熱點(diǎn)07 相似三角形（7大題型+滿(mǎn)分技巧+限時(shí)分層檢測(cè)）（原卷版）

熱點(diǎn)07相似三角形中考數(shù)學(xué)中《相似三角形》部分主要考向分為三類(lèi)：一、黃金分割及平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例（每年1道，3分）二、相似三角形的判定與性質(zhì)（每年1~2道，3~12分）三、相似三角形的應(yīng)用（每年1~2題，3~14分）相似三角形在中考數(shù)學(xué)中的地位永遠(yuǎn)都是無(wú)法撼動(dòng)的第一，不管是對(duì)相似三角形性質(zhì)、判定、亦或是應(yīng)用的考察，都有出題類(lèi)型多變，出題形式隨意的特點(diǎn)，并且，因?yàn)槠涓叨鹊娜诤闲裕还苁窃谶x擇題、填空題、解答題的壓軸題中，都可以作為壓軸題的問(wèn)題背景出現(xiàn)，也是解決壓軸題問(wèn)題不可或缺的方法途徑?；谝陨咸卣?，相似三角的考察難度可以從中等跨越到較難，屬于中考數(shù)學(xué)中較為重要的壓軸考點(diǎn)?？枷蛞唬浩叫芯€(xiàn)分線(xiàn)段成比例【題型1比例與比例線(xiàn)段】滿(mǎn)分技巧1、比例的性質(zhì)：；2、比例中項(xiàng)：，此時(shí)，c為a、b的比例中項(xiàng)；3、比例線(xiàn)段：在四條線(xiàn)段中，如果的比等于的比，那么這四條線(xiàn)段叫做成比例線(xiàn)段簡(jiǎn)稱(chēng)比例線(xiàn)段；1．（2023?金昌）若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．2．（2023?麗水）小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級(jí)上冊(cè)“4.1比例線(xiàn)段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個(gè)逐步特殊化的過(guò)程，請(qǐng)?jiān)跈M線(xiàn)上填寫(xiě)適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過(guò)程．3．（2023?甘孜州）若，則＝．【題型2黃金分割】滿(mǎn)分技巧黃金分割：把線(xiàn)段分成兩條線(xiàn)段，且使是的比例中項(xiàng)，叫做把線(xiàn)段黃金分割，點(diǎn)叫做線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)，其中≈0.618．1．（2023?廣東）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾為普及優(yōu)選法作出重要貢獻(xiàn)．優(yōu)選法中有一種0.618法應(yīng)用了（）A．黃金分割數(shù) B．平均數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)2．（2023?濟(jì)南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線(xiàn)CP交AB于點(diǎn)E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．3．（2023?達(dá)州）如圖，樂(lè)器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂(lè)器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為cm．（結(jié)果保留根號(hào)）【題型3平分線(xiàn)分線(xiàn)段成比例】滿(mǎn)分技巧如圖：AB∥CD∥EF1．（2023?常州）小明按照以下步驟畫(huà)線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)：畫(huà)法圖形（1）以A為端點(diǎn)畫(huà)一條射線(xiàn)；（2）用圓規(guī)在射線(xiàn)上依次截取3條等長(zhǎng)線(xiàn)段AC、CD、DE，連接BE；（3）過(guò)點(diǎn)C、D分別畫(huà)BE的平行線(xiàn)，交線(xiàn)段AB于點(diǎn)M、N．M、N就是線(xiàn)段AB的三等分點(diǎn)．這一畫(huà)圖過(guò)程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩直線(xiàn)平行，同位角相等 B．兩條平行線(xiàn)之間的距離處處相等 C．垂直于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行 D．兩條直線(xiàn)被一組平行線(xiàn)所截，所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例2．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．3．（2023?北京）如圖，直線(xiàn)AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．考向二：相似三角形的判定與性質(zhì)【題型4相似三角形的性質(zhì)】滿(mǎn)分技巧相似三角形的性質(zhì)有：對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊上的“三線(xiàn)”之比=相似比、對(duì)應(yīng)面積之比=相似比的平方、對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)之比=相似比。另外，相似三角形之前還有有關(guān)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的基本性質(zhì)的考察。1．（2023?重慶）如圖，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的長(zhǎng)度為6，則DE的長(zhǎng)度為（）A．4 B．9 C．12 D．13.52．（2023?重慶）若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1：4，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：163．（2023?