2023年上海中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓（原卷版+解析）

專題17圓

圓的有關(guān)基礎(chǔ)概念及位置關(guān)系是選填題的熱門，大題出現(xiàn)的幾率依然很大，特別是壓軸題；圓周角

定理、切線長的性質(zhì)等已經(jīng)不在教材范圍之內(nèi)，而是增加兩個特色性質(zhì)：相交圓連心線的性質(zhì)；相切圓的

連心線的性質(zhì)。

在知識導(dǎo)圖

圓有關(guān)的性質(zhì)垂徑定理及推論

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

基本性質(zhì)

圓周角定理

圓內(nèi)接四邊形

相切

相交

一點和圓的位置關(guān)系相離

三點定圓方法

反證法

判定

直線和圓的位置關(guān)系一相切

隨

相交弦定理及推論

外離

切割線定理及推論

外切

相交

內(nèi)切

轉(zhuǎn)、邊心距、中心角計算

正多邊形計算邊長、面積的計算內(nèi)含

圓周長，弧長，組合圖形的周長

正多邊形和圓圓面積，扇形，組合圖形的面積

定義

-圓錐弧長及面積公式

側(cè)面積、全面積的計算

一、圓的有關(guān)概念垂徑定理

一、與圓有關(guān)的概念

圓的概念：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點。旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成的圖形叫圓.這

個固定的端點0叫做圓心，線段0A叫做半徑.以0點為圓心的圓記作。。，讀作圓。.

特點：圓是在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形.

確定圓的條件：

⑴圓心；

⑵半徑，

⑶其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小.

補充知識：

1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；

2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓.

弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中最長的弦.

弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以、為端點的弧記作讀作弧/氏在同圓

或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧.

圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，

小于半圓的弧叫做劣弧.

弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距.

圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角.

圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

三角形的外接圓

經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三

角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.

點與圓的位置有三種：

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

點在圓外點在圓的外部>。點在。的外部.

==點在O的圓周

點在圓上點在圓周上

上.

點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部<0點在O的內(nèi)部.

三點定圓的方法：

1）經(jīng)過點A的圓：以點A以外的任意一點0為圓心，以0A的長為半徑，即可作出過點A的圓，這樣的圓

有無數(shù)個.

2）經(jīng)過兩點A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點0作為圓心，以0A的長為半徑，即可作出過點A、B

的圓，這樣的圓也有無數(shù)個.

3）經(jīng)過三點時：

情況一：過三點的圓：若這三點A、B、C共線時，過三點的圓不存在；

情況二：若A、B、C三點不共線時，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點，而這個交點0是唯一存在的，

這樣的圓有唯一一個.

定理：不在同一直線上的三點確定一個圓.

二、垂徑定理

對稱性

1.圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線

2.圓是中心對稱圖形。

垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；

常見輔助線做法（考點）：

1）過圓心，作垂線，連半徑，造△,用勾股，求長度；

半徑2=弦心距2+《弦長）2

2）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分.

翼例引微

一、單選題

1.下列說法：（1）長度相等的弧是等?。唬?）弦不包括直徑；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）直徑是圓中最

長的弦.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.已知。4=4,以。為圓心，廠為半徑作。0.若使點A在。。內(nèi)，則廠的值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

3.過。。內(nèi)一點M的最長弦為10cm,最短弦長為8cm,則的長為（）

A.9cmB.6cmC.3cmD.“3cm

4.下列說法正確的是（）

A.等弧所對的圓周角相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.過弦的中點的直線必過圓心

5.如圖，在QO中，于點。,的長為3cm,則弦AB的長為（）

B.6cmC.8cmD.10cm

6.已知。O的直徑A2=10,弦CO_LAB于點若OM：0A=3：5,則弦AC的長度（).

A.275B.475C.3D.2石或46

7.如圖，已知RtZkABC中，ZC=90°,ZA=30°,AC=6,以點3為圓心，3為半徑作。8,則點C與。8

的位置關(guān)系是（）

A.點C在。8內(nèi)B.點C在。B上C.點C在。8外D.無法確定

8.如圖，為。。的弦，點C在42上，AC=4,BC=2,CDLOC交。。于點。，則CD的長為（）

c.2V2D.3亞

二、填空題

9.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個點A(1,—3)、B(0,—3)、C(2,—3),—確定一個圓.(填“能”或“不

能”)

10.下列說法正確的是(填序號).

