2024春新教材高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線(xiàn)平面的垂直8.6.2第1課時(shí)直線(xiàn)與平面垂直的判定及直線(xiàn)與平面所成的角分層演練含解析新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE第八章立體幾何初步A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.若直線(xiàn)l與平面α內(nèi)的多數(shù)條直線(xiàn)垂直,則直線(xiàn)l與平面α的關(guān)系是()A.l和平面α相互平行 B.l和平面α相互垂直C.l在平面α內(nèi) D.不能確定解析:如圖所示,直線(xiàn)l和平面α相互平行,或直線(xiàn)l和平面α相互垂直或直線(xiàn)l在平面α內(nèi)都有可能.答案:D2.直線(xiàn)l與平面α所成的角為70°,若直線(xiàn)l∥m,則m與α所成的角等于()A.20°B.70°C.90°D.110°解析:因?yàn)閘∥m,所以直線(xiàn)l與平面α所成的角等于直線(xiàn)m與平面α所成的角.因?yàn)橹本€(xiàn)l與平面α所成的角為70°,所以直線(xiàn)m與平面α所成的角為70°.答案:B3.如圖所示,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,若PA⊥平面ABCD,則圖中共有4個(gè)直角三角形.解析:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BC,所以△PAB,△PAD都是直角三角形.因?yàn)锽C⊥AB,所以BC⊥平面PAB,所以BC⊥PB,所以△PBC為直角三角形.同理得CD⊥PD,所以△PCD是直角三角形.故共有4個(gè)直角三角形.4.如圖所示,AB是☉O的直徑,PA⊥☉O所在的平面,C是☉O上一點(diǎn),若∠ABC=30°,PA=AB,則直線(xiàn)PC與平面ABC所成角的正切值為2.解析:因?yàn)镻A⊥平面ABC,所以AC為斜線(xiàn)PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即為直線(xiàn)PC與平面ABC所成的角.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,所以AC=12AB.在Rt△PAC中,AC=12AB=12PA,所以tan∠PCA=5.如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD,∠ACB=∠ACD.求證:BD⊥平面PAC.證明:因?yàn)锽C=CD,所以△BCD為等腰三角形.因?yàn)椤螦CB=∠ACD,所以BD⊥AC.因?yàn)镻A⊥底面ABCD,所以PA⊥BD.從而B(niǎo)D與平面PAC內(nèi)兩條相交直線(xiàn)PA,AC都垂直,所以BD⊥平面PAC.B級(jí)實(shí)力提升6.如圖所示,在正方形ABCD中,E,F分別是BC,CD的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn).假如沿AE,AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形,使B,C,D三點(diǎn)重合,重合后的點(diǎn)記為H,那么在這個(gè)空間圖形中必有()?A.AH⊥△EFH所在平面B.AG⊥△EFH所在平面C.HF⊥△AEF所在平面D.HG⊥△AEF所在平面解析:由題意知原圖中AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH.因?yàn)镕H∩EH=H,所以AH⊥△EFH所在平面.答案:A7.如圖所示,在空間四邊形ABCD中,AB,BC,CD,DA和兩條對(duì)角線(xiàn)AC,BD都相等,若E為AD的中點(diǎn),F為BC的中點(diǎn),則直線(xiàn)BE和平面ADF所成的角的正弦值為33解析:如圖所示,連接EF.依據(jù)題意知BC⊥AF,BC⊥DF.因?yàn)锳F∩DF=F,所以BC⊥平面ADF,所以∠BEF是直線(xiàn)BE和平面ADF所成的角.設(shè)BC=2,則BF=1,BE=3,所以sin∠BEF=13=38.如圖所示,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,點(diǎn)C到AB1的距離為CE,D為AB的中點(diǎn).求證:(1)CD⊥AA1;(2)AB1⊥平面CED.證明:(1)由題意知,AA1⊥平面ABC,CD?平面ABC,所以CD⊥AA1.(2)因?yàn)镈是AB的中點(diǎn),△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,所以CD⊥AB.因?yàn)镃D⊥AA1,AB∩A1A=A,AB?平面A1B1BA,A1A?平面A1B1BA,所以CD⊥平面A1B1BA.因?yàn)锳B1?平面A1B1BA,所以CD⊥AB1.由題意知CE⊥AB1.因?yàn)镃D∩CE=C,CD?平面CED,CE?平面CED,所以AB1⊥平面CED.9.如圖所示,AB是圓柱的一條母線(xiàn),BD是圓柱底面圓的一條直徑,C是底面圓周上一點(diǎn),且AB=BC=2,∠CBD=45°,求直線(xiàn)BD與平面ACD所成角的大小.解:如圖所示,取AC的中點(diǎn)E,連接BE,DE.由題意知AB⊥平面BCD,所以AB⊥CD.因?yàn)锽D是底面圓的直徑,所以∠BCD=90°,即CD⊥BC.因?yàn)锳B∩BC=B,AB?平面ABC,BC?平面ABC,所以CD⊥平面ABC.因?yàn)锽E?平面ABC,所以CD⊥BE.因?yàn)锳B=BC=2,AB⊥BC,E為AC中點(diǎn),所以BE⊥AC,且BE=2.因?yàn)锳C∩CD=C,AC?平面ACD,CD?平面ACD,所以BE⊥平面ACD,所以∠BDE是BD與平面ACD所成的角.因?yàn)锽D=2BC=22,所以sin∠BDE=BEBD=222所以∠BDE=30°,即BD與平面ACD所成的角為30°.C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新10.探究性問(wèn)題在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上移動(dòng),若點(diǎn)P總是滿(mǎn)意AP⊥BD1,則動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)意的條件是什么?并說(shuō)明理由.解:當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段B1C上時(shí),可以總是滿(mǎn)意AP⊥BD1.理由如下:如圖所示,連接AC,BD,AB1,B1C,B1D1.因?yàn)锳BCD-A1B1C1D1是正方體,所以BB1⊥平面ABCD.因?yàn)锳C?平面ABCD,所以BB1⊥AC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形,所以BD⊥AC.因?yàn)锽D?平面BDD1B1,BB1?平面BDD1B1,BB1∩BD=B,所以AC⊥平面BDD1B1