無(wú)錫）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝3，點(diǎn)D在BC上，BE⊥AD交AC于點(diǎn)E，ED的延長(zhǎng)線(xiàn)與AB的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F，且△ABC∽△FBD，則BD＝．【題型5相似三角形的判定】滿(mǎn)分技巧重點(diǎn)記“AA”與“SAS”類(lèi)型，小題勿忘“SSS”類(lèi)型；相似三角形的判定方法中，最常用的是有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，其次是對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似不長(zhǎng)出現(xiàn)，但是個(gè)別小題，特別是和網(wǎng)格結(jié)合的問(wèn)題小題中，也是有出現(xiàn)幾率的。1．（2023?大慶）在綜合與實(shí)踐課上，老師組織同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng)．有一張矩形紙片ABCD如圖所示，點(diǎn)N在邊AD上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為BN，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)M，若點(diǎn)M恰好落在邊DC上，則圖中與△NDM一定相似的三角形是．2．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)E在邊AC上，且，則AE的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．1或 D．1或23．（2023?哈爾濱）如圖，AC，BD相交于點(diǎn)O，AB∥DC，M是AB的中點(diǎn)，MN∥AC，交BD于點(diǎn)N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，則MN的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．6 D．84．（2023?無(wú)錫）如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，則DG：EG＝．5．（2023?杭州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在邊AB，BC，CA上，連接DE，EF，F(xiàn)D，已知點(diǎn)B和點(diǎn)F關(guān)于直線(xiàn)DE對(duì)稱(chēng)．設(shè)＝k，若AD＝DF，則＝（結(jié)果用含k的代數(shù)式表示）．6．（2023?牡丹江）如圖，在正方形ABCD中，E在邊CD上，BE交對(duì)角線(xiàn)AC于點(diǎn)F，CM⊥BE于M，∠CME的平分線(xiàn)所在直線(xiàn)分別交CD，AC于點(diǎn)N，P，連接FN．下列結(jié)論：①S△NPF：S△NPC＝FM：MC；②CM＝PN；③EN?CD＝EC?CF；④若EM＝1，MB＝4，則PM＝．其中正確的是．7．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長(zhǎng)．考向三：相似三角形的應(yīng)用【題型6相似三角形的應(yīng)用】滿(mǎn)分技巧相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用：建模思想：建立相似三角形的模型（二）常見(jiàn)題目類(lèi)型：1.利用投影、平行線(xiàn)、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形求解2.測(cè)量底部可以到達(dá)的物體的高度3.測(cè)量底部不可以到達(dá)的物體的高度4.測(cè)量河的寬度1．（2023?南充）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小菲同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線(xiàn)上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小菲的眼睛離地面高度為1.6m，同時(shí)量得小菲與鏡子的水平距離為2m，鏡子與旗桿的水平距離為10m，則旗桿高度為（）A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m2．（2023?湖州）某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量校園內(nèi)一棵樹(shù)的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EF）放在離樹(shù)（AB）適當(dāng)距離的水平地面上的點(diǎn)F處，再把鏡子水平放在支架（EF）上的點(diǎn)E處，然后沿著直線(xiàn)BF后退至點(diǎn)D處，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹(shù)的頂端A，再用皮尺分別測(cè)量BF，DF，EF，觀測(cè)者目高（CD）的長(zhǎng)，利用測(cè)得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹(shù)的高度．已知CD⊥BD于點(diǎn)D，EF⊥BD于點(diǎn)F，AB⊥BD于點(diǎn)B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，則這棵樹(shù)的高度（AB的長(zhǎng)）是米．3．（2023?濰坊）在《數(shù)書(shū)九章》（宋?秦九韶）中記載了一個(gè)測(cè)量塔高的問(wèn)題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線(xiàn)上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線(xiàn)恰好經(jīng)過(guò)竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為米．4．