①半徑不等的圓叫做同心圓；②優(yōu)弧一定大于劣??；

③不同的圓中不可能有相等的弦；④直徑是同一個圓中最長的弦.

11.A,8是半徑為3的。。上兩個不同的點，則弦AB的取值范圍是.

12.如圖，直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A,B,C,其中B點坐標(biāo)為(4,4),則該圓弧所在圓的圓心

坐標(biāo)為.

13.如圖，ZPAC=30°,在射線AC上順次截取AD=3。九，DB=10cm,以D3為直徑作。。交射線AP于E、

廠兩點，則線段E尸的長是cm.

14.如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=1,以頂點。為圓心作半徑為「的圓.若要求另外三個頂點A3,C

中至少有一個點在圓內(nèi)，且至少有一個點在圓外，貝1］廠的取值范圍是.

15.如圖，半圓O的半徑為2,E是半圓上的一點，將E點對折到直徑AB上(EE，J_AB),當(dāng)被折的圓弧與

直徑AB至少有一個交點時，則折痕CD的長度取值范圍是一

三、圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們

所對應(yīng)的其余各組量分別相等

:O

舞例引微

J__________a___________________IL-

、單選題

1.下列說法中，正確的是（）

A.等弦所對的弧相等B.等弧所對的弦相等

C.圓心角相等，所對的弦相等D.弦相等所對的圓心角相等

2.如圖，在一個圓內(nèi)有48、CD、EF,若AB+CD=EF，則AB+C。與跖的大小關(guān)系是（

A.AB+CD=EFB.AB+CD<EFC.AB+CD<EFD.AB+CD>EF

3.在。。中，AB,CD為兩條弦，下列說法：①若AB=CD,則A3=C￡>;②若AB=CD，貝UAB=2CD；

③若AB=2CD,則弧AB=2弧CD；④若ZAOB=2NCOD,則AB=2CD淇中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.如圖，扇形OAB的圓心角為90。，點C、D是AB的三等分點，半徑OC、OD分別與弦AB交于點E、

F,下列說法錯誤的是（）

A.AE=EF=FBB.AC=CD=DB

C.EC=FDD.ZDFB=75°

5.如圖，C、D為半圓上三等分點，則下列說法：?AD=CD=BC^②NAOD=/DOC=NBOC；③AD

=CD=OC；④AAOD沿OD翻折與ACOD重合.正確的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

6.如圖，是。。的直徑，C、。是上的兩點，且點C為弧的中點，連接C。、CB、OD,CO與

A8交于點足若/4。。=100。，則/ABC的度數(shù)為（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

二、填空題

7.120。的圓心角是360。的分之一，它所對的弧是相應(yīng)圓周長的分之一.

8.如圖，已知點C是。。的直徑AB上的一點，過點C作弦。E,CD=CO.若AZ）的度數(shù)為35。，貝UBE

的度數(shù)是.

9.已知,如圖以AB為直徑的0O,BC_LAB,AC交。。于點D,點E在。O上，若NDEB=25。,則/C=.

10.如圖，在平行四邊形A2C0中，ZC=60°,點A,B在。。上，點。在優(yōu)弧ADB上，DA=DB,則NAO。

的度數(shù)為______.

三、解答題

11.已知：如圖，在。。中，弦AB與半徑OE、OF交于點C、D,AC=BD,求證:

(1)OC=OD：

(2)AE=BF-

12.如圖，MB,是。。的兩條弦，點A,C分別在弧KB,弧A?上，且A8=C￡),點M是弧AC的中

點.

(1)求證：MB=MD-,

(2)過。作0E_LA/8于E,OE=1,。。的半徑是2,求Aff)的長.

13.如圖，過。。的直徑AB上兩點分別作弦CD,所，CD//EF,AC=BF.

求證：(1)fiC=AF;

(2)AM=BN.

14.已知43是。。的直徑，點C在。。上，。為弧BC的中點.

(1)如圖①，連接AC,AD,OD,求證：OZ)〃AC；

(2)如圖②，過點。作DEJ_AB交。。于點E,直徑交AC于點G,若G為AC的中點，。。的半徑為

2,求AC的長.

