2024年上海數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí) 銳角的三角比全章復(fù)習(xí)與測(cè)試含詳解

第25章銳角的三角比全章復(fù)習(xí)與測(cè)試

【知識(shí)梳理】

1.銳角的三角比定義：一個(gè)銳角的正切、余切、正弦、余弦統(tǒng)稱為這個(gè)銳角的三角比.

正切：把直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫這個(gè)銳角的正切.即tanA=幺當(dāng)坐■；

NA的鄰邊

余切：把直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫這個(gè)銳角的余切.即cotA=幺磐%:

NA的對(duì)邊

正弦：把直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫這個(gè)銳角的正弦.即sinA=4^5^

斜邊

/A的鄰邊

余弦：把直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比叫這個(gè)銳角的余弦.即cosA=

斜邊

2.性質(zhì)

①當(dāng)銳角增大時(shí)，這個(gè)銳角的正切與王弦值都增大，這個(gè)銳角的余切與余弦值都減小;

②若ZA+ZB=90°,則tanA=cotB;sinA=cosB；

③tanAcotA=l.

3.特殊角的三角比

a=30ca=60°a=45°

tana?不1

cota百1

T

sina\_72

2~22

cosa石\_V2

222

已知銳角，求三角比；

4.銳角的三角比

已知銳角的三角比，求銳角.

5.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的過(guò)程.

6.直角三角形的邊角關(guān)系（AABC中，ZC=90°）

①三邊關(guān)系：/+/=（?；

〈②銳角關(guān)系：乙4+/8=90。；

③邊角關(guān)系：tanA=3;cot4=2；sinA=3;cosA=

bac

7.解直角三角形的應(yīng)用

（1）仰角與俯角

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角;

視線

鉛

一

水

平線

角

仰

垂

角

此

線

視線

（2）坡度：坡面的鉛垂高度h和水平寬度/的比叫做坡面的坡度，記作"即i=4；坡度表示形式：i=

坡面與水平面的夾角叫坡角，記為a；坡度i與坡角a的關(guān)系：i=g=tana.

【考點(diǎn)剖析】

一.銳角三角函數(shù)的定義（共5小題）

1.（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在RtZxABC中，ZC=90°,AC=\,BC=2,那么cosA的值為（）

V5

B.2C.D.

A.i5

2.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）在△48C中，ZC=90°,已知AC=3,AB=5,那么NA的余弦值為（）

3_4

AC.D.

-i5

3.（2023?松江區(qū)一模）已知RlZVlBC中,ZC=90°,AC=2,BC=3,那么下列結(jié)論正確的是（）

29

A.ran/l=—B.cot4=—C.sinA=—D.cosA=—

3333

4.（2023?青浦區(qū)一模）在中，ZC=90°,如果coS=3,AC=6,那么BC=

5.（2022秋?黃浦區(qū)期中）在aABC機(jī)ZC=90°,如果8c=3,taM=2,那么AC=

3

二.特殊角的三角函數(shù)值（共6小題）

6.（2023?松江區(qū)一模）已知taM=7向，則銳角A的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

7.（2023?徐匯區(qū)一模）計(jì)算：8s60：sin60：=

cot30-tan45

8.（2023?金山區(qū)一模）已知a是銳角，且cosa=Y2,那么a=

2

9.（2023?崇明區(qū)一模）計(jì)算：4cos30°-cos45°tan60°+2sin245°.

10.（2023?普陀區(qū)一模）計(jì)算：-----2干60---------4cot30°?cos^O0.

2sir.45+tan45

11.（2023?奉賢區(qū)一模）計(jì)算：4cos300?sin6（）°+------------"..............—

2tan45-cot30

三.解直角三角形（共7小題）

12.（2023?普陀區(qū)一模）在RtZXABC中，已知N4CB=90°,tan8=2,AC=4,那么8c的長(zhǎng)是（）

3

A.6B.3C.2>/5D.V5.