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國(guó)佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對(duì)物體進(jìn)行測(cè)量的原理，來(lái)測(cè)量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D在一直線(xiàn)上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也在一直線(xiàn)上，且B、E、D、G、C在同一直線(xiàn)上，請(qǐng)你根據(jù)以上測(cè)量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．5．（2023?南京）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺(tái)燈和一支鉛筆，點(diǎn)光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD（不計(jì)折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說(shuō)明CD的長(zhǎng)度不變．（2）桌面上一點(diǎn)P恰在點(diǎn)O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度為60cm．在點(diǎn)O與AB所確定的平面內(nèi)，將AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得CD的長(zhǎng)度最大．①畫(huà)出此時(shí)AB所在位置的示意圖；②CD的長(zhǎng)度的最大值為cm．【題型7位似變換】滿(mǎn)分技巧位似圖形滿(mǎn)足的條件：①所有經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的直線(xiàn)都相交于同一點(diǎn)（該點(diǎn)叫做位似中心）；②這個(gè)交點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之比都相等（這個(gè)比值叫做位似比）1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）2．（2023?遂寧）在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ABC、△DEF成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）3．（2023?朝陽(yáng)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（2，2），B（4，1），以原點(diǎn)O為位似中心，相似比為2，把△OAB放大，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（）A．（1，1） B．（4，4）或（8，2） C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）4．（2023?阜新）如圖，△ABC和△DEF是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3，則△ABC和△DEF的面積比是．（建議用時(shí)：40分鐘）1．（2023?雅安）如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF交BD于點(diǎn)E，CF的延長(zhǎng)線(xiàn)交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，EF＝1，EC＝3，則GF的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023?東營(yíng)）如圖，△ABC為等邊三角形，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝4DC，DE＝2.4，則AD的長(zhǎng)為（）A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.23．（2023?綿陽(yáng)）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛(ài)好者和藝術(shù)家的喜愛(ài)，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點(diǎn)E，以E為圓心，線(xiàn)段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱(chēng)其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a4．（2023?煙臺(tái)）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個(gè)網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1個(gè)單位長(zhǎng)度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）5．（2023?內(nèi)江）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E為邊AB的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F、G在邊BC上，AC∥DG∥EF，點(diǎn)H為AF與DG的交點(diǎn)．若AC＝12，則DH的長(zhǎng)為（）A．1 B． C．2 D．36．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F，，BF＝8，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．37．（2023?威海）如圖，四邊形ABCD是一張矩形紙片．將其按如圖所示的方式折疊：使DA邊落在DC邊上，點(diǎn)A落在點(diǎn)H處，折痕為DE；使CB邊落在CD邊上，點(diǎn)B落在點(diǎn)G處，折痕為CF．若矩形HEFG與原矩形ABCD相似，AD＝1，則CD的長(zhǎng)為（）A．﹣1 B．﹣1 C．+1 D．+18．（2023?南京）如圖，不等臂蹺蹺板AB的一端A碰到地面時(shí)，另一端B到地面的高度為60cm；當(dāng)AB的一端B碰到地面時(shí)，另一端A到地面的高度為90cm，則蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm9．