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上海市寶山區(qū)建峰高中2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則①處應(yīng)填寫(xiě)()A. B. C. D.2.已知函數(shù)滿足=1,則等于()A.- B. C.- D.3.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列,則公比的值為(

)A. B. C.或 D.或4.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家,的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒(méi)有插足的余地.他證明過(guò)這樣一個(gè)命題:平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓,后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓=1(a>b>0),A,B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn),C,D為橢圓的短軸端點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.5.在邊長(zhǎng)為2的菱形中,,將菱形沿對(duì)角線對(duì)折,使二面角的余弦值為,則所得三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.6.在中,,,,點(diǎn),分別在線段,上,且,,則().A. B. C.4 D.97.設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),是以為焦點(diǎn)的拋物線上任意一點(diǎn),是線段上的點(diǎn),且,則直線的斜率的最大值為()A. B. C. D.18.拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線與雙曲線C:x28A.8 B.6 C.4 D.29.設(shè),且,則()A. B. C. D.10.如圖,圓的半徑為,,是圓上的定點(diǎn),,是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,角的始邊為射線,終邊為射線,將表示為的函數(shù),則在上的圖像大致為()A. B. C. D.11.已知向量,,=(1,),且在方向上的投影為,則等于()A.2 B.1 C. D.012.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列滿足:點(diǎn)在直線上,若使、、構(gòu)成等比數(shù)列,則______14.已知是定義在上的偶函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為.若時(shí),,則不等式的解集是___________.15.函數(shù)f(x)=x2﹣xlnx的圖象在x=1處的切線方程為_(kāi)____.16.已知為雙曲線:的左焦點(diǎn),直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),若點(diǎn),關(guān)于直線對(duì)稱,則雙曲線的離心率為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)隨著時(shí)代的發(fā)展,A城市的競(jìng)爭(zhēng)力、影響力日益卓著,這座創(chuàng)新引領(lǐng)型城市有望踏上向“全球城市”發(fā)起“沖擊”的新征程.A城市的活力與包容無(wú)不吸引著無(wú)數(shù)懷揣夢(mèng)想的年輕人前來(lái)發(fā)展,目前A城市的常住人口大約為1300萬(wàn).近日,某報(bào)社記者作了有關(guān)“你來(lái)A城市發(fā)展的理由”的調(diào)查問(wèn)卷,參與調(diào)查的對(duì)象年齡層次在25~44歲之間.收集到的相關(guān)數(shù)據(jù)如下:來(lái)A城市發(fā)展的理由人數(shù)合計(jì)自然環(huán)境1.森林城市,空氣清新2003002.降水充足,氣候怡人100人文環(huán)境3.城市服務(wù)到位1507004.創(chuàng)業(yè)氛圍好3005.開(kāi)放且包容250合計(jì)10001000(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),預(yù)測(cè)400萬(wàn)25~44歲年齡的人中,選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來(lái)A城市發(fā)展的有多少人;(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,從這6人中再選取3人發(fā)放紀(jì)念品.求選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”的概率;(3)在選擇“自然環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的300人中有100名男性;在選擇“人文環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展的理由的700人中有400名男性;請(qǐng)?zhí)顚?xiě)下面列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)?自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)男女合計(jì)附:,.P()0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818.(12分)近年空氣質(zhì)量逐步惡化,霧霾天氣現(xiàn)象出現(xiàn)增多,大氣污染危害加重.大氣污染可引起心悸.呼吸困難等心肺疾病.為了解某市心肺疾病是否與性別有關(guān),在某醫(yī)院隨機(jī)的對(duì)入院人進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查得到了如下的列聯(lián)表:患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男女合計(jì)已知在全部人中隨機(jī)抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為.(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān)?請(qǐng)說(shuō)明你的理由;(2)已知在不患心肺疾病的位男性中,有位從事的是戶外作業(yè)的工作.為了指導(dǎo)市民盡可能地減少因霧霾天氣對(duì)身體的傷害,現(xiàn)從不患心肺疾病的位男性中,選出人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,求所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率.下面的臨界值表供參考:(參考公式,其中)19.(12分)(選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在平面直角坐標(biāo)系,已知曲線(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;(2)過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線交于,兩點(diǎn),求點(diǎn)到,的距離之積.20.(12分)如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.(1)求證:平面平面;(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,直線l過(guò)點(diǎn),且傾斜角為,以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線C的極坐標(biāo)方程為.求直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程,并判斷曲線C是什么曲線;設(shè)直線l與曲線C相交與M,N兩點(diǎn),當(dāng),求的值.22.(10分)如圖,在四棱柱中,底面是正方形,平面平面,,.過(guò)頂點(diǎn),的平面與棱,分別交于,兩點(diǎn).(Ⅰ)求證:;(Ⅱ)求證:四邊形是平行四邊形;(Ⅲ)若,試判斷二面角的大小能否為?說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

