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2025屆陜西省西安市西北工業(yè)大學高三第二次調(diào)研數(shù)學試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知變量x,y間存在線性相關(guān)關(guān)系,其數(shù)據(jù)如下表,回歸直線方程為,則表中數(shù)據(jù)m的值為()變量x0123變量y35.57A.0.9 B.0.85 C.0.75 D.0.52.已知函數(shù)是偶函數(shù),當時,函數(shù)單調(diào)遞減,設(shè),,,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.3.復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點為則()A. B. C. D.4.過拋物線的焦點F作兩條互相垂直的弦AB,CD,設(shè)P為拋物線上的一動點,,若,則的最小值是()A.1 B.2 C.3 D.45.()A. B. C.1 D.6.已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的點關(guān)于直線的對稱點在的圖像上,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知實數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.8.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.3 C. D.49.已知點(m,8)在冪函數(shù)的圖象上,設(shè),則()A.b<a<c B.a(chǎn)<b<c C.b<c<a D.a(chǎn)<c<b10.已知雙曲線:的焦點為,,且上點滿足,,,則雙曲線的離心率為A. B. C. D.511.若函數(shù)(其中,圖象的一個對稱中心為,,其相鄰一條對稱軸方程為,該對稱軸處所對應的函數(shù)值為,為了得到的圖象,則只要將的圖象()A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度12.已知F是雙曲線(k為常數(shù))的一個焦點,則點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為()A.2k B.4k C.4 D.2二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的值域是,則的取值范圍是__________.14.如圖,在梯形中,∥,分別是的中點,若,則的值為___________.15.以,為圓心的兩圓均過,與軸正半軸分別交于,,且滿足,則點的軌跡方程為_________.16.函數(shù)的圖象在處的切線與直線互相垂直,則_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以直角坐標系原點為極點,以軸正半軸為極軸并取相同的單位長度建立極坐標系.(1)求曲線的極坐標方程,并說明其表示什么軌跡;(2)若直線的極坐標方程為,求曲線上的點到直線的最大距離.18.(12分)已知函數(shù),,若存在實數(shù)使成立,求實數(shù)的取值范圍.19.(12分)在平面直角坐標系中,,,且滿足(1)求點的軌跡的方程;(2)過,作直線交軌跡于,兩點,若的面積是面積的2倍,求直線的方程.20.(12分)已知橢圓()的半焦距為,原點到經(jīng)過兩點,的直線的距離為.(Ⅰ)求橢圓的離心率;(Ⅱ)如圖,是圓的一條直徑,若橢圓經(jīng)過,兩點,求橢圓的方程.21.(12分)在直角坐標系中,直線l過點,且傾斜角為,以直角坐標系的原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為.求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標方程,并判斷曲線C是什么曲線;設(shè)直線l與曲線C相交與M,N兩點,當,求的值.22.(10分)以平面直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,且在兩種坐標系中取相同的長度單位,建立極坐標系,已知曲線,曲線(為參數(shù)),求曲線交點的直角坐標.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
計算,代入回歸方程可得.【詳解】由題意,,∴,解得.故選:A.【點睛】本題考查線性回歸直線方程,解題關(guān)鍵是掌握性質(zhì):線性回歸直線一定過中心點.2、A【解析】
根據(jù)圖象關(guān)于軸對稱可知關(guān)于對稱,從而得到在上單調(diào)遞增且;再根據(jù)自變量的大小關(guān)系得到函數(shù)值的大小關(guān)系.【詳解】為偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱圖象關(guān)于對稱時,單調(diào)遞減時,單調(diào)遞增又且,即本題正確選項:【點睛】本題考查利用函數(shù)奇偶性、對稱性和單調(diào)性比較函數(shù)值的大小關(guān)系問題,關(guān)鍵是能夠通過奇偶性和對稱性得到函數(shù)的單調(diào)性,通過自變量的大小關(guān)系求得結(jié)果.3、B【解析】