15.已知。O的直徑AB=4,弦AC與弦3D交于點E.且ODJ_AC,垂足為點尸.

DD

圖2

(1)如圖1,如果AC=3D,求弦AC的長;

(2)如圖2,如果E為弦8。的中點，求EF:DF

心重點考向

四、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系

1、直線和圓的位置關(guān)系

位置關(guān)系：設(shè)。的半徑為，圓心到直線的距離為，則直線和圓的位置關(guān)系如下表:

位置

圖形定義性質(zhì)及判定

關(guān)系

>。直線與。

相離直線與圓沒有公共點

?相離

直線與圓有唯一公共點，直線叫==直線與G)

相切

做圓的切線，公共點叫做切點相切

直線與圓有兩個公共點,直線叫<=直線與o

相交

做圓的割線相交

切線的性質(zhì)及判定

切線的性質(zhì)：

定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.

切線的判定

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

2、圓和圓的位置關(guān)系

圓和圓的位置關(guān)系的定義、性質(zhì)及判定：設(shè)。八O2的半徑分別為、(其中>,兩圓圓心

距為，則兩圓位置關(guān)系如下表：

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

兩個圓沒有公共點，并且每個

>+Q兩圓

外離圓上的點都在另一個圓的外

外離

部.

兩個圓有唯一公共點，并且除

=+=兩圓

外切了這個公共點之外，每個圓上

外切

的點都在另一個圓的外部.

—<<+

相交兩個圓有兩個公共點.

=兩圓相交

兩個圓有唯一公共點，并且除

=—Q兩圓

內(nèi)切了這個公共點之外，一個圓上

內(nèi)切

的點都在另一個圓的內(nèi)部.

兩個圓沒有公共點，并且一個

圓上的點都在另一個圓的內(nèi)V-0

內(nèi)含

)部，兩圓同心是兩圓內(nèi)含的一兩圓內(nèi)含

種特例.

【說明】圓和圓的位置關(guān)系，又可分為三大類：相離、相切、相交，其中相離兩圓沒有公共點，它包括外

離與內(nèi)含兩種情況；相切兩圓只有一個公共點，它包括內(nèi)切與外切兩種情況.

定理1:相交圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

定理2：相切圓的連心線經(jīng)過切點。

典例引微

J__________a___________________I

一、單選題

1.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）已知圓?？趫AQ的半徑不相等，圓Q的半徑長為5,若圓上的點A

滿足A。=5,則圓a與圓O?的位置關(guān)系是（）

A.相交或相切B.相切或相離C.相交或內(nèi)含D.相切或內(nèi)含

2.（2022春.上海青浦?九年級?？计谥校┤绻麅蓤A的半徑長分別為6與2,圓心距為4,那么這兩個圓的位

置關(guān)系是（）

A.內(nèi)含B.內(nèi)切C.外切D.相交

3.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）已知同一平面內(nèi)有。。和點A與點8,如果。。的半徑為6cm,線段

GW=10cm,線段O8=6cm,那么直線AB與。O的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相交C.相切D.相交或相切

4.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)是（2,73），圓尸的半徑為2,下列說法

正確的是（）

A.圓尸與x軸有一個公共點，與y軸有兩個公共點

B.圓尸與x軸有兩個公共點，與y軸有一個公共點

C.圓P與x軸、y軸都有兩個公共點

D.圓P與x軸、y軸都沒有公共點

5.（2022春?上海閔行?九年級?？计谥校┤鐖D，在Rt^ABC中，NC=90。，AC=4,BC=7,點。在邊

BC上,CD=3,0A的半徑長為3,與0A相交，且點8在。。外，那么。。的半徑長廠的取值范圍是

A.1<r<4B.2<r<4C.1<r<8D.2<r<8

6.（2022?上海?九年級專題練習(xí)）在四邊形ABC。中，AD//BC,=90°,AB=4,5C=4,AD=1

（如圖）.點。是邊8上一點，如果以。為圓心，0。為半徑的圓與邊有交點，那么0。的取值范圍是

（）

二、填空題

7.（2023秋?上海?九年級?？计谀┮阎?。。|與O。z兩圓外切，。。2=5,。。1的半徑為3,那么。。?的半

徑r為.