模擬程序框圖運(yùn)行分析即得解.【詳解】;;.所以①處應(yīng)填寫(xiě)“”故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.2、C【解析】

設(shè)的最小正周期為,可得,則,再根據(jù)得,又,則可求出,進(jìn)而可得.【詳解】解:設(shè)的最小正周期為,因?yàn)?,所以,所以,所以,又,所以?dāng)時(shí),,,因?yàn)椋淼?,因?yàn)?,,,則所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角形函數(shù)的周期性和對(duì)稱性,考查學(xué)生分析能力和計(jì)算能力,是一道難度較大的題目.3、D【解析】

由成等差數(shù)列得,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式展開(kāi)即可得到公比q的方程.【詳解】由題意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查等差等比數(shù)列的綜合,利用等差數(shù)列的性質(zhì)建立方程求q是解題的關(guān)鍵,對(duì)于等比數(shù)列的通項(xiàng)公式也要熟練.4、D【解析】

求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得,解得a,b即可.【詳解】設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動(dòng)點(diǎn)M滿足=2,則=2,化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴,解得,∴橢圓的離心率為.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率,動(dòng)點(diǎn)軌跡,屬于中檔題.5、D【解析】

取AC中點(diǎn)N,由題意得即為二面角的平面角,過(guò)點(diǎn)B作于O,易得點(diǎn)O為的中心,則三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,列出方程即可得解.【詳解】如圖,由題意易知與均為正三角形,取AC中點(diǎn)N,連接BN,DN,則,,即為二面角的平面角,過(guò)點(diǎn)B作于O,則平面ACD,由,可得,,,即點(diǎn)O為的中心,三棱錐的外接球球心在直線BO上,設(shè)球心為,半徑為,,,解得,三棱錐的外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了立體圖形外接球表面積的求解,考查了空間想象能力,屬于中檔題.6、B【解析】

根據(jù)題意,分析可得,由余弦定理求得的值,由可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,則在中,又,則則則則故選:B【點(diǎn)睛】此題考查余弦定理和向量的數(shù)量積運(yùn)算,掌握基本概念和公式即可解決,屬于簡(jiǎn)單題目.7、C【解析】試題分析:設(shè),由題意,顯然時(shí)不符合題意,故,則,可得:,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),故選C.考點(diǎn):1.拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì);2.均值不等式.【方法點(diǎn)晴】本題主要考查的是向量在解析幾何中的應(yīng)用及拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程方程,均值不等式的靈活運(yùn)用,屬于中檔題.解題時(shí)一定要注意分析條件,根據(jù)條件,利用向量的運(yùn)算可知,寫(xiě)出直線的斜率,注意均值不等式的使用,特別是要分析等號(hào)是否成立,否則易出問(wèn)題.8、A【解析】

求得拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,解得兩交點(diǎn),由三角形的面積公式,計(jì)算即可得到所求值.【詳解】拋物線y2=ax(a>0)的準(zhǔn)線為x=-a4,雙曲線C:x28-y24【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積的求法,注意運(yùn)用拋物線的準(zhǔn)線方程和雙曲線的漸近線方程,考查運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

將等式變形后,利用二次根式的性質(zhì)判斷出,即可求出的范圍.【詳解】即故選:C【點(diǎn)睛】此題考查解三角函數(shù)方程,恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解,屬于簡(jiǎn)單題目.10、B【解析】

根據(jù)圖象分析變化過(guò)程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域,即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得到函數(shù)圖象,即可求解.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),P與A重合,則與B重合,所以,故排除C,D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,由圖象可知選B.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.11、B【解析】

先求出,再利用投影公式求解即可.【詳解】解:由已知得,由在方向上的投影為,得,則.故答案為:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何意義,考查投影公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.12、B【解析】

根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計(jì)算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、13【解析】

根據(jù)點(diǎn)在直線上可求得,由等比中項(xiàng)的定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】在上,,成等比數(shù)列,,即,解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三項(xiàng)成等比數(shù)列求解參數(shù)值的問(wèn)題,涉及到等比中項(xiàng)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

構(gòu)造,先利用定義判斷的奇偶性,再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,結(jié)合奇偶性,單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】令,則是上的偶函數(shù),,則在上遞減,于是在上遞增.由得,即,于是,則,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.15、x﹣y=0.【解析】