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E；過(guò)點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F，N是線(xiàn)段BF上的點(diǎn)，BN＝2NF，M是線(xiàn)段DE上的點(diǎn)，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積 B．△BDF的面積 C．△BCN的面積 D．△DCE的面積10．（2023?泰安）如圖，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，分別以點(diǎn)F和點(diǎn)G為圓心，大于FG的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)H，作射線(xiàn)BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于BD的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于M、N兩點(diǎn)，作直線(xiàn)MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED＝BC；④當(dāng)AC＝2時(shí)，AD＝﹣1．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．411．（2023?南通）如圖，△ABC中，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，連接DE，則＝．12．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點(diǎn)O是位似中心，且＝3．若A（9，3），則A1點(diǎn)的坐標(biāo)是．13．（2023?江西）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測(cè)量物體的高度．如圖，點(diǎn)A，B，Q在同一水平線(xiàn)上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點(diǎn)D．測(cè)得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹(shù)高PQ＝m．14．（2023?盤(pán)錦）如圖，△ABO的頂點(diǎn)坐標(biāo)是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以點(diǎn)O為位似中心，將△ABO縮小為原來(lái)的，得到△A′B′O，則點(diǎn)A′的坐標(biāo)為．15．（2023?廣東）邊長(zhǎng)分別為10，6，4的三個(gè)正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線(xiàn)上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．16．（2023?日照）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)P在對(duì)角線(xiàn)BD上，過(guò)點(diǎn)P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AD交BD于點(diǎn)E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM＝EN；②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)AM：MD＝1：2時(shí)，S△MPE＝；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．17．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線(xiàn)段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．18．閱讀下列材料，回答問(wèn)題．任務(wù)：測(cè)量一個(gè)扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度AB遠(yuǎn)大于南北走向的最大寬度，如圖1．工具：一把皮尺（測(cè)量長(zhǎng)度略小于AB）和一臺(tái)測(cè)角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測(cè)量任意可到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離（這兩點(diǎn)間的距離不大于皮尺的測(cè)量長(zhǎng)度）；測(cè)角儀的功能是測(cè)量角的大小，即在任一點(diǎn)O處，對(duì)其視線(xiàn)可及的P，Q兩點(diǎn)，可測(cè)得∠POQ的大小，如圖3．小明利用皮尺測(cè)量，求出了小水池的最大寬度AB．其測(cè)量及求解過(guò)程如下：測(cè)量過(guò)程：（?。┰谛∷赝膺x點(diǎn)C，如圖4，測(cè)得AC＝am，BC＝bm；（ⅱ）分別在AC，BC上測(cè)得CM＝m，CN＝m；測(cè)得MN＝cm．求解過(guò)程：由測(cè)量知，AC＝a，BC＝b，CM＝，CN＝，∴＝＝，又∵①，∴△CMN∽△CAB，∴．又∵M(jìn)N＝c，∴AB＝②（m）．故小水池的最大寬度為***m．（1）補(bǔ)全小明求解過(guò)程中①②所缺的內(nèi)容；（2）小明求得AB用到的幾何知識(shí)是；（3）小明僅利用皮尺，通過(guò)5次測(cè)量，求得AB．請(qǐng)你同時(shí)利用皮尺和測(cè)角儀，通過(guò)測(cè)量長(zhǎng)度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識(shí)求小水池的最大寬度AB，寫(xiě)出你的測(cè)量及求解過(guò)程．要求：測(cè)量得到的長(zhǎng)度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，γ…表示；測(cè)量次數(shù)不超過(guò)4次（測(cè)量的幾何量能求出AB，且測(cè)量的次數(shù)最少，才能得滿(mǎn)分）．19．（2023?泰安）如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；（1）當(dāng)AF＝DF時(shí)，求∠AED；（2）求證：△EHG∽△ADG；（3）求證：．