江蘇省2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期大聯(lián)考試題+數(shù)學(xué) 含答案

2023屆高三年級(jí)大聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C.或 D.或2.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，已知，則（）A.7 B.5 C.3 D.3.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.某人在湖面之上5米處測(cè)得空中一氣球的仰角為，而湖中氣球倒影的俯角為，若不考慮水的折射，則氣球離水面的高度（單位：米）為（）A. B. C. D.5.函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C D.6.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.07.已知，，，則（）A. B. C. D.8.設(shè)函數(shù)，的最小值為，則的最大值為（）A. B.0 C.1 D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，則（）A B. C. D.10.已知函數(shù)的最大值為2，且，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，得到的圖象11.已知，，，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為12.19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（，1805-1859）引入現(xiàn)代函數(shù)，他還給出了一個(gè)定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，則（）A.B.C.若有理數(shù)，，則D.存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為正三角形三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點(diǎn)（，2）處的切線方程是________．14若，則_______．15.在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．若，，則的取值范圍為_(kāi)____________；的最大值為_(kāi)_________．16.已知函數(shù)，，用max{m，n}表示m，n中的最大值，設(shè)．若在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____四、解答題；本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)函數(shù)．（1）若，求在上的零點(diǎn)；（2）求函數(shù)的最大值．18.已知函數(shù)．（1）證明有且僅有兩條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線相切；（2）記（1）中兩條切線為，，設(shè)，與曲線異于原點(diǎn)的公共點(diǎn)分別為．若，求的值．19.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，點(diǎn)在邊上，．（1）若，求；（2）若，求．20.在中，，點(diǎn)，分別在，邊上．（1）若，，求面積的最大值；（2）設(shè)四邊形的外接圓半徑為，若，且的最大值為，求的值．21.已知，函數(shù)．（1）證明存唯一極大值點(diǎn)；（2）若存在，使得對(duì)任意成立，求的取值范圍．22.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．

2023屆高三年級(jí)大聯(lián)考數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，22小題，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)全集，集合，，則（）A. B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】先求出，再求其補(bǔ)集.【詳解】，，，或.故選：D.2.設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，已知，則（）A.7 B.5 C.3 D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由，得，則，所以.故選：B.3.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】分析：由題意首先求解三角不等式，然后結(jié)合題意確定“”與“”的充分性和必要性即可.詳解：求解絕對(duì)值不等式可得，若，則，當(dāng)時(shí)，，據(jù)此可得：“”是“”的充分而不必要條件.故選：A4.某人在湖面之上5米處測(cè)得空中一氣球仰角為，而湖中氣球倒影的俯角為，若不考慮水的折射，則氣球離水面的高度（單位：米）為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合題意作出示意圖，利用直角三角形中正切函數(shù)的定義得到關(guān)于氣球離水面的高度的方程，解之即可.【詳解】結(jié)合題意作出示意圖，易知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于湖面對(duì)稱，則，，故，在中，，即，在中，，，故，即，故，所以氣球離水面的高度為.故選：C..5.函數(shù)的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，求得函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)定義域?yàn)?，且，所以函?shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，排除B.又當(dāng)時(shí)，，所以，故排除CD.故選：A6.把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的最小值為（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平移變換及正弦函數(shù)的對(duì)稱性求出，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合整體思想即可得解.【詳解】解：函數(shù)圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位，得到函數(shù)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，又，所以，則，因?yàn)?，所以，故，所?故選：A.7.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，由易得；構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性求得的單調(diào)性，從而證得；由此可得.【詳解】令，所以時(shí)，，因?yàn)?，即，所以，故，即，令，則，顯然在單調(diào)遞增，令，得，故在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，故，則，故在上單調(diào)遞增，則，即，即，故，綜上：.故選：A.8.設(shè)函數(shù)，的最小值為，則的最大值為（）A. B.0 C.1 D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)分類討論求出，再分類討論求出的最大值.【詳解】設(shè)，不妨設(shè)，所以，所以，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以.所以.當(dāng)時(shí)，，所以，所以所以在單調(diào)遞減，所以，所以在單調(diào)遞增，所以.所以的最大值為1.當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，沒(méi)有最大值，所以的最大值為1.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵有兩個(gè)，其一是分類討論求出，其二是分類討論求出的最大值.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9已知，，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性逐一分析判斷即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，又，所以，故A正確；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；由，得，所以，故C正確；由，，得，則，所以，故D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的最大值為2，且，則（）A.B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D.將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，得到的圖象【答案】AC【解析】【分析】利用輔助角公式結(jié)合已知求出，即可判斷A，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性代入檢驗(yàn)即可判斷BC，根據(jù)周期變換的原則即可判斷D.【詳解】解：，（其中），因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為2，所以，解得（舍去），故A正確；則，因?yàn)椋缘膱D象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，故C正確；將的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，得到函數(shù)，而，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知，，，則（）A.的最大值為 B.的最小值為C.