8.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）在RtAA5c中，ZABC=90°,AB=6,BC=8,分別以點A、C為圓心

畫圓，如果點8在0A上，0c與相交，且點A在。C外，那么G）C的半徑長廠的取值范圍是.

9.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）已知乙〃/2,乙、乙之間的距離是5cm,圓心。到直線乙的距離是2cm,

如果圓O與直線乙、6有三個公共點，那么圓。的半徑為cm.

10.（2022春?上海?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt^ABC中，NC=90。，BC=9,AC=12,點。在邊

AB上，且BO=2OA,以點。為圓心，，為半徑作圓，如果。。與Rt^ABC的邊共有4個公共點，那么半

徑廠取值范圍是.

CA

11.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）如圖，直線ASCO相交于點。，ZAOC=30°,圓尸的半徑為1cm,

動點尸在直線A8上從點。左側(cè)且距離。點6c優(yōu)處，以lcm/s的速度向右運動，當(dāng)圓尸與直線CD相切時,

圓心P的運動時間為s.

12.（2021?上海閔行?九年級期末）如圖，在Rt~4BC中，ZACB=90°,AB=5,BC=3,點P在邊AC上,

。尸的半徑為1,如果。尸與邊BC和邊AB都沒有公共點，那么線段PC長的取值范圍是.

13.（2022?上海?九年級專題練習(xí)）如圖，在直角梯形ABC。中，AD//BC,ZA=90°,E是AD上一定點，

AB=3,BC=6,A￡>=8,AE=2.點尸是8c上一個動點，以尸為圓心，PC為半徑作。P.若。尸與以E為圓

心，1為半徑的OE有公共點，且。尸與線段只有一個交點，則PC長度的取值范圍是

三、解答題

14.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）已知：如圖，與。。2外切于點T,經(jīng)過點T的直線與。。八002

分別相交于點A和點8.

（1）求證：O1A//O2B；

（2）若QA=2,028=3,AB=1,求AT的長.

15.（2022春?上海?九年級?？计谥校┮阎喝鐖D，。。/與。。2相交于點A和點8,AC^OIO2,交。。/于

點C,。。/的半徑為5,。。2的半徑為AB=6.

(1)弦AC的長度；

⑵四邊形ACO/O2的面積.

16.(2022春?九年級單元測試)如圖，半徑為1的。。與過點。的。P相交，點A是。。與。尸的一個公共

點，點B是直線A尸與。。的不同于點A的另一交點，聯(lián)結(jié)OA,OB,OP.

⑴當(dāng)點8在線段AP上時，

①求證：ZAOB=ZAPO；

②如果點8是線段AP的中點，求AA。尸的面積；

(2)設(shè)點C是。P與。。的不同于點A的另一公共點，聯(lián)結(jié)尸C,BC.如果/PCB=a,ZAPO=p,請用含a

的代數(shù)式表示區(qū)

在重點考向

五、正多邊形和圓

正多邊形和圓

正多邊形

正多邊形概念：各條邊相等，并且各個內(nèi)角也都相等的多邊形叫做正多邊形.

正多邊形的相關(guān)概念：

>正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心.

>正多邊形的半徑：正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.

>正多邊形的中心角：正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.

>正多邊形的邊心距：中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.

半徑、邊心距，邊長之間的關(guān)系：

半徑2=邊心距2+4邊長)2

畫圓內(nèi)接正多邊形方法:

1）量角器

（作法操作復(fù)雜，但作圖較準(zhǔn)確）

2）量角器+圓規(guī)

（作法操作簡單，但作圖受取值影響誤差較大）

3）圓規(guī)+直尺

（適合做特殊正多邊形，例如正四邊形、正八邊形、正十二邊形…..）

真例引擷

_____I__________J____________________IL

一、填空題

1.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）半徑為3的圓的內(nèi)接正六邊形的面積為.

2.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）如圖，如果A3、AC分別是圓。的內(nèi)接正三角形和內(nèi)接正方形的一條邊,

8C一定是圓。的內(nèi)接正〃邊形的一條邊，那么〃=.

3.（2021?上海?統(tǒng)考二模）如圖，。。的半徑為6,如果弦AB是。。內(nèi)接正方形的一邊，弦AC是。。內(nèi)接

正十二邊形的一邊，那么弦的長為.