13.（2023?普陀區(qū)一模）在△ABC中，AC=5,8C=12,A8=13,那么sin8=.

14.（2023?寶山區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系x。｝?中，已知點(diǎn)A（2,1〕與原點(diǎn)。的連線與x軸的正半軸的夾角為仇

那么tanp的值是（）

A.2B.—C.返D.V5

25

15.（2023?金山區(qū)二模）已知△ABC中，/84C=90°,AB=3,tanC=3,點(diǎn)。是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線

4

段4c上，如果點(diǎn)七關(guān)于直線AO對(duì)稱的點(diǎn)尸恰好落在線段4c上，那么C￡的最大值為.

16.（2023?閔行區(qū)二模）閱讀理解：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角《、0滿足2a+0=9O°,那么我們稱這個(gè)三角形

為特征三角形.問題解決：如圖，在中，/AC8為鈍角，人8=25,tanA=4,如果△人8C是特征三角形，

那么線段4c的長(zhǎng)為.

B

17.（2023?松江區(qū)一模）如圖，RtZ\ABC中，NAC8=90°,CZ）_LA8于點(diǎn)。，如果AC=3,A8=5,那么cos/8C。

的值是_____________________

18.（2023?奉賢區(qū)一模）在△A8C中，如果A3=AC=7,3C=1O,那么cos3的值是

四.解直角三角形的應(yīng)用（共4小題）

19.（2023?松江區(qū)一模）如圖，為測(cè)量一條河的寬度，分別在河岸一邊相距。米的4、B兩點(diǎn)處，觀測(cè)對(duì)岸的標(biāo)志

物P,測(cè)得N/^B=a、NP04=0,那么這條河的寬度是（）

C.---------——-米D.----------——-米

tanQ.+tanptana-tanp

20.（2023?楊浦區(qū)一模）如圖，一條細(xì)繩系著一個(gè)小球在平面內(nèi)擺動(dòng)，已知細(xì)繩從懸掛點(diǎn)。到球心的長(zhǎng)度為50厘

米，小球在左右兩個(gè)最高位置時(shí)?，細(xì)繩相應(yīng)所成的角為74。，那么小球在最高和最低位置時(shí)的高度差為

厘米.（參考數(shù)據(jù);sin37°?0.60,cos37°?0.80,tan37°—0.75.）

21.（2023?寶山區(qū)二模）“小房子”是一種常見的牛奶包裝盒（如圖1）,圖2是其一個(gè)側(cè)面的示意圖，由“盒身”

矩形8COE和“房頂”等腰三角形ABE組成.已知BC=4.5厘米，CD=8厘米，AB=AE=5厘米.

（1）求“房頂”點(diǎn)A到盒底邊C。的距離；

（2）現(xiàn)設(shè)計(jì)了牛奶盒的一個(gè)新造型，和原來(lái)相比較，折線段A"的長(zhǎng)度（即線段4,與4c的和）及矩形HC/圮

的面積均不改變,且sin/48E=且，BOCD,求新造型“盒身”的高度（即線段8c的長(zhǎng)）.

13

圖1

22.（2023?徐匯區(qū)二模）小明家的花酒的實(shí)景圖及其側(cè)面示意圖分別如圖1、圖2所示，花灑安裝在離地面高度160

厘米的A處，花灑的長(zhǎng)度為2（）厘米.

（1）已知花灑與墻面所成的角/%。=120°,求當(dāng)花灑噴射出的水流CO與花灑4。成90°的角時(shí)，水流噴射

到地面的位置點(diǎn)C與墻面的距離.（結(jié)果保留根號(hào)）

（2）某店鋪代理銷售這種花灑，上個(gè)月的銷售額為2400元，這個(gè)月由于店鋪舉行促銷活動(dòng)，每個(gè)花灑的價(jià)格比

上個(gè)月便宜20元，因此比上個(gè)月多賣出8個(gè)的同時(shí)銷售額也上漲了400元，求這個(gè)此款花灑的原價(jià)是多少元？

B

圖1圖2

五.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共3小題）

23.（2023?虹口區(qū)一模）如果某個(gè)斜坡的坡度是1：近，那么這個(gè)斜坡的坡角為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

24.（2023?普陀區(qū)二模）如圖，斜坡A/3的坡度ii=l：弧,現(xiàn)需要在不改變坡高A"的情況下將坡度變緩，調(diào)整

后的斜坡AC的坡度，2=1：2.4,已知斜坡AB=10米，那么斜坡4C=米.