20．（2023?南京）在平面內(nèi)，將一個(gè)多邊形先繞自身的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ（0°＜θ＜180°），再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的比為k，稱(chēng)這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，順θ，k）；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，逆θ，k）．例如：如圖①，先將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，得到△A1BC1，再將△A1BC1以點(diǎn)B為位似中心縮小到原來(lái)的，得到△A2BC2，這個(gè)變換記作T（B，逆50°，）．（1）如圖②，△ABC經(jīng)過(guò)T（C，順60°，2）得到△A′B′C，用尺規(guī)作出△A′B′C．（保留作圖痕跡）（2）如圖③，△ABC經(jīng)過(guò)T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC經(jīng)過(guò)T（C，順β，k2）得到△FDC，連接AE，AF．求證：四邊形AFDE是平行四邊形．（3）如圖④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC經(jīng)過(guò)（2）中的變換得到的四邊形AFDE是正方形．Ⅰ．用尺規(guī)作出點(diǎn)D（保留作圖痕跡，寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明）；Ⅱ．直接寫(xiě)出AE的長(zhǎng)．（建議用時(shí)：45分鐘）1．（2023?長(zhǎng)寧區(qū)一模）已知線(xiàn)段a、b、c、d是成比例線(xiàn)段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（）A．8 B．6 C．4 D．12．（2024?長(zhǎng)沙模擬）如圖，在△ABC中，DE∥AB，且，則的值為（）A． B． C． D．3．（2024?鞍山模擬）如圖，已知D、E分別在△ABC的AB、AC邊上，△ABC∽△AED，則下列各式成立的是（）A． B．AB?AD＝AE?AC C． D．AD?DE＝AE?EC4．（2023?寧波模擬）矩形相鄰的兩邊長(zhǎng)分別為25和x（x＜25），把它按如圖所示的方式分割成五個(gè)全等的小矩形，每一個(gè)小矩形均與原矩形相似，則x的值為（）A．5 B．5 C．5 D．105．（2024?深圳模擬）一段加固后的護(hù)欄如圖所示，該護(hù)欄豎直部分是由等距（任意相鄰兩根木條之間的距離相等）且平行的木條構(gòu)成．已知AC＝50cm，則BC的長(zhǎng)度為（）A．20cm B．25cm C．30cm D．6．（2024?石家莊一模）如圖，在△ABC中，DE∥BC，若，△ADE的面積為4，則△ABC的面積為（）A．6 B．8 C．9 D．167．（2024?南昌一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為位似中心，把線(xiàn)段AB放大后得到線(xiàn)段CD．若點(diǎn)A（1，2），B（2，0），D（5，0），則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．（2，5） B．（，5） C．（3，5） D．（3，6）8．（2023?潛山市模擬）如圖，在平行四邊形FBCE中，點(diǎn)J，G分別在邊BC，EF上，JG∥BF，四邊形ABCD～四邊形HGFA，相似比k＝3，則下列一定能求出△BIJ面積的條件（）A．四邊形HDEG和四邊形AHGF的面積之差 B．四邊形ABCD和四邊形HDEG的面積之差 C．四邊形ABCD和四邊形ADEF的面積之差 D．四邊形JCDH和四邊形HDEG的面積之差9．（2024?應(yīng)縣一模）如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線(xiàn)段AE和BD相交于點(diǎn)C，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線(xiàn)上，測(cè)得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．130° D．135°10．（2024?鞍山模擬）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A′B′C是位似關(guān)系圖，則位似中心是（）A．點(diǎn)R B．點(diǎn)P C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)O11．（2023?南岳區(qū)一模）如圖，有一塊直角邊AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的鐵片，現(xiàn)要把它加工成一個(gè)正方形（加工中的損耗忽略不計(jì)），則正方形的邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．12．如圖是一個(gè)由A，B，C三種相似的直角三角形紙片（相似比相同）拼成的矩形，相鄰紙片之間互不重疊也無(wú)縫隙，其中A，B，C的紙片的面積分別S1，S2，S3，若S1＞S2＞S3，則這個(gè)矩形的面積一定可以表示為（）A．4S1 B．6S2 C．4S2+3S3 D．3S1+4S313．（2023秋?包河區(qū)期中）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在△ABC的邊上，，DE∥BC，EF∥AB，點(diǎn)M是DF的中點(diǎn)，連接CM并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)N，的值是（）A． B． C． D．14．（2024?深圳模擬）若，則的值為．15．（2024?鞍山模擬）圖1是伸縮折疊不銹鋼晾衣架的實(shí)物圖，圖2是它的側(cè)面示意圖，AD與CB相交于點(diǎn)O，AB∥CD，根據(jù)圖2中的數(shù)據(jù)可得x的值為．16．（2024?浙江模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以點(diǎn)B為圓心、BA為半徑畫(huà)劣弧交射線(xiàn)