先將x=1代入函數(shù)式求出切點(diǎn)縱坐標(biāo),然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù),進(jìn)一步求出切線斜率,最后利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程.【詳解】由題意得.故切線方程為y﹣1=x﹣1,即x﹣y=0.故答案為:x﹣y=0.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的基本方法,利用切點(diǎn)滿足的條件列方程(組)是關(guān)鍵.同時(shí)也考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由點(diǎn),關(guān)于直線對(duì)稱,得到直線的斜率,再根據(jù)直線過(guò)點(diǎn),可求出直線方程,又,中點(diǎn)在直線上,代入直線的方程,化簡(jiǎn)整理,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)闉殡p曲線:的左焦點(diǎn),所以,又點(diǎn),關(guān)于直線對(duì)稱,,所以可得直線的方程為,又,中點(diǎn)在直線上,所以,整理得,又,所以,故,解得,因?yàn)椋?故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì),先由兩點(diǎn)對(duì)稱,求出直線斜率,再由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出直線方程,根據(jù)中點(diǎn)在直線上,即可求出結(jié)果,屬于常考題型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(萬(wàn))(2)(3)填表見(jiàn)解析;有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān)【解析】

(1)在1000個(gè)樣本中選擇“創(chuàng)業(yè)氛圍好”來(lái)A城市發(fā)展的有300個(gè),根據(jù)頻率公式即可求得結(jié)果.(2)由分層抽樣的知識(shí)可得,抽取6人中,4人選擇“森林城市,空氣清新”,2人選擇“降水充足,氣候怡人”求出對(duì)應(yīng)的基本事件數(shù),即可求得結(jié)果.(3)計(jì)算的值,對(duì)照臨界值表可得答案.【詳解】(1)(萬(wàn))(2)從所抽取選擇“自然環(huán)境”作為來(lái)A城市發(fā)展理由的300人中,利用分層抽樣的方法抽取6人,其中4人是選擇“森林城市,空氣清新”,2人是選擇“降水充足,氣候怡人”.記事件A為選出的3人中至少有2人選擇“森林城市,空氣清新”,則,.(3)列聯(lián)表如下自然環(huán)境人文環(huán)境合計(jì)男100400500女200300500合計(jì)3007001000,所以有的把握認(rèn)為性別與“自然環(huán)境”或“人文環(huán)境”的選擇有關(guān).【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢測(cè)的相關(guān)知識(shí)、分層抽樣與古典概念計(jì)算概率、考查學(xué)生的綜合分析與計(jì)算能力,難度較易.18、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān),理由見(jiàn)解析;(2).【解析】

(1)結(jié)合題意完善列聯(lián)表,計(jì)算出的觀測(cè)值,對(duì)照臨界值表可得出結(jié)論;(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、,其余三人分別為、、,利用列舉法列舉出所有的基本事件,并確定事件“所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)”所包含的基本事件數(shù),利用古典概型的概率公式可取得所求事件的概率.【詳解】(1)由于在全部人中隨機(jī)抽取人,抽到患心肺疾病的人的概率為,所以人中患心肺疾病的人數(shù)為人,故可將列聯(lián)表補(bǔ)充如下:患心肺疾病不患心肺疾病合計(jì)男女合計(jì).故有的把握認(rèn)為患心肺疾病與性別有關(guān);(2)記不患心肺疾病的五位男性中從事戶外作業(yè)的兩人分別為、,其余三人分別為、、.從中選取三人共有以下種情形:、、、、、、、、、.其中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的有種情形,分別為:、、、、、、、、,所以所選的人中至少有一位從事的是戶外作業(yè)的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想解決實(shí)際問(wèn)題,同時(shí)也考查了利用列舉法求解古典概型的概率問(wèn)題,考查計(jì)算能力,屬于中等題.19、(1)曲線:,直線的直角坐標(biāo)方程;(2)1.【解析】試題分析:(1)先根據(jù)三角函數(shù)平方關(guān)系消參數(shù)得曲線化為普通方程,再根據(jù)將直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)根據(jù)題意設(shè)直線參數(shù)方程,代入C方程,利用參數(shù)幾何意義以及韋達(dá)定理得點(diǎn)到,的距離之積試題解析:(1)曲線化為普通方程為:,由,得,所以直線的直角坐標(biāo)方程為.(2)直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入化簡(jiǎn)得:,設(shè)兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為,則,.20、(1)見(jiàn)解析;(2)存在,長(zhǎng)【解析】

(1)先證面,又因?yàn)槊?所以平面平面.(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系.列出各點(diǎn)的坐標(biāo)表示,設(shè),則可得出向量,求出平面的法向量為,利用直線與平面所成角的正弦公式列方程求出或,從而求出線段的長(zhǎng).【詳解】解:(1)證明:因?yàn)樗倪呅螢榫匦?∴.∵∴∴∴面∴面又∵面∴平面平面(2)取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:則,,,,,設(shè),;∴,,

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