4.（2021.上海.九年級專題練習(xí)）如圖，正六邊形A3CDEF的頂點8,C分別在正方形AMNP的邊AM,MN

上.若AB=4,則CN=.

5.（2022?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，已知點G是正六邊形對角線FB上的一點，滿足3G=3FG,

聯(lián)結(jié)FC,如果AENG的面積為1,那么△尸3C的面積等于.

6.（2021.上海.九年級專題練習(xí)）公元263年左右，我國數(shù)學(xué)家劉徽發(fā)現(xiàn)當(dāng)正多邊形的邊數(shù)無限增加時，這

個正多邊形面積可無限接近它的外接圓的面積，因此可以用正多邊形的面積來近似估計圓的面積,如圖，OO

是正十二邊形的外接圓,設(shè)正十二邊形的半徑OA的長為1,如果用它的面積來近似估計的面積，那么

的面積約是—.

7.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）如果一個四邊形有且只有三個頂點在圓上，那么稱這個四邊形是該圓的

“聯(lián)絡(luò)四邊形”，己知圓的半徑長為5,這個圓的一個聯(lián)絡(luò)四邊形是邊長為2石的菱形，那么這個菱形不在圓

上的頂點與圓心的距離是.

8.（2021?上海?九年級專題練習(xí)）如圖，下列正多邊形都滿足尸CB/,在正三角形中，我們可推得：

ZAOBi=60°；在正方形中，可推得：ZAOBi=90°；在正五邊形中，可推得：ZAOB/=108°,依此類推在正

八邊形中，AOBi=°,在正〃（色3）邊形中，ZAOBi^°.

二、解答題（圓內(nèi)接四邊形練）

9.（2022秋?江蘇蘇州?九年級?？计谥校┤鐖D，AABC與。。交于。,E兩點，A3是直徑且長為12,OD//BC.

⑵若AD=4,求CE的長度.

10.（2022秋?浙江杭州?九年級?？计谥校┮阎鐖D，是。。的直徑，弦8，鉆于點區(qū)G是4c上

一點，AG與DC的延長線交于點R設(shè)半徑為R.

（1）若CD=8,BE=2,求：

①OE=（用R的代數(shù)式表示）；

②。O的半徑長.

（2）求證：NFGC=ZAGD.

在模型檢測

一、解答題

1.（2021?上海楊浦?統(tǒng)考二模）已知：如圖，A8是半圓。的直徑，C是半圓上一點（不與點A、8重合）,

過點A作ALM/OC交半圓于點。，E是直徑AB上一點，且AE=AD,聯(lián)結(jié)CE、CD.

（1）求證：CE=CD；

（2）如果AO=3CZ），延長EC與弦的延長線交于點F聯(lián)結(jié)OD，求證：四邊形OC尸。是菱形.

2.（2020?上海松江?統(tǒng)考二模）如圖，已知AB、AC是。O的兩條弦，且AO平分NBAC.點M、N分別在

弦AB、AC上，滿足AM=CN.

（1）求證：AB=AC；

MN_OM

（2）聯(lián)結(jié)OM、ON、MN,求證:

ABOA

3.（2023春?上海?九年級專題練習(xí)）已知：如圖，。。與。2相切于點A,如果過點A的直線BC交。。于

點、B,交。尸點C,OZ)_LAB于點O,PE_LAC于點E.

AD

（2）如果。。和。P的半徑比為3:5,求矍的值.

AC

4.(2023秋?上海?九年級?？计谀?已知：如圖，A3是。。的直徑，C是。。上一點，CDLAB,垂足為

點。，F(xiàn)是AC的中點，OF與AC相交于點E,AC=12,EF=3.

(1)求A0的長；

(2)求cosC的值.

5.(2023春?上海?九年級專題練習(xí))已知。為。。的直徑，A、8為0。上兩點，點C為劣弧中點，連

接ZM、54、AC,且N3=30。.

(1)求證：ZD=30°；

(2*、G分別為線段CD、AC上兩點，滿足止=AG,連接AT、OG,取。G中點連接CH,請猜測AF

與CH之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

6.(2021?上海?統(tǒng)考中考真題)已知：在圓。內(nèi)，弦與弦3c交于點G,AD=CB,MN分別是CB和AZ)的

中點，聯(lián)結(jié)MMOG.