25.（2023?奉賢區(qū)二模）圖是某地下商業(yè)街的入口的玻璃頂，它是由立柱、斜桿、支撐桿組成的支架撐起的，它的

示意圖.經(jīng)過(guò)測(cè)量，支架的立柱AB與地面垂直（NB4C=90°）,AB=2.7米，點(diǎn)A、C、M在同一水平線上，

斜村'BC與水平線AC的夾角NACB=33°,支撐桿OEJ_/3C,垂足為E,該支架的邊4Q與8C的夾角/。5七=

66。，又測(cè)得CE=2.2米.

（1）求該支架的邊的長(zhǎng)；

（2）求支架的邊3。的頂端。到地面AM的距離.（結(jié)果精確到0.1米）

（參考數(shù)據(jù)：sin33°-0.54,sin66°-0.91,cos33°-0.84,cos66°-0.40,tan330-0.65,tan6據(jù)-2.25）

六.解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題（共4小題）

26.（2023?崇明區(qū)一模）飛機(jī)離水平地面的高度為3千米，在飛機(jī)上測(cè)得該水平地面上的目標(biāo)A點(diǎn)的俯角為a,那

么此時(shí)飛機(jī)與目標(biāo)4點(diǎn)的距離為千米.（用a的式子表示）

27.（2023?楊浦區(qū)二模）如圖，某水渠的橫斷面是以44為直徑的半圓O,其中水面截線MN〃人從小明在A處測(cè)

得點(diǎn)B處小樹的頂端。的仰角為14°,已知小樹的高為1.75米.

（1）求直徑A8的長(zhǎng);

（2）如果要使最大水深為2.8米，那么此時(shí)水面的寬度MN約為多少米.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：tan76°

=4,V6=2.4）

28.（2023?寶山區(qū)一模）如圖，某小區(qū)車庫(kù)頂部3c是居民健身平臺(tái)，在平臺(tái)上垂直安裝了太陽(yáng)能燈A從己知平臺(tái)

斜坡CD的坡度i=V3,坡長(zhǎng)為6米.在坡底。處測(cè)得燈的頂端4的仰角為45°,在坡頂C處測(cè)得燈的頂

端A的仰角為60°,求燈的頂端A與地面OE的距離.（結(jié)果保留根號(hào)）

29.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)二模）為了測(cè)量某建筑物的高度BE,從與建筑物底端8在同?水平線的點(diǎn)A發(fā)，沿著坡比為

/=1：2.4的斜坡行走一段路程至坂頂。處，此時(shí)測(cè)得建筑物頂端￡的仰角為30°,再?gòu)?。處沿水平方向繼續(xù)

行走100米后至點(diǎn)C處，此時(shí)測(cè)得建筑物頂端E的仰角為60°.建筑物底端B的俯角為45°,如圖,已知點(diǎn)

A、B、C、。、E在同一平面內(nèi)，求建筑物BE的高度與AO的長(zhǎng).（參考數(shù)據(jù)：73^1.732）

七.解直角三角形的應(yīng)用一方向角問題（共3小題）

30.（2022秋?閔行區(qū)期末）如圖，一艘船從4處向北偏西30°的方向行駛5海里到B處，再?gòu)腂處向正東方向行

駛8海里到C處，此時(shí)這艘船與出發(fā)點(diǎn)A處相距海里.