求得復數(shù),結(jié)合復數(shù)除法運算,求得的值.【詳解】易知,則.故選:B【點睛】本小題主要考查復數(shù)及其坐標的對應,考查復數(shù)的除法運算,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
設(shè)直線AB的方程為,代入得:,由根與系數(shù)的關(guān)系得,,從而得到,同理可得,再利用求得的值,當Q,P,M三點共線時,即可得答案.【詳解】根據(jù)題意,可知拋物線的焦點為,則直線AB的斜率存在且不為0,設(shè)直線AB的方程為,代入得:.由根與系數(shù)的關(guān)系得,,所以.又直線CD的方程為,同理,所以,所以.故.過點P作PM垂直于準線,M為垂足,則由拋物線的定義可得.所以,當Q,P,M三點共線時,等號成立.故選:C.【點睛】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系、焦半徑公式的應用,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意取最值的條件.5、A【解析】
利用復數(shù)的乘方和除法法則將復數(shù)化為一般形式,結(jié)合復數(shù)的模長公式可求得結(jié)果.【詳解】,,因此,.故選:A.【點睛】本題考查復數(shù)模長的計算,同時也考查了復數(shù)的乘方和除法法則的應用,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
可將問題轉(zhuǎn)化,求直線關(guān)于直線的對稱直線,再分別討論兩函數(shù)的增減性,結(jié)合函數(shù)圖像,分析臨界點,進一步確定的取值范圍即可【詳解】可求得直線關(guān)于直線的對稱直線為,當時,,,當時,,則當時,,單減,當時,,單增;當時,,,當,,當時,單減,當時,單增;根據(jù)題意畫出函數(shù)大致圖像,如圖:當與()相切時,得,解得;當與()相切時,滿足,解得,結(jié)合圖像可知,即,故選:A【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想求解函數(shù)交點問題,導數(shù)研究函數(shù)增減性,找準臨界是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題7、A【解析】
所求的分母特征,利用變形構(gòu)造,再等價變形,利用基本不等式求最值.【詳解】解:因為滿足,則,當且僅當時取等號,故選:.【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.8、C【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,該幾何體為由一個三棱柱體,切去一個三棱錐體,由柱體、椎體的體積公式進一步求出幾何體的體積.【詳解】解:根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為由一個三棱柱體,切去一個三棱錐體,如圖所示:故:.故選:C.【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的體積、需熟記柱體、椎體的體積公式,考查了空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
先利用冪函數(shù)的定義求出m的值,得到冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,再利用冪函數(shù)f(x)的單調(diào)性,即可得到a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】由冪函數(shù)的定義可知,m﹣1=1,∴m=2,∴點(2,8)在冪函數(shù)f(x)=xn上,∴2n=8,∴n=3,∴冪函數(shù)解析式為f(x)=x3,在R上單調(diào)遞增,∵,1<lnπ<3,n=3,∴,∴a<b<c,故選:B.【點睛】本題主要考查了冪函數(shù)的性質(zhì),以及利用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值大小,屬于中檔題.10、D【解析】
根據(jù)雙曲線定義可以直接求出,利用勾股定理可以求出,最后求出離心率.【詳解】依題意得,,,因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率,考查了運算能力.11、B【解析】
由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A,由周期求出,由五點法作圖求出的值,可得的解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,誘導公式,得出結(jié)論.【詳解】根據(jù)已知函數(shù)其中,的圖象過點,,可得,,解得:.再根據(jù)五點法作圖可得,可得:,可得函數(shù)解析式為:故把的圖象向左平移個單位長度,可得的圖象,故選B.【點睛】本題主要考查由函數(shù)的部分圖象求解析式,由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A,由周期求出,由五點法作圖求出的值,函數(shù)的圖象變換規(guī)律,誘導公式的應用,屬于中檔題.12、D【解析】