(1)求證：0GlMN；

(2)聯(lián)結(jié)AC,AM,CN,當(dāng)CV//OG時，求證：四邊形AOVM為矩形.

7.(2022?上海嘉定?統(tǒng)考二模)在半圓。中，為直徑，AC,為兩條弦，且/CAO+NZMB=90。.

圖3

(1)如圖1,求證：等于CO;

（2）如圖2,點尸在直徑A8上，。尸交AC于點E,若AE=DE,求證：AC=2DF；

（3）如圖3,在（2）的條件下，連接8C,若AF=2,BC=6,求弦的長.

8.（2020?上海普陀?統(tǒng)考二模）如圖，已知在四邊形48CD中，AO〃BC,ZABC=90°,以AB為直徑的。。

（2）過點。作OHLER垂足為點“，設(shè)OH=y,試用廠的代數(shù)式表示y；

（3）設(shè)點G為。C的中點，聯(lián)結(jié)OG、OD,△OOG是否能成為等腰三角形？如果能，試求出廠的值；如不

能，試說明理由.

9.（2022春.上海金山.九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，為半圓。的直徑，AB=8,過3作AB的垂線BQ,

點C為直線BQ上一點，連接AC交半圓。于點E,以8為圓心，BC為半徑作圓弧交AE于點。（。不與A

（圖1）（圖2）（備用圖）

（1）如圖2,連接OE、交于點G,若G為重心時，求cos/￡?4的值；

（2）如圖2,設(shè)tan44B=x,竺可，求》關(guān)于尤的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

GE

（3）延長BD交注石于點尸，延長尸。交射線CB于點P,

①設(shè)。B與線段A3交于點連接DH,NAD9的度數(shù)是否發(fā)生變化，若不變，請求出度數(shù)；若變化，請

至少給出兩種不同情況下所對應(yīng)的度數(shù)；

②若△尸03與AABC相似，求AC的長.

專題17圓

圓的有關(guān)基礎(chǔ)概念及位置關(guān)系是選填題的熱門，大題出現(xiàn)的幾率依然很大，特別是壓

軸題；圓周角定理、切線長的性質(zhì)等已經(jīng)不在教材范圍之內(nèi)，而是增加兩個特色性質(zhì)：相

交圓連心線的性質(zhì)；相切圓的連心線的性質(zhì)。

在知里導(dǎo)圖

定義

圓有關(guān)的性質(zhì)垂徑定理及推論

圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系

基本性質(zhì)

圓周角定理

圓內(nèi)接四邊形

相切

相交

點和圓的位置關(guān)系相離

三點定圓方法

反證法

相離

相切〈判定

直線和圓的位置關(guān)系隨

相交弦定理及推論

外離

切割線定理及推論

外切

相交

概念

內(nèi)切

斗但半徑、邊心距、中心角計算

內(nèi)含

一正多邊形1邊長、面積的計算

二畫法應(yīng)用圓周長’弧長’組合圖形的周長

正多邊形和圓圓面積，扇形，組合圖形的面積

定義

-圓錐弧長及面積公式

側(cè)面積、全面積的計算

在重點考向

------q

一、圓的有關(guān)概念垂徑定理

一、與圓有關(guān)的概念

圓的概念：在一個平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個端點0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A所形成

的圖形叫圓.這個固定的端點。叫做圓心，線段0A叫做半徑.以0點為圓心的圓記作。

讀作圓0.

特點：圓是在一個平面內(nèi)，所有到一個定點的距離等于定長的點組成的圖形.

確定圓的條件：

（4）圓心；

⑸半徑，

（6）其中圓心確定圓的位置，半徑長確定圓的大小.

補充知識：

1）圓心相同且半徑相等的圓叫做同圓；

2）圓心相同，半徑不相等的兩個圓叫做同心圓；

3）半徑相等的圓叫做等圓.

弦的概念：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑，并且直徑是同一圓中

最長的弦.

弧的概念：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以、為端點的弧記作一^,讀作

弧48在同圓或等圓中，能夠重合的弧叫做等弧.

圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.

在一個圓中大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，

小于半圓的弧叫做劣弧.

弦心距概念：從圓心到弦的距離叫做弦心距.