31.（2022秋?黃浦區(qū)月考）2020年6月23日，我國(guó)第55顆北斗衛(wèi)星，即北斗全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)最后一顆組網(wǎng)衛(wèi)

星發(fā)射成功.北斗導(dǎo)航裝備的不斷更新，極大方便人們的出行.某中學(xué)從A地出發(fā)，組織學(xué)生利用導(dǎo)航到。地

區(qū)進(jìn)行研學(xué)活動(dòng)，已知C地位于4地的正北方向，且距離A地24千米.由于4、。兩地間是一塊濕地，所以導(dǎo)

航顯示的路線是沿北偏東600方向走到4地，再沿北偏西37°方向走一段距離才能到達(dá)C地，求人4兩地的

距離（精確到1千米）.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°比0.6,cos37s^0.8,tan37°^0.7,&F.4,孤F.7）

32.（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）湖中小島上碼頭C處?名游客突發(fā)疾病，需要救援.位于湖面8點(diǎn)處的快艇和湖

岸川處的救援船接到通知后立刻同時(shí)出發(fā)前往救援.計(jì)劃由快艇趕到碼頭C接該游客，再沿CA方向行駛，與

救援船相遇后將該游客轉(zhuǎn)運(yùn)到救援船上.已知C在A的北偏東30°方向上，B在A的北偏東60°方向上，旦在

C的正南方向1000米處.

（I）求湖岸A與碼頭C的距離（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：正732）

（2）救援船的平均速度為180米/分，快艇的平均速度為320米/分，在接到通知后，快艇能否在6分鐘內(nèi)將該游

客送上救援船？請(qǐng)說(shuō)明理由.（接送游客上下船的時(shí)間忽略不計(jì)）

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.3tan60°的值為（）

AS「36

B.出U?---D.375

62

“1

2.在A48C中,ZC=90°,tanA=—,則sinB=()

3

A,巫2「3D,巫

B.c.—

103410

3.如圖，已知應(yīng)△力胸中，Zf=90°,除3,464,則sin/1的值為（）.

4.如圖，在AABC中，ZC=90°,sinA=|,則等于（）

5.在△力旗中，N小90°,a、b、c分別為N//、/B、NO的對(duì)邊，下列各式成立的是（）

A.爐a,sinBB.a-b?cos^C.srb?tan^D.爐a?tanB

6.在Rt△力歐中，/心90°,若將各邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則N4的正弦值（）

A.擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C.擴(kuò)大4倍I）.不變

二、填空題

7.Ssina=—,則2=

2

8.如果方程x2-4x+3=0的兩個(gè)根分別是Rt^ABC的兩條邊，^ABC最小的角為A,那么tanA的值為

9.如圖，已知直線4〃/2〃/3〃。，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形力筋的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條直

線上，則sina=.

10.如圖,AD±CD,AB=10,BC=20,ZA=ZC=30°,則AD的長(zhǎng)為；CD的長(zhǎng)為

11.已知=g-sina,則銳角。的取值范圍是

12.在一ABC中，AB=8,NABC=30°,AC=5,則BC二.

13.如四，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,NDBC=45°,翻折梯形ABCD,使點(diǎn)B重合于點(diǎn)D,折痕分別交邊AB、BC于

點(diǎn)F、E,若AI)=2,BC=8.則(DBE的長(zhǎng)為.(2)NCDE的正切值為.

14.在AABC中，ZC=90°,如果sinA=;，AB=6,那么BC二

15.已知NA為銳角，且tan35°cotA=l,則NA=_______度.

16.如圖，在sABC中，ZACB=120°,AC=4,BC=6,過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則tanB的值為

17.菱形力砥9中，已知18=4,NB：Zr=l：2,那么劭的長(zhǎng)是.

18.如圖，已知中，ZACB=90°,點(diǎn)J/是AB的中點(diǎn)，將AM沿CM所在的直線翻折，點(diǎn)M落在點(diǎn)4處,

AM_L/3,且交BC于點(diǎn)、。,4D:OW7的值為.