的最小值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式及其變形可分析AC選項(xiàng)，由二次函數(shù)求最值可判斷B，可用三角換元來(lái)分析D選項(xiàng)【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，由基本不等式得，整理得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，的最大值為，所以A錯(cuò)誤.對(duì)于B選項(xiàng)，，得，，當(dāng)時(shí)，的最小值為，所以B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)的最小值為，所以C正確.對(duì)于D選項(xiàng)，令，，由，，可知，，得，，由題意得，設(shè)，，，，，，所以D錯(cuò)誤.故選：BC12.19世紀(jì)，德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（，1805-1859）引入現(xiàn)代函數(shù)，他還給出了一個(gè)定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)稱為狄利克雷函數(shù)，則（）A.B.C.若有理數(shù)，，則D.存在三個(gè)點(diǎn)，，，使得為正三角形【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)狄利克雷函數(shù)的定義結(jié)合分段函數(shù)的性質(zhì)，分別討論為有理數(shù)和無(wú)理數(shù)，依次判斷各個(gè)選項(xiàng)，即可得解.【詳解】對(duì)于A，是無(wú)理數(shù)，若為有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)，則；若為無(wú)理數(shù)，有可能為有理數(shù)，如，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)為有理數(shù)，為有理數(shù)，則；當(dāng)為無(wú)理數(shù)，為無(wú)理數(shù)，則，故B正確；對(duì)于C，為有理數(shù)，若為有理數(shù)，則是有理數(shù)，則；若為無(wú)理數(shù)，是無(wú)理數(shù)，則，故C正確；對(duì)于D，存在三個(gè)點(diǎn)且為有理數(shù)，則，，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，故D正確；故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.曲線在點(diǎn)（，2）處的切線方程是________．【答案】【解析】【分析】求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程的斜率，進(jìn)而求出切線方程.【詳解】，所以，故在點(diǎn)（，2）處的切線方程為，即.故答案為：14.若，則_______．【答案】【解析】【分析】利用切化弦、二倍角公式可推導(dǎo)得到，由此可化簡(jiǎn)所求式子為，利用二倍角正切公式可求得結(jié)果.【詳解】，，，原式.故答案為：.15.在銳角中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．若，，則的取值范圍為_(kāi)____________；的最大值為_(kāi)_________．【答案】①.②.##【解析】【分析】利用正弦定理可得，結(jié)合三角恒等變換知識(shí)及的范圍可化簡(jiǎn)得到，由的范圍可求得的范圍，進(jìn)而得到的范圍；利用兩角和差正弦公式、二倍角和輔助角公式可化簡(jiǎn)得到，根據(jù)正弦型函數(shù)最值的求法可求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得：；，為銳角三角形，，，，，，，，即的取值范圍為；；，，，當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：；.16.已知函數(shù)，，用max{m，n}表示m，n中的最大值，設(shè)．若在上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)____【答案】【解析】【分析】分別討論當(dāng)時(shí)，與的關(guān)系，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離和構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得最大值，可得所求范圍．【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在必成立，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在恒成立，由恒成立，可得在恒成立，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故a的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立的問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道有一定難度的壓軸填空題.四、解答題；本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)函數(shù)．（1）若，求在上的零點(diǎn)；（2）求函數(shù)的最大值．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，【解析】【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)，再解關(guān)于的一元二次方程即可；（2）利用誘導(dǎo)公式及二倍角的余弦公式化簡(jiǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論，從而可得出答案.【小問(wèn)1詳解】解：若，，令，解得（舍去），又因，所以，所以在上零點(diǎn)為；【小問(wèn)2詳解】解：令，則，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為，若，則在上遞減，所以，若，即時(shí)，，若，即時(shí)，，綜上所述，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.18.已知函數(shù)．（1）證明有且僅有兩條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線相切；（2）記（1）中兩條切線為，，設(shè)，與曲線異于原點(diǎn)的公共點(diǎn)分別為．若，求的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出切點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出有兩個(gè)不同的切點(diǎn)即可證明；（2）先求出兩條切線的方程，聯(lián)立曲線方程，求出交點(diǎn)，結(jié)合向量夾角公式可求答案.【小問(wèn)1詳解】證明：，設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，則，整理得，即或；所以有且僅有兩條經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與曲線相切.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，，由（1）知切點(diǎn)為，；兩條切線方程分別為：，即；聯(lián)立方程，得和（舍），可得；同理可求，，，，所以.19.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，，點(diǎn)在邊上，．（1）若，求；（2）若，求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中和在中，分別利用正弦定理求出，再結(jié)合已知即可得解；（2）在中，利用余弦定理求出，在中，再次利用余弦定理即可得解.【小問(wèn)1詳解】解：在中，由，得，在中，由，得，則，因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，所以；【小?wèn)2詳解】解：在中，，，即，解得（舍去），在中，，則，所以，即.20.在中，，點(diǎn)，分別在，邊上．（1）若，，求面積的最大值；（2）設(shè)四邊形的外接圓半徑為，若，且的最大值為，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理及基本不等式求得的最大值為1，再利用面積公式即可求解；（2）由四邊形存在外接圓，知四邊形為等腰梯形，連接，設(shè)，，利用正弦定理，表示，進(jìn)而利用基本不等式求解.【小問(wèn)1詳解】由已知，在中，利用余弦定理知，結(jié)合基本不等式有，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即的最大值為1，所以面積的最大值為【小問(wèn)2詳解】四邊形存在外接圓，又，，，，所以四邊形為等腰梯形，連接，設(shè)，，在中，由正弦定理得，，，同理，在中，由正弦定理得，，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，即21.已知，函數(shù)．（1）證明存在唯一極大值點(diǎn)；（2）若存在，使得對(duì)任意成立，求的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，再對(duì)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，然后結(jié)合零點(diǎn)存在性定理進(jìn)而可知有唯一零點(diǎn)，結(jié)合極值點(diǎn)定義可證得結(jié)論；（2）題目轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求其最值，即可得解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，求導(dǎo)，令，則又，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故存在，使得當(dāng)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以存在唯一極大值點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】由題知，存在，使得對(duì)任