圓心角概念：頂點在圓心的角叫做圓心角.

圓周角概念：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.

三角形的外接圓

經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的

交點，叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形.

點與圓的位置有三種：

位置關(guān)系圖形定義性質(zhì)及判定

點在圓外點在圓的外部>=點在。的外部.

==點在。的圓周

點在圓上點在圓周上

上.

點在圓內(nèi)點在圓的內(nèi)部<=點在。的內(nèi)部.

三點定圓的方法：

1）經(jīng)過點A的圓：以點A以外的任意一點0為圓心，以0A的長為半徑，即可作出過點A

的圓，這樣的圓有無數(shù)個.

2）經(jīng)過兩點A、B的圓：以線段AB中垂線上任意一點0作為圓心，以0A的長為半徑，即

可作出過點A、B的圓，這樣的圓也有無數(shù)個.

3）經(jīng)過三點時：

情況一：過三點的圓：若這三點A、B、C共線時，過三點的圓不存在；

情況二：若A、B、C三點不共線時，圓心是線段AB與BC的中垂線的交點，而這個交點0

是唯一存在的，這樣的圓有唯一一個.

定理：不在同一直線上的三點確定一個圓.

二、垂徑定理

對稱性

3.圓是軸對稱圖形，對稱軸是直徑所在的直線

4.圓是中心對稱圖形。

垂徑定理

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。?/p>

常見輔助線做法（考點）：

2）過圓心，作垂線，連半徑，造△,用勾股，求長度；

半徑2=弦心距2+《弦長）2

2）有弧中點，連中點和圓心，得垂直平分.

翼例引順

一、單言題一

1.下列說法：（1）長度相等的弧是等??；（2）弦不包括直徑；（3）劣弧一定比優(yōu)弧短；（4）

直徑是圓中最長的弦.其中正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【分析】根據(jù)等弧的定義、弦的定義、弧的定義、分別判斷后即可確定正確的選項.

【解析】解：（1）長度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故錯誤；

（2）直徑是圓中最長的弦，故（2）錯誤，（4）正確；

（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故錯誤；

正確的只有一個，

故選：A.

【點睛】本題考查了圓的有關(guān)定義，能夠了解圓的有關(guān)知識是解答本題的關(guān)鍵，難度不大.

2.已知OA=4,以。為圓心，r為半徑作。。若使點A在。。內(nèi)，則r的值可以是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】根據(jù)點A與。。的位置關(guān)系確定點到圓心的距離與圓的半徑大小即可.

【解析】：已知。4=4,以。為圓心，r為半徑作。。若使點A在。。內(nèi)，

/.點A到圓心的距離應(yīng)該小于圓的半徑，

圓的半徑應(yīng)該大于4.

故選：D.

【點睛】本題考查了點與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是了解圓的位置關(guān)系與點與圓心的距離

及半徑的大小關(guān)系，難度不大.

3.過。O內(nèi)一點M的最長弦為10cm,最短弦長為8cm,則的長為（）

A.9cmB.6cmC.3cmD.“Jem

【答案】C

【分析】先根據(jù)垂徑定理求出OA、AM的長，再利用勾股定理求OM.

【解析】解：由題意知，最長的弦為直徑，最短的弦為垂直于直徑的弦，

如圖所示.直徑于點

則ED=10cm,AB=8cm,

E

由垂徑定理知：點M為AB中點，

.'.AM=4cm,

:半徑OA=5cm,

OM2=OA2-AM2=25-16=9,

OM=3cm.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，連接半徑是解答此題的關(guān)鍵.

4.下列說法正確的是（）

A.等弧所對的圓周角相等B.平分弦的直徑垂直于弦

C.相等的圓心角所對的弧相等D.過弦的中點的直線必過圓心

【答案】A

【分析】根據(jù)圓周角定理，垂徑定理的推論，圓心角、弧、弦的關(guān)系，對稱軸的定義逐項排

查即可.

【解析】解：A同弧或等弧所對的圓周角相等，所以A選項正確；

R平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧，所以B選項錯誤；

C、在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所以C選項錯誤；

。.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，所以。選項錯誤.

故選A.

【點睛】本題主要考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系,軸對稱圖形，垂徑定理，圓周角定理等知

識點.靈活運用相關(guān)知識成為解答本題的關(guān)鍵.