三、解答題

19.計(jì)算：2cos60°+cot30°tan450-sin30°tan60°.

在銳角三角形月式1中，若siM=立，8=75。，求cos。的值.

20.

2

21.如圖，要在木里縣某林場(chǎng)東西方向的兩地之間修一條公路MN,已知C點(diǎn)周圍200米范圍內(nèi)為原始森林保護(hù)區(qū)，

在MN上的點(diǎn)A處測(cè)得C在A的北偏東45°方向上，從A向東走600米到達(dá)B處，測(cè)得C在點(diǎn)B的北偏西60。方向

上.

（1）MN是否穿過(guò)原始森林保護(hù)區(qū)，為什么？（參考數(shù)據(jù)：73^1.732）

（2）若修路工程順利進(jìn)行,要使修路工程比原計(jì)劃提前5天完成,需將原定的工作效率提高25%,則原計(jì)劃完成這

項(xiàng)工程需要多少天？

22.如織，商丘市睢陽(yáng)區(qū)南湖中有一小島，湖邊有一條筆直的觀光小道，現(xiàn)決定從小島架一庫(kù)與觀光小道垂直的小

橋PD,小坤在小道上測(cè)得如下數(shù)據(jù)：AB=200.0米,NPAB=38.5°,ZPBA=26.5°.請(qǐng)幫助小坤求出小橋PD的長(zhǎng).（結(jié)

果精確到。1米）（參考數(shù)據(jù)：sin38.5°*0.62,cos38.5°^0.78,tan38.5°*0.80,sin26.50*0.45,

cos26.5°^0.89,tan26.5°^0.50）

23.小宇想測(cè)量位于池塘兩端的A、B兩點(diǎn)的距離.他沿著與直線AB平行的道路EF行走，當(dāng)行走到點(diǎn)C處，測(cè)得

ZACF=45°,再向前行走100米到點(diǎn)D處，測(cè)得NBDF=60°.若直線AB與EF之間的距離為60米，求A、B兩點(diǎn)的

距離.

24.如羽是某貨站傳送貨物的平面示意圖.為了提高傳送過(guò)程的安全性，工人師傅欲減小傳送帶與地面的夾角，使

其由45°改為30°.已知原傳送帶AB長(zhǎng)為4米.

（1）求新傳送帶AC的長(zhǎng)度；

（2）如果需要在貨物著地點(diǎn)C的左側(cè)留出2米的通道，試判斷距離B點(diǎn)4米的貨物MNQP是否需要挪走，并說(shuō)明理

由.（說(shuō)明：⑴⑵的計(jì)算結(jié)果精確到“1米，參考數(shù)據(jù)：力-1.41,行-1.73,垂22.24,“-2.45）

25.如圖，在RIZXABC中，ZA=90°,AB=6,AC=8,D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿DE方向

運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作PQJ_BC于Q,過(guò)點(diǎn)Q作QR〃BA交AC于R,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng).設(shè)BQ=x,QR=

y.

⑴求點(diǎn)D到BC的距離；

(2)求『關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)：

(3)是否存在點(diǎn)P,使是以PQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的x的值；若不存在，請(qǐng)

說(shuō)明理由

第25章銳角的三角比全章復(fù)習(xí)與測(cè)試

【知識(shí)梳理】

1.銳角的三角比定義：一個(gè)銳角的正切、余切、正弦、余弦統(tǒng)稱為這個(gè)銳角的三角比.

正切：把直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比叫這個(gè)銳角的正切.即tanA=幺當(dāng)坐■；

NA的鄰邊

余切：把直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與對(duì)邊的比叫這個(gè)銳角的余切.即cotA=幺磐%:

NA的對(duì)邊

正弦：把直角三角形中一個(gè)銳角的對(duì)邊與斜邊的比叫這個(gè)銳角的正弦.即sinA=4^5^

斜邊

/A的鄰邊

余弦：把直角三角形中一個(gè)銳角的鄰邊與斜邊的比叫這個(gè)銳角的余弦.即cosA=

斜邊

2.性質(zhì)

①當(dāng)銳角增大時(shí)，這個(gè)銳角的正切與王弦值都增大，這個(gè)銳角的余切與余弦值都減小;

②若ZA+ZB=90°,則tanA=cotB;sinA=cosB；

③tanAcotA=l.

