連接，若，，，則線段長(zhǎng)為．

【答案】3【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、全等三角形的判定與性質(zhì)，作于，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得出，推出，，，從而得到，，證明，得到，最后由，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案，熟練掌握三角形全等的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作于，

，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：3．9．如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在、的延長(zhǎng)線上，且，連．若，則的長(zhǎng)是．【答案】2【分析】連接，求出，證明，求出，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)推出即可．【詳解】解：如圖，連接，∵，D為的中點(diǎn)，∴，平分，∴，∴，∵，D為的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴都減去得：，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，等腰直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．10．如圖，中，在邊上取一點(diǎn)，連接，使，在邊上取一點(diǎn)，使，若，，，．

【答案】【分析】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的中線，中位線，過作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，根據(jù)所對(duì)直角邊是斜邊的一半，求出，由可知，由，得到，再根據(jù)中位線定理即可求出，最后由線段和差即可，熟練掌握以上知識(shí)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，

∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，由，，則，∴，∴，故答案為：．11．如圖，在中，，，，點(diǎn)D是邊上的動(dòng)點(diǎn)，在線段的右側(cè)作等邊，連接，線段的最小值是．

【答案】3【分析】取的中點(diǎn)E，連接，如圖，先計(jì)算出，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，得到，然后證明，得到，根據(jù)垂線段最短，可判斷時(shí)，最短，此時(shí)，從而得到線段的最小值．【詳解】解：取的中點(diǎn)E，連接，

∵∴，∵，，∴，，∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵時(shí)，最短，∵，，∴此時(shí)．∴線段的最小值是3．故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，含角直角三角形的性質(zhì)和垂線段最短，解題的關(guān)鍵是正確做出輔助線，通過全等三角形的性質(zhì)得到．全等三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．全等三角形的判定：，，，，．直角三角形中角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半．12．如圖，在等邊中，、兩點(diǎn)分別在邊、上，，連接、，并延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，，若，時(shí)，則的長(zhǎng)為.

【答案】11【分析】由題意易證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，作，交的延長(zhǎng)線于，．證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，，由直角三角形的性質(zhì)可得出答案．【詳解】解：是等邊三角形，，，在和中，，∴，，．作，交的延長(zhǎng)線于，．

，在和中，，∴，，，在中，，，，，，，在中，，，．故答案為：11．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，注意結(jié)合圖形，作出適當(dāng)?shù)妮o助線解決問題．13．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，BC上，連接DE，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B'.若點(diǎn)B'剛好落在邊AC上，∠CB'E=30°，CE=3，則BC的長(zhǎng)為.【答案】9【詳解】在Rt△ABC中，∠C=90°，BC<AC，∠CB'E=30°，CE=3，∴B'E=2CE=6，∴BE=B'E=6，∴BC=CE+BE=3+6=9.14．如圖，在等邊中，，點(diǎn)E為高上的一動(dòng)點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)B順時(shí)針就轉(zhuǎn)得到線段，連接，則的最小值為．

【答案】3【分析】先利用等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)分別得到、、，則可證明，并由此得到，，又因?yàn)槭歉呱系囊粋€(gè)動(dòng)點(diǎn)，可推得點(diǎn)在過點(diǎn)且與成的直線上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，有最小值，結(jié)合含有的直角三角形的性質(zhì)即可得到．【詳解】

如圖，連接，是等邊三角形，且，，，平分且是中點(diǎn)，，，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，則，即，在和中，，，，點(diǎn)在過點(diǎn)且與成的直線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，有最小值，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、垂線段最短及含有的直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是通過證明得到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑，再利用垂線段最短求解．三、解答題15．如圖，在中，，D是中點(diǎn)，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且．(1)用等式表示線段與的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)求的長(zhǎng)．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】（1）過D作于G，于H，利用等邊三角形的性質(zhì)得出，進(jìn)而利用證明與全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（2），得到，進(jìn)而推出，根據(jù)等邊三角形和含角的直角三角形的性質(zhì)，求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出的長(zhǎng)，即可．【詳解】（1）解：，理由如下：過D作于G，于H，∵，D是中點(diǎn)，，∴是等邊三角形，，∴，在與中，，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，∴，∵是等邊三角形，，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角新的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，構(gòu)造特殊三角形和全等三角形．16．如圖，在等邊中，點(diǎn)D為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)D為中心，把線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，過點(diǎn)F作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接．(1)依題意補(bǔ)全圖形；(2)用等式表示線段，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，連接，，線段與交于點(diǎn)O，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)相等，見解析(3)60度【分析】（1）按題目要求補(bǔ)圖即可；（2）連接，證明是等邊三角形，并結(jié)合等邊可得出，，，然后證明即可少外出結(jié)論；（3）利用全等三角形的性質(zhì)和角的和差可證，利用含的直角三角形的性質(zhì)以及線段中點(diǎn)的定義可得，然后證明，得出，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，依題意補(bǔ)全圖形；（2）解：線段