5.如圖，在。。中，于點。，的長為3cm,則弦A8的長為（）

A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm

【答案】B

【分析】根據(jù)垂徑定理求出AD=BD=3cm即可.

【解析】解：TAB為非直徑的弦，ODLAB,

*.AD=BD=3cm9

AB=AD-^-BD=6cm.

故選B.

【點睛】本題考查垂徑定理，掌握垂徑定理是解題關(guān)鍵.

6.已知。。的直徑AB=10,弦CO_LA8于點若OM：0A=3：5,則弦AC的長度（）.

A.2y/5B.4A/5C.3D.2舊或4舊

【答案】D

【分析】分兩種情形：當(dāng)點M在線段上或點M在線段A。的延長線上時，分別求解即

可.

【解析】解：如圖1,?.,A8=10,弦CD_LAB于點林若OW：。4=3：5,

?'-AC=4CM-+AM2=4A/5；

如圖2,VAB=lOcm,弦CZ)_LA8于點M.若。M：OA=3：5,

CM=^OC2-OM2=4，

?'-AC=yjcM2+AM2=25/5,

綜上所述：弦AC的長為4君或2爪.

故選：D.

【點睛】本題考查了勾股定理，垂徑定理.解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問

題再進行計算.

7.如圖，已知R3ABC中，/C=90。，NA=30。，AC=6,以點8為圓心，3為半徑作。3,

則點C與。2的位置關(guān)系是（）

A.點C在。B內(nèi)B.點C在。B上C.點C在。2外D.無法確定

【答案】C

【分析】欲求點C與。B的位置關(guān)系，關(guān)鍵是求出BC,再與半徑3進行比較.若d<r,則

點在圓內(nèi)；若"=廠，則點在圓上；若d>r,則點在圓外.

【解析】解：：在R3A2C中，NC=90。，ZA=30°,

AAB^IBC,

有勾股定理得：

AB2-BC2=AC2,即（2宛『-BC2=62,

解得：BC=2y/3,

:以點2為圓心，3為半徑作。2,

r<d,

...點C在。B外.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了點與圓的位置關(guān)系，含30°角的直角三角形，勾股定理，熟練掌握

直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，點與圓的位置關(guān)系的判定是解題的關(guān)

鍵.

8.如圖，AB為。。的弦，點C在48上，AC=4,BC=2,C￡）_LOC交。。于點。，貝UCD

的長為（）

A.y/2C.2A/2D.3yli

【答案】C

【分析】過點。作。ELAB于點E,連接。A,O。，根據(jù)垂徑定理可得AE=BE=3,從而得

到CE=1,然后設(shè)OE=x,根據(jù)勾股定理可得

OC2=OE2+CE2=X2+1,OB2=OA2=OE2+AE2=x2+9,從而得至CD2=OB2-OC2=8,

即可求解.

【解析】解：如圖，過點。作于點E,連接。4,0D,

：.AE=BE=-AB,

2

VAC=4,BC=2,

：.BA=6,

：.AE=BE=3,

：.CE=lf

設(shè)OE=x,

：.OC2=OE2+CE2=X2+1,OD2=Ofic=OE2+AE2=x2+9,

'：CD±OC,

：.CD2=OD2-OC2+9-(x2+i)=S,

:.CD=2及或-20(舍去).

故選：C

【點睛】本題主要考查了垂徑定理，勾股定理，熟練掌握垂徑定理，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

二、填空題

9.平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的三個點A(1,—3)、8(0,—3)、C(2,-3),—確定一個圓.(填

“能”或“不能”)

【答案】不能

【分析】根據(jù)三個點的坐標(biāo)特征得到它們共線，于是根據(jù)確定圓的條件可判斷它們不能確定

一個圓.

【解析】解：?：B(0,-3)、C(2,-3),

軸，

而點A(1,-3)與C、8共線，

.,.點A、B、C共線，

三個點A(1,-3)、B(0,-3)、C(2,-3)不能確定一個圓.

故答案為：不能.

【點睛】本題考查了確定圓的條件：不在同一直線上的三點確定一個圓.

10.下列說法正確的是（填序號）.

①半徑不等的圓叫做同心圓；②優(yōu)弧一定大