3.特殊角的三角比

a=30ca=60°a=45°

tana?不1

cota百1

T

sina\_72

2~22

cosa石\_V2

222

已知銳角，求三角比；

4.銳角的三角比

已知銳角的三角比，求銳角.

5.解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的過(guò)程.

6.直角三角形的邊角關(guān)系（AABC中，ZC=90°）

①三邊關(guān)系：/+/=（?；

〈②銳角關(guān)系：乙4+/8=90。；

③邊角關(guān)系：tanA=3;cot4=2；sinA=3;cosA=

bac

7.解直角三角形的應(yīng)用

（1）仰角與俯角

在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角；視線在水平線下方的角叫俯角;

視線

鉛

一

水

平線

角

仰

垂

角

此

線

視線

（2）坡度：坡面的鉛垂高度h和水平寬度/的比叫做坡面的坡度，記作"即i=4；坡度表示形式：i=

坡面與水平面的夾角叫坡角，記為a；坡度i與坡角a的關(guān)系：i=g=tana.

【考點(diǎn)剖析】

一.銳角三角函數(shù)的定義（共5小題）

1.（2023?虹口區(qū)一模）如圖，在RtZ\A3c中，ZC=90°,AC=\,BC=2,那么cosA的值為（

【分析】根據(jù)勾股定理，可得人B的長(zhǎng)，根據(jù)銳角的余弦等于銳角的鄰邊比斜邊，可得答案.

【解答】解：在RtZXABC中，ZC=90°,AC=\,BC=2,由勾股定理，得

A5=VAC2+BC2=^-

由銳角的余弦，得cosA=±S=j=^

AB巡5

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳舛的余弦等于銳角的鄰邊比斜邊是解題的關(guān)健.

2.（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）在△A8C中，ZC-900,已知AC—3,—5,那么/A的余弦值為（）

3434

A.B.C.D.

4355

【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：在RtZXAbC'中，AC=3,A4=5,

—瑞福

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?松江區(qū)一模）已知RlZSABC中,ZC=90°,AC=2,BC=3,那么下列結(jié)論正確的是（）

299

A.rarL4=—B.cot4=—C.sinA——D.cosA=—

3333

【分析】先利用勾股定理求出的長(zhǎng),然后再利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答.

【解答】解：VZC=90°,AC=2,8C=3,

?*-A5=VAC2+BC2=722+32，

.ABC3“AC2.4

..taa.4=—=—,cotA=—=—.SIIL4=

AC2BC3肄?！?YE

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?青浦區(qū)一模）在△ABC中，ZC=90°,如果col4=3,4c=6,那么BC=2.

【分析】利用銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：在RtZXAAC中，NC=90°,COL4=3,AC=6,

：.BC=-AC-=A=2,

cotA3

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

5.（2022秋?黃浦區(qū)期中）在△ABC中，ZC=90°,如果BC=3,tan>4=—,那么AC=—

3-2―

【分析】根據(jù)tanA=Z,于是得到區(qū)=2,即可求出AC.

3AC3

【解答】解：在△4BC中，ZC=90°,BC=3,

2BC

3而‘

：,AC=—,

2

故答案為:9,

~2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，涉及的知識(shí)有：銳角三角函數(shù)定義，利用了方程的思想，熟練掌握定義及定

理是解本題的關(guān)鍵.

二.特殊角的三角函數(shù)值（共6小題）

6.（2023?松江區(qū)一模）已知依偌=7%，則銳角4的度數(shù)是（）

A.30°B.45°C.60。D.75°

【分析】直接根據(jù)lan600=?進(jìn)行解答即可.