分析可得,再去絕對值化簡成標準形式,進而根據(jù)雙曲線的性質(zhì)求解即可.【詳解】當時,等式不是雙曲線的方程;當時,,可化為,可得虛半軸長,所以點F到雙曲線C的一條漸近線的距離為2.故選:D【點睛】本題考查雙曲線的方程與點到直線的距離.屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】
配方求出頂點,作出圖像,求出對應的自變量,結(jié)合函數(shù)圖像,即可求解.【詳解】,頂點為因為函數(shù)的值域是,令,可得或.又因為函數(shù)圖象的對稱軸為,且,所以的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)值域,考查數(shù)形結(jié)合思想,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】
建系,設(shè)設(shè),由可得,進一步得到的坐標,再利用數(shù)量積的坐標運算即可得到答案.【詳解】以A為坐標原點,AD為x軸建立如圖所示的直角坐標系,設(shè),則,所以,,由,得,即,又,所以,故,,所以.故答案為:2【點睛】本題考查利用坐標法求向量的數(shù)量積,考查學生的運算求解能力,是一道中檔題.15、【解析】
根據(jù)圓的性質(zhì)可知在線段的垂直平分線上,由此得到,同理可得,由對數(shù)運算法則可知,從而化簡得到,由此確定軌跡方程.【詳解】,,和的中點坐標為,且在線段的垂直平分線上,,即,同理可得:,,,點的軌跡方程為.故答案為:.【點睛】本題考查動點軌跡方程的求解問題,關(guān)鍵是能夠利用圓的性質(zhì)和對數(shù)運算法則構(gòu)造出滿足的方程,由此得到結(jié)果.16、1.【解析】
求函數(shù)的導數(shù),根據(jù)導數(shù)的幾何意義結(jié)合直線垂直的直線斜率的關(guān)系建立方程關(guān)系進行求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直,函數(shù)的圖象在的切線斜率本題正確結(jié)果:【點睛】本題主要考查直線垂直的應用以及導數(shù)的幾何意義,根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),表示圓心為,半徑為的圓;(2)【解析】
(1)根據(jù)參數(shù)得到直角坐標系方程,再轉(zhuǎn)化為極坐標方程得到答案.(2)直線方程為,計算圓心到直線的距離加上半徑得到答案.【詳解】(1),即,化簡得到:.即,表示圓心為,半徑為的圓.(2),即,圓心到直線的距離為.故曲線上的點到直線的最大距離為.【點睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標方程,直線和圓的距離的最值,意在考查學生的計算能力和應用能力.18、【解析】試題分析:先將問題“存在實數(shù)使成立”轉(zhuǎn)化為“求函數(shù)的最大值”,再借助柯西不等式求出的最大值即可獲解.試題解析:存在實數(shù)使成立,等價于的最大值大于,因為,由柯西不等式:,所以,當且僅當時取“”,故常數(shù)的取值范圍是.考點:柯西不等式即運用和轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想的運用.19、(1).(2)的方程為.【解析】
(1)令,則,由此能求出點C的軌跡方程.(2)令,令直線,聯(lián)立,得,由此利用根的判別式,韋達定理,三角形面積公式,結(jié)合已知條件能求出直線的方程?!驹斀狻拷猓海?)因為,即直線的斜率分別為且,設(shè)點,則,整理得.(2)令,易知直線不與軸重合,令直線,與聯(lián)立得,所以有,由,故,即,從而,解得,即。所以直線的方程為?!军c睛】本題考查橢圓方程、直線方程的求法,考查橢圓方程、橢圓與直線的位置關(guān)系,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題。20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)依題意,由點到直線的距離公式可得,又有,聯(lián)立可求離心率;(2)由(1)設(shè)橢圓方程,再設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,求得,令,可得,即得橢圓方程.試題解析:(Ⅰ)過點的直線方程為,則原點到直線的距離,由,得,解得離心率.(Ⅱ)由(1)知,橢圓的方程為.依題意,圓心是線段的中點,且.易知,不與軸垂直.設(shè)其直線方程為,代入(1)得.設(shè),則,.由,得,解得.從而.于是.由,得,解得.故橢圓的方程為.21、(Ⅰ)曲線是焦點在軸上的橢圓;(Ⅱ).【解析】試題分析:(1)由題易知,直線的參
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