【解答】解：人為銳角，tan600=V3,

/.ZA=60°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考杳的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角的三角函數(shù)值是解答此題的關(guān)鍵.

7.（2023?徐匯區(qū)一模）計(jì)算：cos60：-sin60：=1

cot30-tan452~

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值，代入原式即可計(jì)算

1V3

原式=常

【解答】解:

1_

2

故答案為：

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵是要熟記特殊角的三角函數(shù)值,

8.（2023?金山區(qū)一模）己知a是銳角，且cosa=Y2,那么a=45°.

2

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而計(jì)算得出答案.

【解答】解：Ta是銳角，且cosa=浮，

2

Aa=450

故答案為:450.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

9.（2023?崇明區(qū)一模）計(jì)算：4cos300-cos450tan600+2sin2450.

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而計(jì)算得出答案.

【解答】解：原式=4X返-返xd§+2X（亞）2

222

=2^/3?返■+2X2

22

=2通.迎+L

2

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

1（）.（2023?普陀區(qū)一模）計(jì)算；-----2,小60------4cot300-cos230q.

2sir45+tan45

【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入計(jì)算即可.

【解答】解:原武=備4vH

V3（V2-1）-373

(V2+1)(V2-1)

=V6-V3-373

=V6-4^3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵.

II.（2023?奉賢區(qū)一模）計(jì)算：4cos30。?sin600+-------------」......-.

2tan45-cot30

【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入，進(jìn)而計(jì)算得出答案.

【解答】解：原式=4X^X噂+——

222X1-V3

__W1__

（2-V3）（2-*V3）

=3+2+V3

=5+V3.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關(guān)數(shù)據(jù)是解題關(guān)鍵.

三.解直角三角形（共7小題）

12.（2023?普陀區(qū)一模）在RtZ\A4C中，已知N4C8=90°,tanB=2,AC=4,那么AC的長(zhǎng)是（）

3

A.6B.3C.2V5D.V5.

【分析】根據(jù)三角函數(shù)中正切值的定義解決此題.

【解答】解：如圖.

：.BC=6.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正切值，熟練掌握正切值的定義是解決本題的關(guān)鍵.

13.(2023?普陀區(qū)一模)在△43C中，AC=5,8c=12,A4=13,那么sin4=—

一13一

【分析】首先根據(jù)題意得出△4BC為直角三角形，再畫出圖形，其中AC=5,BC=12,AB=13；然后根據(jù)sinB

=或計(jì)算即可.

AB

【解答】解:VAC=5,5c=12,AB=13f

222

：.AC+BC=ABt

???△ABC是直角三角形，

如圖所示：

在RI/XA8C中，AC=5,BC=12,A8=13,

【點(diǎn)評(píng)】本題考解直角三角形，牢記銳角三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

14.（2023?寶山區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2,I〕與原點(diǎn)。的連線與x軸的正半軸的夾角為0,

那么canp的值是（）

A.2B.—C.返D.V5

25

【分析】過(guò)點(diǎn)A作/W_Lx軸，垂足為B,根據(jù)垂直定義可得乙46。=90°,根據(jù)已知可得08=2,48=1,然后

在太△480中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【解答】解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AZLLx軸，垂足為從

???NA8O=90°,

???點(diǎn)A(2,1),

；?OB=2,AB=1,

在中，tanB=^=1

OB2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題

的關(guān)鍵.

15.（2023?金山區(qū)二模）已知△ABC中，N84C=9（T,A8=3,tanC=G,點(diǎn)D是線段8c上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在線

4

段4C上，如果點(diǎn)E關(guān)于直線AD對(duì)稱的點(diǎn)尸恰好落在線段BC上，那么CE的最大值為@.

一5一

【分析】在直角中，根據(jù)正切函數(shù)定義得出4C=4,利用勾股定理求出8c=：AB2+AC2=5-根據(jù)軸對(duì)

稱的性質(zhì)得到AE=ARCE=AC-AE=4-AE=4-AF,當(dāng)A尸取最小值時(shí)CE取最大值.根據(jù)垂線段最短

得出當(dāng)A""L8C時(shí)，AF最小.根據(jù)三角形的面積求出Ar=迎典=」2,進(jìn)而求出CE的最大值.

BC5

【解答】解：在△ABC中，ZBAC=90°,AB=3,tanC=—=—,

AC4

：,AC=4,

?,^C=VAB2+AC2=5-

丁點(diǎn)E關(guān)于直線AD對(duì)稱的點(diǎn)尸恰好落在線段BC上，

：.AE=AF.

???點(diǎn)E在線段AC上，

,CE=AC-AE=4-AE=4-AF,

:.=AF取最小值時(shí)CE取最大值.

如圖，當(dāng)ATJLBC時(shí),A尸最小.

'：S^ABC=-BC*AF=^AB^AC.

22

.AB-AC3X412

BC55

.\CE=4--=—,

55

即CE的最大值為

故答案為：I.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理.，軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，三角形的面積

等知識(shí).根據(jù)題意得到當(dāng)4尸取最小值時(shí)CE取最大值是解題的關(guān)鍵.

16.（2023?閔行區(qū)二模）閱讀理解：如果一個(gè)三角形中有兩個(gè)內(nèi)角a、B滿足2a+B=90°,那么我們稱這個(gè)三角形

為特征三角形.問題解決：如圖，在AABC中，N4C8為鈍缸4B=25,tanA=J，如果△ABC是特征三角形,

O

那么線段AC的長(zhǎng)為—至

【分析】由題意可分：①設(shè)NA=a,N8=0,則在AB上截取一點(diǎn)。，使得CO=C4,此種情況不符合題意；②

設(shè)NA=0,NB=a,過(guò)點(diǎn)8作BEJ_AC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CTLAB于點(diǎn)F,然后根據(jù)三角函數(shù)及勾股定理可進(jìn)

行求解.

【解答】解：由題意可分：①設(shè)NA=a,N8=0,則在43上截取一點(diǎn)Q,使得CQ=C4,如圖所示：

，NA=NAQC,

..A4

?tanA二

o

.4

tan/ADCf

：.NCDB為鈍角,故不存在2a+B=90°；

②設(shè)NA=0,NB=a,過(guò)點(diǎn)8作BE_LAC于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作C/L48于點(diǎn)尸，如圖所示:

???△A4C是特征三角形，即2a+0=9O°,且乙4+448笈=90。，

ZABE=2ZABC,

平分NA8E,

:?CF=CE,

..84

?tanA二二

.CFBE

??—9

AFAE

設(shè)A/=3x,CF=CE=4x,4C=58則有AE=9x,

，8E=⑵，

：AB=25,

在□△ABE中，由勾股定理得81/+144/=625,

解得：苗或x/（舍去），

?AT25

.A-3

故答案為：25.

3

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)及勾股定理，熟練掌握三角函數(shù)及勾股定理是解題的關(guān)鍵.

17.（2023?松江區(qū)一?模）如圖，RtZ\A8C中，NAC4=9O°,CO_LA8于點(diǎn)。，如果AC=3,48=5,那么cosNBCO

的值是_3_.

【分析】由余角的性質(zhì)得到NBCO=NA,求NA的余弦值即可.

【解答】解：???/ACB=90°,C0_LAB于點(diǎn)。，

???NBCD+NACD=ZA+ZACD=9（）°,

/.ZBCD=ZA,

ACQ

???cos乙BCD=cosA.

AB5

故答案為：信.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形，關(guān)鍵是掌握銳角的余弦定義.

18.（2023?奉賢區(qū)一模）在△A8C中，如果A8=4C=7,8c=10,那么cos8的值是—.

~7~

【分析】過(guò)4作AOJ_BC于D,由等腰三角形的性質(zhì)得出的長(zhǎng)，由銳角的余弦即可求解.

【解答】解：過(guò)人作AQJ_8C于